高考数学复习第二章　第二节　基本不等式（导学案）

这是一份高考数学复习第二章　第二节　基本不等式（导学案），共15页。

1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a,b≥0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
1.基本不等式
2.利用基本不等式求最值
已知x,y都是正数.
(1)如果x+y=S(定值),则xy≤x+y22= S24 (当且仅当“x=y”时取“=”).即“和定积最大”.
(2)如果xy=P(定值),则x+y≥2xy= 2P (当且仅当“x=y”时取“=”).即“积定和最小”.
点睛连续使用不等式要注意等号成立的条件保持一致.
1.a2+b2≥a+b22(沟通两和a+b与两平方和a2+b2的不等关系式)
2.ab≤a2+b22(沟通两积ab与两平方和a2+b2的不等关系式)
3.ab≤a+b22(沟通两积ab与两和a+b的不等关系式)
4.重要不等式串:21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a,b都是正数)即调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).
1.(结论3)已知a+b=1,若a>0且b>0,则ab的最大值为( )
A.1B.12C.14D.18
解析：选C.由基本不等式变形得ab≤a+b22,
所以ab≤14,所以ab的最大值为14.
2.(忽视范围)若x-2,则fx=x+1x+2的最小值为( )
A.0B.1C.2D.3
解析：选A.由x>-2,得x+2>0,1x+2>0,
所以f(x)=x+1x+2=x+2+1x+2-2≥2(x+2)×1x+2-2=0,
当且仅当x+2=1x+2即x=-1时等号成立.
4.(结论1)若a+b=1,则a2+b2的最小值为( )
A.2B.12C.13D.2
解析：选B.因为a+b=1,所以a2+b2≥a+b22=12,当且仅当a=b=12时,等号成立.
5.(忽视等号成立的条件)函数y=x2+4x2-2(-13
解析：选D.令t=x2,00,所以y=3+x+x21+x=31+x+x=31+x+x+1-1≥231+x·x+1
-1=23-1,当且仅当31+x=x+1,即x=3-1时,等号成立.
(2)(多选题)(2022·廊坊模拟)已知a>1,则2a+2a-1的取值可以是( )
A.5B.6C.7D.8
解析：选BCD.因为a>1,所以a-1>0,
2a+2a-1=2+2(a-1)+2a-1
≥2+2 2(a-1)·2a-1=6,
当且仅当a=2时,等号成立,
故2a+2a-1的最小值为6,故2a+2a-1的取值可以是6,也可以是7或8.
拼凑法求最值的解题策略
1.拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法;
2.对于一次二次或二次一次的分式型代数式需要先化简,再拼凑,最后利用基本不等式或对勾函数解决相应最值问题.
提醒注意验证等号取得的条件.
角度3 常值代换法求最值
[典例3](2022·焦作模拟)已知a>0,b>0,且点a,b在直线x+y=4上,则4a+36b的最小值为 .
解析：由题意知a+b=4,故4a+36b=14a+b4a+36b=144ba+36ab+40≥1424ba·36ab+40=1424+40=16,当且仅当4ba=36ab,即b=3a,a=1,b=3时取等号.
答案:16
[变式1]本例中,若正实数a,b满足4a+36b=1,则a+b的最小值是 .
解析：因为a,b均为正实数,且4a+36b=1,
所以a+b=a+b(4a+36b)=40+4ba+36ab
≥40+24ba·36ab=40+24=64,
当且仅当4ba=36ab,即b=3a,a=1,b=3时取等号,所以a+b的最小值是64.
答案:64
[变式2]本例中,设a>0,b>1,若a+b=2,则4a+1b-1的最小值为( )
A.6B.9C.32D.18
解析：选B.因为a>0,b>1,且a+b=2,所以b-1>0且a+(b-1)=1,
所以4a+1b-1=(4a+1b-1)[a+(b-1)]
=5+4(b-1)a+ab-1≥5+24(b-1)a·ab-1=9,
当且仅当4(b-1)a=ab-1,即a=23且b=43时取等号,故4a+1b-1的最小值为9.
[变式3]本例中,若a,b都是正数,且ab=1,则12a+12b+8a+b的最小值为( )
A.4B.8C.43D.42
解析：选A.因为a,b都是正数,且ab=1,
所以12a+12b+8a+b=b2+a2+8a+b=a+b2+8a+b≥2a+b2·8a+b=4,
当且仅当a+b=4时等号成立.
——自主归纳,老师指导
常值代换法主要解决以下最值问题
(1)已知形如或可化为cx+dy=t(t为常数),求ax+by的最值;
(2)已知形如或可化为ax+by=t,求cx+dy型的最值;
(3)求解时要注意把已知条件变形为“1”的形式,将ax+by看作是(ax+by)·cx+dyt或cx+dy看作是(cx+dy)·(atx+bty),变形后利用基本不等式求最值.
角度4 消元法求最值
[典例4](1)已知正实数a,b满足ab+2a-2=0,则4a+b的最小值是( )
A.2B.42-2C.43-2D.6
解析：选B.由ab+2a-2=0,得a=2b+2,
所以4a+b=8b+2+b=8b+2+(b+2)-2
≥28b+2·(b+2)-2=42-2,
当且仅当a=2b+2,8b+2=b+2,即a=22,b=22-2时取等号.
(2)(2022·温州模拟)若正实数a,b满足b+3a=2ab,则a+bab2的最大值为 .
解析：因为正实数a,b满足b+3a=2ab,
所以a=b2b-3,则a+bab2=b+b2b-3b32b-3=-2b2+2b
=-2(1b-12)2+12,
当1b=12,即b=2时取得最大值12.
答案:12
消元法求最值解题策略
对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度3”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求式化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围.
角度5 由条件等式求a+b或ab的最值
[典例5]金榜原创·易错对对碰
(1)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则xy的取值范围是 .
解析：因为x>0,y>0,所以x+y≥2xy,当且仅当x=y时取等号,
即3-xy≥2xy,解得00,且x+y+xy-3=0,则x+y的取值范围是 .
解析：由x>0,y>0,3-x+y=xy≤x+y22,当且仅当x=y时取等号,
得x+y2+4x+y-12≥0,所以x+y≥2,
又3-x+y=xy>0,
所以x+y0,则4xx2+1的最大值为( )
A.2B.3C.4D.5
解析：选A.当x>0时,4xx2+1=4x+1x≤42x·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立.
2.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则( )
A.x+y≤1B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1
解析：选BC.因为ab≤a+b22≤a2+b22(a,b∈R),由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3x+y22,解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=-1时,x+y=-2,当且仅当x=y=1时,x+y=2,所以A错误,B正确;
由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤x2+y22,解得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时取等号,所以C正确;
因为x2+y2-xy=1变形可得x-y22+34y2=1,设x-y2=cs θ,32y=sin θ,所以x=cs θ+
13sin θ,y=23sin θ,因此x2+y2=cs2θ+53sin2θ+23sin θcs θ=1+13sin 2θ-13cs 2θ+13=43+23sin2θ-π6∈23,2,所以x2+y2≥1不成立,所以D错误.
3.(2023·石家庄模拟)已知ab>0,a+b=1,则a+4bab的最小值为 .
解析：因为ab>0,a+b=1,所以a+4bab=a+b1b+4a=ab+4ba+5≥2ab·4ba+5=9,当且仅当ab=4ba时,等号成立.所以a+4bab的最小值为9.
答案:9
4.已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则x+2y的最小值是 .
解析：由x>0,y>0,x+y+xy-3=0,得x=-y+3y+1=-1+4y+1,x+2y=-1+4y+1+2y=4y+1+2y+1-3≥42-3,当且仅当4y+1=
2y+1,即y=2-1时等号成立.
答案:42-3
【加练备选】
1.已知00,所以8xx2+4=8x+4x≤82x·4x=2,当且仅当x=4x,即x=2时取等号,
所以8xx2+4max=2,所以m2-m