高考数学复习拓展提升课五　指对同构（导学案）

这是一份高考数学复习拓展提升课五　指对同构（导学案），共6页。学案主要包含了指对同构的工具——对数恒等式，同构常见的模型——和差积商等内容，欢迎下载使用。

培优增分拓展提升课五 指对同构
(1)同构法:是证明不等式的一种技巧,通过等价变形使得两边的式子结构相同,从而将两边看成是同一个函数的两个函数值,借助该函数的单调性简化不等式,使问题得以解决,同构法需要有敏锐的观察能力才能找到函数的模型.
(2)同构思想:在高考中有非常强烈的体现,不管是小题还是大题,都处在压轴题的位置,备受命题者的青睐,它能够很好地考查学生的数学建模、数学抽象、数学运算的核心素养.
一、指对同构的工具——对数恒等式
(1)lgaab=b(b∈R);
(2)algab=b(b>0).
二、同构常见的模型——和差积商
1.和差型:ea±a>b±ln b,两种同构方式:
(1)同左:ea±a>eln b±ln b,
构造函数f(x)=ex±x;
(2)同右:ea±ln ea>b±ln b,
构造函数f(x)=x±ln x.
2.积型:aea≤bln b,三种同构方式:
(1)同左:aea≤(ln b)eln b,构造函数f(x)=xex;
(2)同右:ealn ea≤bln b,构造函数f(x)=xln x;
(3)取对数:a+ln a≤ln b+ln (ln b),构造函数f(x)=x+ln x.
3.商型:eaa(1)同左:eaa(2)同右:ealn ea(3)取对数:a-ln a构造函数f(x)=x-ln x.
[典例](2022·石家庄模拟)设a,b都为正数,e为自然对数的底数,若aea+1+bA.ab>eB.b>ea+1C.ab解析：选B.由题意知,a>0,b>0,由aea+1+b方法一(构造左侧形式):
于是aea则f(a)0.
当x>0时,f'(x)=ex+xex>1>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,于是a即ea方法二(构造右侧形式):
于是ealn ea则f(ea)1,且ln be>0,
即be>1.
当x>1时,f'(x)=ln x+1>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,于是ea方法三(取对数形式):
于是eln a+a则ln a+a设f(x)=ln x+x,
则f(a)0.
当x>0时,f'(x)=1x+1>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,于是a即ea模型一 积型f(x)=xex=ex+ln x
1.设实数λ>0,若对于任意的x∈(0,+∞),不等式eλx-lnxλ≥0恒成立,则λ的最小值
为( )
A.eB.12eC.1eD.2e
解析：选C.由eλx-lnxλ≥0,得λeλx-ln x≥0,
即λxeλx-xln x≥0,也即λxeλx≥xln x.
由同构xln x=eln x·ln x,
可得(λx)·eλx≥ln x·eln x.
设f(x)=xex,
则f'(x)=(x+1)ex>0对x∈(0,+∞)恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
由(λx)·eλx≥ln x·eln x可得f(λx)≥f(ln x),
即λx≥ln x,也即λ≥lnxx,所以λ≥lnxxmax.
令g(x)=lnxx(x>0),
则g'(x)=1−lnxx2(x>0).
所以当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
因此,g(x)max=g(e)=1e,故λ≥1e.
模型二 和差型f(x)=ex+x
2.已知函数f(x)=aex+ln ax+2-2(a>0),若f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围为 .
解析：f(x)=aex+ln ax+2-2(a>0),
函数f(x)的定义域是(-2,+∞),
若f(x)>0恒成立,
则ex+ln a+ln a>ln (x+2)+2,
两边加上x得到:
ex+ln a+x+ln a>x+2+ln (x+2)
=eln (x+2)+ln (x+2),
因为y=ex+x单调递增,
所以x+ln a>ln (x+2),即ln a>ln (x+2)-x,
令g(x)=ln (x+2)-x,(x>-2),
则g'(x)=1x+2-1=−x−1x+2,
因为x∈(-2,-1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
x∈(-1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
故ln a>g(x)max=g(-1)=1,故a>e.
答案:(e,+∞)
模型三 商型f(x)=lnxx
3.已知a>0,且x2+xln a-aexln x>0对任意的x∈(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.
解析：因为x2+xln a-aexln x>0,所以aexln x所以lnxx即ln(aex)aex>lnxx对任意x∈(0,1)恒成立.
令h(x)=lnxx,则h'(x)=1−lnxx2.
所以,当x∈(0,1)时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增,当x∈(0,1)时,h(x)<0,
当aex≥1>x时,h(aex)≥0>h(x),
当0h(x),且h(x)在(0,1)上单调递增,所以aex>x.
综上可知,aex>x对任意的x∈(0,1)恒成立,即a>xex,
令g(x)=xex,x∈(0,1),则g'(x)=1−xex>0,
所以g(x)在(0,1)上单调递增,
所以g(x)所以实数a的取值范围为1e,+∞.
模型四 积型f(x)=xln x
4.已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a,若f(x)≥1,求a的取值范围.
解析：由f(x)≥1,得aex-1-ln x+ln a≥1.
变形后可化为aex-1≥lnexa⇔ex-1≥1alnexa⇔ex≥ealnexa⇔xex≥exalnexa⇔exln ex≥exalnexa.
令g(x)=xln x(x>0),则g'(x)=1+ln x,可知当x∈(0,1e)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(1e,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以原不等式等价于g(ex)≥g(exa),且x>0,
ex>1,exa>0.
所以g(ex)≥g(exa)⇔ex≥exa⇒a≥(exex)max.
令h(x)=exex(x>0),则h'(x)=e(1−x)ex.
所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减.
所以h(x)max=h(1)=1,
故a的取值范围是[1,+∞).