高考数学复习拓展提升课八　由递推关系求通项公式（导学案）

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转化思想:求数列通项公式是高考重点考查的内容,有些数列提供递推关系可通过构造转化为等差或等比数列,利用等差或等比数列的通项公式,求得原数列的通项公式,体现化归与转化思想的灵活应用.
构造模型:数列中构造法本质就是将未知关系转化为已知的等差或等比关系,是根据已知条件的特征,构造出新的数学模型,从而使问题简化,体现发散思维.
模型一 形如an+1=pan+f(n)型,求通项(注:本文中p为常数且p≠0,p≠1)
考点1:已知递推数列中f(n)=q(q为常数)求通项.
[典例1]在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,求数列{an}的通项公式.
解析：本题的构造思想是设法将常数-4分解到an+1与an上去,可采用待定系数法,设每项分到x,即an+1+x=3(an+x).化简得an+1=3an+2x,与原式对比解得x=-2,可得an+1-2=3(an-2),
所以an+1−2an−2=3.又a1=5,所以{an-2}是以
a1-2=3为首项,3为公比的等比数列,
所以an-2=3n,所以an=3n+2.
【方法提炼】
递推关系形如an+1=pan+q,可构造an+1-q1−p=p(an- q1−p),即an−q1−p为等比数列,从而求出通项an.
考点2:已知递推数列中f(n)=An+B求通项.
[典例2]已知数列{an}满足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,求数列{an}的通项公式.
解析：设an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),化简后得an+1=2an+xn+y-x,对比原式解方程组得x=-1,y=0,即an+1-(n+1)=2(an-n),
所以an+1−(n+1)an−n=2,即数列{an-n}是以a1-1=2为首项,2为公比的等比数列,则an-n=2·2n-1=2n,所以an=2n+n.
【方法提炼】
递推关系形如an+1=pan+An+B,构造an+xn+y成等比数列,通过待定系数法可求得x,y,同理an+1=pan+f(n)中,f(n)为二次函数、三次函数,都可类似进行构造.
考点3:已知递推数列中f(n)=rtn求通项.
[典例3]已知数列an满足an+1=2an+3×5n,a1=2,求数列{an}的通项公式.
解析：方法一:将递推公式的两边同时除以5n+1,得an+15n+1=25×an5n+35,利用an+1=pan+q型问题,
变形得an+15n+1-1=25(an5n-1),由于a151-1=-35≠0,所以数列an5n−1是以-35为首项,25为公比的等比数列.即an5n-1=-3525n−1,故数列an的通项公式为an=5n-3×2n-1.
方法二:设an+1+A×5n+1=2(an+A×5n),
展开整理得an+1=2an-3A×5n,对比原式
an+1=2an+3×5n,可得A=-1,
即an+1-5n+1=2(an-5n),由于a1-51=-3≠0,
所以数列an−5n是以-3为首项,2为公比的等比数列.即an-5n=-3×2n-1,故数列an的通项公式为an=5n-3×2n-1.
【方法提炼】
递推关系形如an+1=pan+r×tn,(t≠1,rt≠0,
p≠t),满足此递推关系的数列的通项公式的求法:
方法一:在递推关系式的两边同时除以tn+1,可得
an+1tn+1=pt×antn+rt,视antn为一个整体,则转化后利用an+1=pan+q型问题求解.
方法二:可构造an+Atn为等比数列模型,即an+1+A×tn+1=p(an+A×tn),展开整理后,利用待定系数法求出A的值(A=rp−t),然后求出an+Atn的通项公式,最后求出{an}的通项公式.
【加练备选】
在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,求数列{an}的通项公式.
解析：方法一 原递推公式可化为
an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).①
比较系数得λ=-4,①式即为
an+1-4·3n=2(an-4·3n-1).
则数列{an-4·3n-1}是首项为a1-4·31-1=-5,公比为2的等比数列,
所以an-4·3n-1=-5·2n-1,
即an=4·3n-1-5·2n-1.
方法二 将an+1=2an+4·3n-1的两边同除以3n+1,得an+13n+1=23·an3n+432,令bn=an3n,
则bn+1=23bn+49,
设bn+1+k=23(bn+k),比较系数得k=-43,
则bn+1−43bn−43=23,
所以bn−43是以-53为首项,23为公比的等比数列.所以bn-43=(- 53)·(23)n-1,
则bn=43-53·(23)n-1,
所以an=3n·bn=4·3n-1-5·2n-1.
模型二 形如an+2=A·an+1+Ban(A,B为常数,且A≠0,B≠0)求通项
[典例4](1)(2022·德州模拟)在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an= .
解析：由题意知,an+2-an+1=2(an+1-an),
因为a2-a1=2,所以{an-an−1}是首项为2,公比为2的等比数列,an-an−1=2n−1(n≥2),
当n≥2时,an=(an-an−1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=1−2n1−2=2n-1.
显然n=1时满足上式,所以an=2n-1.
答案:2n-1
(2)已知数列{an}中,a1=-1,a2=1,an+2=4an+1-3an,求数列{an}的通项公式.
解析：设an+2+xan+1=y(an+1+xan),化简后得an+2=(y-x)an+1+xyan,对比已知递推关系an+2=4an+1-3an,可得y−x=4xy=−3,
解得x=−1y=3或x=−3y=1.
若x=−1y=3,则an+2-an+1=3(an+1-an),
则{an+1-an}为首项是2,公比为3的等比数列,an+1-an=2·3n-1,利用累加法可得an=3n-1-2.
若x=−3y=1,则an+2-3an+1=an+1-3an,
则an+1−3an为首项是4,公比为1的等比数列,
得到an+1-3an=4,可得an=3n-1-2.两种情况的结果是一致的.
【方法提炼】
递推关系形如an+2=A·an+1+Ban,可构造成an+1+xan成等比数列,转化变形后求解.
模型三 分式递推数列模型
考点1:已知递推数列形如an+1=AanBan+C,求通项.
[典例5](1)(2022·福州模拟)已知数列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2,则an= .
解析：因为an+1=2anan+2,a1=1,
所以an≠0,所以1an+1=1an+12,
即1an+1-1an=12,又a1=1,则1a1=1,
所以1an是以1为首项,12为公差的等差数列.
所以1an=1+(n-1)×12=n2+12=n+12,
所以an=2n+1(n∈N*).
答案:2n+1
(2)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=anan+3(n∈N*),则an= .
解析：因为1an+1=3·1an+1,
所以1an+1+12=3(1an+12),1a1+12=1,
所以1an+12是以1为首项,3为公比的等比数列,
所以1an+12=3n-1,所以1an=3n-1-12,
所以an=22×3n−1−1(n∈N*).
答案:22×3n−1−1
【方法提炼】
递推数列形如an+1=AanBan+C求通项的方法:
(1)若A=C,则通过倒数构造1an成等差数列;
(2)若A≠C,可通过倒数构造1an+x成等比数列,从而求得an.
【加练备选】
已知函数f(x)=x3x+1,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 .
解析：由已知得,an+1=an3an+1,
所以1an+1=1an+3,即1an+1-1an=3,
所以数列1an是首项为1a1=1,公差为d=3的等差数列,所以1an=1+(n-1)×3=3n-2.
故an=13n−2(n∈N*).
答案:an=13n−2(n∈N*)
考点2:递推公式形如an+1=Aan+BCan+D(C≠0且AD-BC≠0),求通项.
[典例6](1)(2022·衡阳模拟)已知数列{an}满足a1=2,an=an−1+22an−1+1(n≥2),则数列{an}的通项公式为 .
解析：其特征方程为x=x+22x+1,
即2x2-2=0,解得x1=1,x2=-1,
令an+1−1an+1+1=c·an−1an+1,由a1=2,得a2=45,
可得c=-13,所以数列an−1an+1是以a1−1a1+1=13为首项,以-13为公比的等比数列,
所以an−1an+1=13·(-13)n-1,
所以an=3n−(−1)n3n+(−1)n.
答案:an=3n−(−1)n3n+(−1)n
(2)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an−14an+6,则数列{an}的通项公式为 .
解析：其特征方程为x=2x−14x+6,即4x2+4x+1=0,解得x1=x2=-12.
令1an+1+12=1an+12+c.
由a1=2,得a2=314,求得c=1.
所以数列1an+12是以1a1+12=25为首项,以1为公差的等差数列,
所以1an+12=25+(n-1)×1=n-35.
所以an=13−5n10n−6.
答案:an=13−5n10n−6
【方法提炼】
递推公式形如an+1=Aan+BCan+D,特征方程为x=Ax+BCx+D,求通项的方法:
(1)若特征方程有两个不同实根α,β,可构造an−αan−β成等比数列,公比由第一项与第二项求得,利用等比数列通项公式,求出通项an.
(2)若特征方程有两个相同实根α,可构造1an−α成等差数列,公差由第一项与第二项求得,利用等差数列通项公式,求出通项an.