高考数学复习第一章　第二节　充要条件与量词（导学案）

这是一份高考数学复习第一章　第二节　充要条件与量词（导学案），共14页。

1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
3.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
4.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
6.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.全称量词与存在量词
3.全称量词命题和存在量词命题及其否定
点睛对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
1.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},则
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;
(2)若B⊆A,则p是q的必要条件;
(3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;
(4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件;
(5)若A=B,则p是q的充要条件.
2.命题p与p的否定的真假性相反.
1.(教材变式)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选C.由x>y推不出x>|y|,由x>|y|能推出x>y,所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
2.(教材变式)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选A.因为四边形ABCD为菱形,得到对角线AC⊥BD,所以充分性成立,若四边形ABCD中对角线AC⊥BD,四边形不一定是菱形,必要性不成立.
3.(结论1)使-2A.x<2B.0C.-2≤x≤2D.x>0
解析：选B.记A={x|-24.(结论2)命题“存在x∈R,使x2+ax-4a<0为假命题”是命题“-16≤a≤0”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选A.依题意,知x2+ax-4a≥0恒成立,则Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0.
5.(教材提升)(多选题)下列命题是真命题的是( )
A.∀x∈R,x2-x+1>0
B.∃x∈R,sin x=2
C.存在一个无理数,它的平方是有理数
D.平面内,到A,B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上
解析：选ACD.∀x∈R,x2-x+1=x-122+34>0,A是真命题;∀x∈R,-1≤sin x≤1,B是假命题;2是无理数,它的平方是有理数,C是真命题;D是真命题.
6.(忽视省略的量词)设命题p:正方形都是平行四边形,则p为 .
解析：因为p为全称量词命题,所以p应为存在量词命题,且对结论否定.故p为“有的正方形不是平行四边形”.
答案:有的正方形不是平行四边形
充分、必要条件的判断
[典例1](1)(2022·岳阳模拟)“x=2 022”是“x2-2 022x+2 021=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选D.因为x2-2 022x+2 021=(x-1)(x-2 021)=0,x=1或x=2 021,
所以“x=2 022”是“x2-2 022x+2 021=0”的既不充分也不必要条件.
(2)“a=b”是“|a|=|b|”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选A.若a=b成立,由向量相等得到两向量的长度、方向都相同,即有|a|=|b|,反之,若|a|=|b|成立,两个向量的方向不同,则推不出a=b,所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件.
(3)(2023·重庆模拟)已知p:x-1x+2≤0,q:-2≤x≤1,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：选A.关于p:x-1x+2≤0,所以(x-1)(x+2)≤0,x+2≠0,解得-2(4)(2022·珠海模拟)《墨子·经说上》上说:“小故,有之不必然,无之必不然.体也,若有端.大故,有之必无然,若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,那么文中的“小故”指的是逻辑中的 .(选“充分条件”“必要条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空)
解析：由“小故,有之不必然,无之必不然”,知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件,故“小故”指的是逻辑中的必要条件.
答案:必要条件
——自主完善,老师指导
判断充分、必要条件的两种方法
(1)定义法:①弄清条件p和结论q分别是什么;②尝试p⇒q,q⇒p;③根据定义进行判断.
(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含(或真包含)关系进行判断.
提醒定义法适用于推理判断性问题;集合法适用于涉及字母范围的推断问题.
1.在△ABC中,“AB2+BC2=AC2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选A.在△ABC中,若AB2+BC2=AC2,则∠B=90°,即△ABC为直角三角形,若△ABC为直角三角形,推不出∠B=90°,
所以AB2+BC2=AC2不一定成立,
综上,“AB2+BC2=AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件.
2.(2023·宁波模拟)设集合A={x|x-2>0},B={x|x<0},C={x|x2-2x>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选C.因为A={x|x-2>0}={x|x>2},
B={x|x<0},所以A∪B={x|x>2或x<0},
因为C={x|x2-2x>0}={x|x>2或x<0},
所以“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.
3.(2023·盐城模拟)在等比数列{an}中,公比为q,已知a1=1,则0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选C.由题意得,等比数列{an}的首项为a1,公比为q,所以an=a1qn-1=qn-1,由指数函数的单调性得,若0【加练备选】
已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选C.(1)充分性:已知存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,
①若k为奇数,则k=2n+1,n∈Z,此时α=(2n+1)π-β,n∈Z,
sin α=sin(2nπ+π-β)=sin(π-β)=sin β;
②若k为偶数,则k=2n,n∈Z,此时α=2nπ+β,
n∈Z,sin α=sin(2nπ+β)=sin β.由①②知,充分性成立.
(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与角β的终边重合或角α与角β的终边关于y轴对称,
即α=β+2mπ或α+β=2mπ+π,m∈Z,即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ,必要性也成立.
充分、必要条件的探究与应用
[典例2](1)“方程ax2+2x-1=0至少有一个正实数根”的充要条件是 .
解析：当a=0时,方程为2x-1=0,解得x=12,满足题意.当a>0时,因为Δ=4+4a>0,所以方程恒有两个解,且x1x2=-1a<0,两根一正一负,满足题意.当a<0时,若Δ=4+4a≥0,
则a≥-1,即-1≤a<0,此时x1x2=-1a>0,x1+x2=-2a>0,两根均为正数,满足题意.
综上所述,a≥-1.
答案:a∈[-1,+∞)
(2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围是 .
解析：由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P,则1-m≤1+m,1-m≥-2,1+m≤10,所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].
答案:[0,3]
[变式1]若本例(2)将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”,则m的取值范围是 .
解析：由例题得,若x∈P是x∈S的必要条件,则0≤m≤3,当m=0时,S={1},不充分;当m=3时,S={x|-2≤x≤4}也不充分,故m的取值范围为[0,3].
答案:[0,3]
[变式2]若本例(2)将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”,其他条件不变,则m的取值范围是 .
解析：由已知可得P={x|-2≤x≤10},
因为非P是非S的必要不充分条件,
所以S是P的必要不充分条件,所以x∈P⇒x∈S且x∈Sx∈P.
所以[-2,10]⫋[1-m,1+m].
所以1-m≤-2,1+m>10或1-m<-2,1+m≥10.
所以m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).
答案:[9,+∞)
——自主完善,老师指导
1.充分、必要条件的探求
2.利用充分、必要条件求参数的两个关注点
(1)转化:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)检验:在求参数范围时,要注意边界或区间端点值的检验,从而确定取舍.
1.已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要不充分条件是( )
A.a+b≠0B.a2+b2≠0
C.a3+b3≠0D.1a+1b≠0
解析：选B.对于A,令a=1,b=-1,推不出a+b≠0,故A错误;
对于B,由“ab≠0”得:a≠0且b≠0,故a2+b2≠0,反之,若a2+b2≠0,推不出ab≠0,比如a=1,b=0,故a2+b2≠0是ab≠0的必要不充分条件,故B正确;
对于C,令a=1,b=-1,推不出a3+b3≠0,故C错误;
对于D,令a=1,b=-1,推不出1a+1b≠0,故D错误.
2.若关于x的不等式|x-1|解析：|x-1|答案:[3,+∞)
【加练备选】
1.已知p:x≥k,q:(x+1)(2-x)<0.如果p是q的充分不必要条件,那么实数k的取值范围是( )
A.[2,+∞)B.(2,+∞)
C.[1,+∞)D.(-∞,-1]
解析：选B.由q:(x+1)(2-x)<0,可知q:x<-1或x>2.因为p是q的充分不必要条件,
所以x≥k⇒x<-1或x>2,即[k,+∞)是(-∞,-1)∪(2,+∞)的真子集,故k>2.
2.角A,B是△ABC的两个内角.下列四个条件下,“A>B”的充要条件是( )
A.sin A>sin BB.cs A>cs B
C.tan A>tan BD.cs2A>cs2B
解析：选A.当A>B时,根据“大边对大角”可知,a>b,由于asinA=bsinB,所以sin A>sin B,反之也成立,则选项A是“A>B”的充要条件;
由于0B”的充要条件;当A>B时,若A为钝角,B为锐角,则tan A<0B”的充要条件;
当cs2A>cs2B,即1-sin2A>1-sin2B,
所以sin2AB”的充要条件.
全称量词命题与存在量词命题
角度1 含有量词的命题的否定
[典例3](1)(2023·益阳模拟)命题“∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c≥0”的否定是( )
A.∀x∈(0,+∞),都有x2+ax+c≥0
B.∀x∈(0,+∞),都有x2+ax+c<0
C.∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c≥0
D.∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c<0
解析：选B.命题“∃x∈(0,+∞),使x2+ax+c≥0”的否定为∀x∈(0,+∞),都有x2+ax+c<0.
(2)(2022·潍坊模拟)十七世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解.”经历三百多年,1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为( )
A.对任意正整数n,关于x,y,z的方程xn+yn=zn都没有正整数解
B.对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
C.存在正整数n≤2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
D.存在正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解
解析：选D.命题为全称量词命题,则命题的否定为:存在正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解.
角度2 命题的真假判断及应用
[典例4]金榜原创·易错对对碰
(1)①若命题“对∀x∈R,ax2-ax-1<0”是真命题,则a的取值范围是 .
②若命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是 .
解析：①“对∀x∈R,ax2-ax-1<0”是真命题,当a=0时,则有-1<0;
当a≠0时,则有a<0且Δ=(-a)2-4×a×(-1)=a2+4a<0,解得-4综上所述,实数a的取值范围是(-4,0].
答案:(-4,0]
②命题“∃x∈R,使得3x2+2ax+1<0”是假命题,即“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”是真命题,
故Δ=4a2-12≤0,解得-3≤a≤3.
即实数a的取值范围为[-3,3].
答案:[-3,3]
(2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12x-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是 .
解析：当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,
当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=14-m,
由f(x)min≥g(x)min,
得0≥14-m,所以m≥14.
答案:14,+∞
——自主完善,老师指导
1.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
2.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法
(1)改写量词:全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;
(2)否定结论:对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.
提醒对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
3.根据命题真假求参数的取值范围
(1)巧用三个转化
①全称量词命题可转化为恒成立问题;
②存在量词命题可转化为存在性问题;
③全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定是真命题.
(2)准确计算
通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围.
(3)注意“正难则反”思想的应用.
1.(2023·太原模拟)命题“∀x∈12,2,e,π,ln x>1”的否定是( )
A.∀x∈12,2,e,π,ln x≤1
B.∀x∈12,2,e,π,ln x≥1
C.∃x∈12,2,e,π,ln x>1
D.∃x∈12,2,e,π,ln x≤1
解析：选D.因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题“∀x∈12,2,e,π,ln x>1”的否定是“∃x∈12,2,e,π,ln x≤1”.
2.(2023·鹤岗模拟)使命题“∀x∈[1,2],3x2-a≥0”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A.a≤4B.a≤2
C.a≤3D.a≤1
解析：选A.命题“∀x∈[1,2],3x2-a≥0”为真命题等价于“∀x∈[1,2],3x2≥a”为真命题,则a≤3,则必要不充分条件为包含a≤3的集合.
课堂巩固,请使用 “核心素养测评 二”
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒/ p
p是q的必要不充分条件
p⇒/ q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒/ q且q⇒/ p
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某些、有的等
∃
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中任意一个x,p(x)成立
存在M中的元素x,p(x)成立
简记
∀x∈M,p(x)
∃x∈M,p(x)
否定
∃x∈M,p(x)
∀x∈M,p(x)
教材改编
结论应用
易错易混
1,2,5
3,4
6
类型
含义
探求p成立的充分不必要条件
探求的条件⇒p;p探求的条件
探求p成立的必要不充分条件
探求的条件p;p⇒探求的条件
探求p成立的充要条件
探求的条件⇒p;p⇒探求的条件
全称量词命题
(1)要判断一个全称量词命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;
(2)要判断一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可
存在量词命题
要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题