高考数学复习第三章　第六节　函数的图象（导学案）

这是一份高考数学复习第三章　第六节　函数的图象（导学案），共18页。学案主要包含了课程标准，必备知识 精归纳，常用结论，基础小题 固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。

第六节 函数的图象
【课程标准】
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.学会运用函数图象研究函数的性质.
【必备知识 精归纳】
1.利用描点法作函数图象的方法步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)化简函数的解析式.
(3)讨论函数的性质,即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势).
(4)列表、描点、连线,画出函数的图象.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y=f(x)
y=f(ax).
②y=f(x)
y=af(x).
(3)对称变换
①y=f(x)y=-f(x).
②y=f(x)y=f(-x).
③y=f(x)y=-f(-x).
④y=ax(a>0且a≠1)y=lgax(a>0且a≠1).
(4)翻折变换
①y=f(x)y=|f(x)|.
②y=f(x)y=f(|x|).
点睛函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言,如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移12个单位长度,其中是把x变成x-12.
【常用结论】
函数图象平移变换“八字方针”
(1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量.
(2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值.
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)下列图象是函数y=x2,x<0,x-1,x≥0的图象的是( C )
解析：其图象是由y=x2图象中x<0的部分和y=x-1图象中x≥0的部分组成.
2.(错用图象变换)将函数f(x)=2x+3的图象向右平移3个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)= .
解析：g(x)=2(x-3)+3=2x-3.
答案:2x-3
3.(教材提升)已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示,若不等式-2解析：由题图可知不等式-2即为f(3)即不等式的解集为(-t,3-t),
依题意可得t=1.
答案:1
4.(结论)函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称,再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)= .
解析：f(x)=e-x,所以g(x)=e-(x-1)=e-x+1.
答案:e-x+1
5.(画错函数图象)若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是 .
解析：由题意a=|x|+x,令y=|x|+x=2x,x≥0,0,x<0,图象如图所示,故要使a=|x|+x只有一解,则a>0,即实数a的取值范围是(0,+∞).
答案:(0,+∞)
题型一 作函数的图象
[典例1]利用变换作出下列函数的图象:
(1)y=2x+1-1;
(2)y=|lg(x-1)|;
(3)y=x2-|x|-2.
解析：(1)将y=2x的图象向左平移1个单位长度,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位长度,得到y=2x+1-1的图象,如图①所示.
(2)首先作出y=lg x的图象,然后将其向右平移1个单位长度,得到y=lg(x-1)的图象,再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图象,如图②所示(实线部分).
(3)y=x2-|x|-2=x2-x-2,x≥0,x2+x-2,x<0,函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,其图象如图③所示.
【方法提炼】
函数图象的常见画法
(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
提醒(1)画函数的图象一定要注意定义域.
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序.
【对点训练】
作出下列函数的图象:
(1)y=2x-1x-1;(2)y=|x2-4x+3|.
解析：(1)y=2x-1x-1=2+1x-1,故函数的图象可由y=1x的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图①所示.
(2)先用描点法作出函数y=x2-4x+3的图象,再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折,x轴上方的图象不变,如图②实线部分所示.
【加练备选】
作出下列各函数的图象:
(1)y=x-|x-1|;
(2)y=(12)|x+2|;
(3)y=sin|x|.
解析：(1)根据绝对值的意义,可将函数解析式化为分段函数y=1,x≥1,2x-1,x<1,图象如图①所示.
(2)作出y=12x的图象,保留y=12x的图象中x≥0的部分,加上y=12x的图象中x>0部分关于y轴对称的部分,即得y=12|x|的图象,再向左平移2个单位长度,即得y=12|x+2|的图象,如图②实线部分.
(3)当x≥0时,y=sin|x|与y=sin x的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图象关于y轴对称,故图象如图③所示.
题型二 函数图象的识别
角度1 知式选图
[典例2](1)函数f(x)=x·csxe|x|的图象大致为( D )
解析：由题意知,f(x)的定义域为R,f(-x)=-x·cs(-x)e|-x|=-x·csxe|x|=-f(x),
故f(x)为奇函数,排除C;f(1)=cs1e>0,排除A;f(2)=2cs2e2<0,排除B.
(2)若函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数,则函数y=lga(|x|-1)的图象可能是( D )
解析：由f(x)在R上是减函数,知01时,y=lga(x-1)的图象由y=lgax的图象向右平移一个单位长度得到.因此D正确.
【方法提炼】
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
角度2 知图选式
[典例3](2021·浙江高考)已知函数f(x)=x2+14,g(x)=sin x,则图象为下图的函数可能是( D )
A.y=f(x)+g(x)-14
B.y=f(x)-g(x)-14
C.y=f(x)g(x)
D.y=g(x)f(x)
解析：根据题中图象可知,该函数是奇函数,且在0,π4上先单调递增再单调递减.A选项,y=h(x)=f(x)+g(x)-14=x2+sin x,h(-x)≠-h(x),不符合奇函数定义,故A项错误;
B选项,y=u(x)=f(x)-g(x)-14=x2-sin x,u(-x)≠-u(x),不符合奇函数定义,故B项错误;
C选项,y=f(x)g(x),y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),将x=π4代入y'可计算得出y'>0,
不符合图象在该点附近单调递减性质,故C项错误;D选项,y=g(x)f(x),y'=g'(x)f(x)-g(x)f'(x)f2(x),
将x=π4代入y'可计算得出y'<0,满足图象在该点附近单调递减性质,故D项正确.
【方法提炼】
根据图象确定解析式的方法
从图象的左右上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系,常用的方法有:
①定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题.
②定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题.
③函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
角度3 知图选图
[典例4]已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=ax+b的图象是( A )
解析：由题图可知b<-1,0【方法提炼】——自主完善,老师指导
函数图象的识别可从五个方面入手
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特征点,排除不符合要求的图象.
【对点训练】
1.已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( B )
解析：
2.(2022·潍坊模拟)函数f(x)=xx-sinx(x∈[-π,0)∪(0,π])的图象大致是( B )
解析：由题知f(x)的定义域关于原点对称,f(-x)=-x-x-sin(-x)=xx-sinx=f(x),
所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除A;
因为f(π)=ππ-0=1,f(π2)=π2π2-1>1,
所以f(π2)>f(π),故排除C,D.
3.如图可能是下列哪个函数的图象( C )
A.y=2x-x2-1 B.y=2xsinx4x+1
C.y=(x2-2x)ex D.y=xlnx
解析：函数的定义域为R,排除D;当x<0时,y>0,A中,当x=-1时,
y=2-1-1-1=-32<0,排除A;B中,当sin x=0时,y=0,所以y=2x·sinx4x+1有无数个零点,排除B.
【加练备选】
1.(2023·长春模拟)函数f(x)=cs πx+ln|2x|的大致图象是( C )
解析：因为f(x)=cs πx+ln|2x|(x≠0),所以f(-x)=cs(-πx)+ln|-2x|=cs πx+ln|2x|=f(x),
所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故排除选项A;f(1)=cs π+ln 2=-1+ln 2<0,故排除选项B;f(2)=cs 2π+ln 4=1+2ln 2>0,故排除选项D.
2.函数f(x)=3x-3-xx4的大致图象为( B )
解析：易知定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域关于原点对称.
f(-x)=3-x-3x(-x)4=-3x-3-xx4=-f(x),则f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A;
f(1)=3-13=83>0,排除D;当x→+∞时,3x→+∞,则f(x)→+∞,排除C.
题型三 函数图象的应用
角度1 研究函数的性质
[典例5](多选题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(12)1-x,则下列结论正确的是( ABD )
A.2是函数f(x)的周期
B.函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增
C.函数f(x)的最大值是1,最小值是0
D.当x∈(3,4)时,f(x)=(12)x-3
解析：由已知条件得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,A正确;
当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=(12)1+x,画出函数y=f(x)的部分图象如图所示.由图象知B正确,C不正确;当3【方法提炼】
一般根据图象观察函数性质有以下几方面:
一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;
二是观察函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;
三是观察图象上升或下降的情况,确定单调性.
角度2 函数图象在不等式中的应用
[典例6]如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥lg2(x+1)的解集是 ( C )
A.{x|-1C.{x|-1解析：如图,作出函数f(x)与y=lg2(x+1)的图象.易知直线BC的方程为y=-x+2,
由y=-x+2,y=lg2(x+1)得D点坐标为(1,1).由图可知,当-1【一题多变】
若本例中f(x)的图象不变,将不等式变为:关于x的不等式f(x)≥lg2(x+a)在(-1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是 .
解析：在同一坐标系中分别作出f(x)和y=lg2(x+a)的图象,若要使f(x)≥lg2(x+a)在(-1,2]上恒成立,只需y=f(x)的图象在(-1,2]上恒在y=lg2(x+a)的图象上方即可.
则需-a≥1,即a≤-1,
所以实数a的取值范围为(-∞,-1].
答案:(-∞,-1]
【方法提炼】
求解不等式时,若采用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
角度3 求参数的取值范围
[典例7]已知函数f(x)=2x-x,x≤0,lg2x-x,x>0,若方程f(x)=-2x+a有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是 .
解析：方程f(x)=-2x+a有两个不同的实数根,即方程f(x)+x=-x+a有两个不同的实数根,等价于函数y=f(x)+x与函数y=-x+a的图象有两个不同的交点.
因为f(x)=2x-x,x≤0,lg2x-x,x>0,所以y=f(x)+x=2x,x≤0,lg2x,x>0,
作出函数y=f(x)+x与y=-x+a的大致图象如图所示.
数形结合可知,当a≤1时,两个函数的图象有两个不同的交点,即函数y=f(x)+2x-a有两个不同的零点.
答案:(-∞,1]
【方法提炼】
当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化,利用数形结合思想确定参数的取值范围.
【对点训练】
1.(多选题)已知定义在R上的函数f(x),∀x∈R满足f(-x)+f(x)=0,且f(x+1)=-f(x-1),当x∈(0,1]时,f(x)=x2-x,则下列说法正确的是( AD )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)的最大值是0
C.f(12x)在区间[-1,0]上不具有单调性
D.f(2 022)=0
解析：由∀x∈R满足f(-x)+f(x)=0得f(x)是奇函数,所以A正确;
由f(-x)+f(x)=0与f(x+1)=-f(x-1)得f(x+1)=f(1-x),从而知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,由f(x+1)=-f(x-1)得f(x+2)=-f(x),从而有f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的最小正周期是4,画出函数f(x)在一个周期[-2,2]内的图象如图所示,
f(x)max=-f12=14,因此B错误;
由于“函数f12x在区间[-1,0]上的单调性”等价于“函数f(x)在区间-12,0上的单调性”,显然函数f(x)在区间-12,0上单调递减,因此C错误;f(2 022)=f(4×505+2)=f(2)=f(0)=0,因而D正确.
2.已知函数y=f(x)的图象是圆x2+y2=2上的两段弧,如图所示,则不等式f(x)>f(-x)-2x的解集是 .
解析：由题中图象可知,函数f(x)为奇函数,故原不等式可等价转化为f(x)>-x.在同一平面直角坐标系中分别画出y=f(x)与y=-x的图象,由图象可知不等式的解集为(-1,0)∪(1,2].
答案:(-1,0)∪(1,2]
3.设函数f(x)=|x2-2x|-ax-a,其中a>0,若只存在两个整数x,使得f(x)<0,则a的取值范围是 .
解析：f(x)=|x2-2x|-ax-a<0,
则|x2-2x|因为只存在两个整数x,使得f(x)<0,所以当x=1时,|12-2|=1,令2a=1,解得a=12,此时有2个整数使f(x)<0,即x=0或x=2,结合图象可得a的取值范围为(0,12].
答案:(0,12]
【加练备选】
1.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( C )
A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
解析：将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值,得f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0,
画出函数f(x)的图象,如图所示,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.
2.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a的图象的交点的个数,如图,当a>1时,两函数图象有两个交点;当01.
答案:(1,+∞)
3.若当x∈(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象始终在函数y=lgax的图象的下方,则实数a的取值范围是 .
解析：如图,在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x-1)2和y=lgax的图象.
由于当x∈(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象恒在函数y=lgax的图象的下方,
则a>1,lga2≥1,解得1答案:(1,2]
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教材改编
结论应用
易错易混
1,3
4
2,5