高考数学复习第三章　第七节　第二课时　函数模型及其应用（导学案）

这是一份高考数学复习第三章　第七节　第二课时　函数模型及其应用（导学案），共19页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，思维导图·构网络等内容，欢迎下载使用。

第2课时 函数模型及其应用
【课程标准】
1.了解指数函数、对数函数与一元一次函数增长速度的差异.
2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的现实含义.
3.会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
【必备知识·精归纳】
1.三种函数模型的性质
2.常见的函数模型
点睛函数模型应用问题的步骤(四步八字方针):审题,建模,解模,还原.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)在某个物理实验中,测得变量x和变量y的几组数据,如表:
则对x,y最适合的拟合函数是( )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=lg2x
解析：选D.根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;
根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;
将各数据代入函数y=lg2x,可知满足题意.
2.(教材变式)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=
3 000+20x-0.1x2(0A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
解析：选C.设利润为f(x)万元,
则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(03.(对三种函数增长速度的理解不透彻)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=lg2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)
解析：选B.由函数图象(图略)知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).
4.(建错函数关系式)生物学家采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据,并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系:ln f=ln k-lnW3(其中f是脉搏率(心跳次数/min),体重为W(g),k为正的常数),则体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率之比为( )
A.32 B.43 C.3 D.27
解析：选C.因为ln f=ln k-lnW3(其中f是脉搏率(心跳次数/min),体重为W(g),k为正的常数),所以当W=300 g时,则ln f1=3lnk-ln3003,
即ln f13=ln k3-ln 300,则f13=k3300,
当W=8 100 g时,则ln f2=3lnk-ln8 1003,
即ln f23=ln k3-ln 8 100,则f23=k38 100,
所以(f1f2)3=k3300k38 100=27,所以体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率之比为3.
5.(教材提升)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少要经过 个“半衰期”.
解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期”后的含量为(12)n,
由(12)n<11 000,得n≥10.所以,若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少需要经过10个“半衰期”.
答案:10
【题型一】用函数图象刻画变化过程
[典例1](1)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油
D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
解析：选D.从题图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1 L汽油的行驶路程可大于5 km,所以A错误;由题图可知甲车消耗汽油最少,所以B错误;甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1 h的路程为80 km,消耗8 L汽油,所以C错误;当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以D正确.
(2)(2022·北京高考)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献,如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是( )
A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
解析：选D.对于A选项,T=220,lg 1 026略大于lg 1 000=3,由题图知,处于固态;
对于B选项,T=270,lg 128略大于lg 100=2,由题图知,处于液态;
对于C选项,T=300,lg 9 987略小于lg 10 000=4,由题图知,处于固态;
对于D选项,T=360,lg 729大于2小于3,由题图知,处于超临界状态.
(3)(多选题)血药浓度(Plasma Cncentratin)是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:
根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是( )
A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用
B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒
C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒
解析：选ABC.从题图中可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确;根据题图可知,首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值,由题图可知两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5小时时,血药浓度稍大于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.
【方法提炼】
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
【对点训练】
1.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是( )
解析：选D.依题意知,当0≤x≤4时,f(x)=2x;
当4当82.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据得到如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律( )
A.y=mx2+n(m>0)
B.y=max+n(m>0,0C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlgax+n(m>0,a>0,a≠1)
解析：选B.由题图可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0【加练备选】
如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是( )
解析：选B.水匀速流出,所以鱼缸水深h先降低得快,中间降低缓慢,最后降低速度又越来越快.
【题型二】应用所给函数模型解决实际问题
[典例2](2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
解析：选C.将L=4.9代入L=5+lgV知,
lgV=4.9-5=-0.1,故V=10-0.1=11010≈0.8.
【方法提炼】
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数;
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数;
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
【对点训练】
1.(2022·合肥模拟)声强级(单位:dB)由公式LI=10lg(I10-12)给出,其中I为声强(单位:W/m2).某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪,开展了“不敢高声语,恐惊读书人”主题活动,要求课下同学之间交流时,每人的声强级不超过40 dB,现已知4位同学课间交流时,每人的声强分别为10-7W/m2, 2×10-9W/m2,5×10-10W/m2,
9×10-11W/m2,则这4人中达到班级要求的有( )
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人
解析：选C.依题意,当I=10-7W/m2时,
LI=10lg10-710-12=10lg 105=50;
当I=2×10-9W/m2时,LI=10lg2×10-910-12
=10lg(2×103)=10(lg 2+3)=30+10lg 2<30+10lg 10=40;
当I=5×10-10W/m2时,LI=10lg5×10-1010-12
=10lg(5×102)=10(lg 5+2)=20+10lg 5<20+10lg 10=30;
当I=9×10-11W/m2时,LI=10lg9×10-1110-12
=10lg(9×10)=10(lg 9+1)=10+10lg 9<10+10lg 10=20.
所以这4人中达到班级要求的有3人.
2.2022年10月16日,习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中,提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标.国内某企业为响应这一号召,计划在2023年投资新技术、生产新手机,通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本250万元,每生产x千部手机,需另投入成本R(x)万元,且R(x)=
10x2+100x,0(1)求2023年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润=销售额-成本);
(2)2023年产量为多少千部时,企业所获利润最大?最大利润是多少?
解析：(1)根据利润=销售额-成本,可得:
当0当x≥40时,W(x)=1 000x×0.7-250-(701x+10 000x-9 450)=-x-10 000x+9 200,
故W(x)=-10x2+600x-250,0(2)由(1)可知W(x) =-10x2+600x-250,0当0当x=30时,W(x)max=8 750;
当x≥40时,W(x)=-x-10 000x+9 200≤-2x·10 000x+9 200=9 000,
当且仅当x=10 000x, 即x=100时,W(x)max=9 000.
因为9 000>8 750,
所以产量为100千部时,企业所获利润最大,最大利润是9 000万元.
【加练备选】
1.(2023·九江模拟)碳是有机物的元素之一,生物在生存的时候,由于需要呼吸,其体内的碳-14含量大致不变,生物死去后会停止呼吸,此时体内的碳-14开始减少,人们可通过检测一件古物的碳-14含量,来估计它的大概年龄,这种方法称之为碳定年法.设Nf是生物样本中的碳-14的含量,N0是活体组织中碳-14的含量,t为生物死亡的时间(单位:年),已知Nf=N0·(12) tT(其中T为碳-14半衰期,且T=5 730),若2021年测定某生物样本中Nf=89N0,则此生物大概生活在( )
(参考资料:lg23≈1.585.西周:公元前1046年~公元前771年;晋代:公元266年~公元420年;宋代:公元960年~公元1279年;明代:公元1368年~公元1644年)
A.西周 B.晋代 C.宋代 D.明代
解析：选C.2021年测定某生物样本中Nf=89N0,已知Nf=N0(12) tT,
所以89N0=N0(12) tT,得89=(12) tT,
则tT=lg1289=-(lg28-lg29)
=-(3-2lg23)≈-(3-2×1.585)=0.17,
因为T=5 730,所以t=0.17×5 730=974.1,
所以2 021-974.1=1 046.9,故此生物大概生活在宋代.
2.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育,它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能,使成绩在原来的基础上有不同程度的提高,以便在高考中取得令人满意的成绩,特别对于成绩在中等偏下的学生来讲,其增加分数的空间尤其大.现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化,构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位:天),增加总分数f(t)(单位:分)的函数模型:f(t)=kP1+lg(t+1),k为增分转化系数,P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分,且f(60)=16P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分,依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg 61≈1.79)( )
A.440分 B.460分 C.480分 D.500分
解析：选B.由题意得,f(60)=kP1+lg61≈kP2.79=16P,所以k≈2.796=0.465,
所以f(100)=0.465×4001+lg101=1861+lg100+lg1.01≈1863=62,
所以该学生在高考中可能取得的总分约为400+62=462≈460(分).
【题型三】构造函数模型的实际问题
角度1 构造一次函数、二次函数、分段函数模型
[典例3](1)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )

分钟 分钟
分钟 分钟
解析：选B.由题图可知,三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数p=at2+bt+c的图象上,
所以9a+3b+c=0.716a+4b+c=0.825a+5b+c=0.5,
解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,
所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-154)2+1316,
因为t>0,所以当t=154=3.75时,p取得最大值,
故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间.
(2)某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出去的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).
①求函数y=f(x)的解析式;
②试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?
解析： ①当x≤6时,y=50x-115,
令50x-115>0,解得x>2.3,
因为x为整数,所以3≤x≤6,x∈Z.
当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.
令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,
结合x为整数得6所以y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),-3x2+68x-115(6②对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),
显然当x=6时,ymax=185;
对于y=-3x2+68x-115=-3(x-343)2+8113(6因为270>185,所以当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.
【方法提炼】
一次函数、二次函数和分段函数模型的选取及应用策略
(1)在实际问题中,若两个变量之间的关系是正相关或负相关或图象为直线(或其一部分),一般构建一次函数模型,利用一次函数的图象与性质求解.
(2)实际问题中的面积问题、利润问题、产量问题等一般选用二次函数模型,根据已知条件确定二次函数解析式.结合二次函数的图象、最值、单调性、零点等知识将实际问题解决.
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车的计费与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.
角度2 构造函数f(x)=ax+bx(ab>0)模型
[典例4]某小区为了升级居住环境,拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示),按规划要求:在矩形内的四周安排2 m宽的绿化,绿化造价为200元/m2,中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材,硬化造价为100元/m2.设矩形的长为x(单位:m).
(1)求总造价y(单位:元)关于长度x(单位:m)的函数;
(2)当x(单位:m)取何值时,总造价最低,并求出最低总造价.
解析：(1)由矩形的长为x m,得矩形的宽为200x m,则中间区域的长为(x-4)m,宽为(200x-4)m,定义域为x∈(4,50).
则y=100(x-4)(200x-4)+200×[200-(x-4)(200x-4) ],
整理得y=18 400+400(x+200x),x∈(4,50).
(2)因为x+200x≥2x·200x=202,
当且仅当x=200x,即x=102时取等号.
所以当x=102 m时,总造价最低为(18 400+8 0002)元.
【方法提炼】
应用对勾函数f(x)=ax+bx(ab>0)模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=bx叠加而成的.
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+bx(ab>0)的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f(x)=ax+bx(ab>0)的形式.
(3)利用模型f(x)=ax+bx(ab>0)求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成立的条件.
角度3 构造指数函数、对数函数模型
[典例5](1)(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
解析：选D.由题中散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,因此,最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y=a+bln x.
(2)中国共产党第二十次全国代表大会于2022年下半年在北京召开,党的二十大是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家,向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会.相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.资料显示,2021年,我国的GDP达到了17.7万亿美元,同期美国的GDP达到了23万亿美元,综合考虑多方面因素,将中国的GDP增速估计为6%,美国的GDP增速估计为2%,那么中国最有可能在 年实现对美国GDP的超越.参考数据:lg 1.3≈0.114,lg 1.04≈0.017.( )
A.2024 B.2026 C.2028 D.2030
解析：选C.设中国最有可能在x年后实现对美国GDP的超越,
则17.7(1+6%)x>23(1+2%)x,
即≈1.04x>2317.7≈1.3,
所以lg 1.04x>lg 1.3,
所以x>≈≈6.7,
故中国最有可能在2028年实现对美国GDP的超越.
【方法提炼】
指数(对数)函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在两类模型中,指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型,与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型;对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型.
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数.
【对点训练】
1.(2023·福州模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段),则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为 .
解析：根据题图求得y=-(x-6)2+11,
所以年平均利润yx=12-(x+25x),
因为x+25x≥10,当且仅当x=5时等号成立,
所以为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为5.
答案:5
2.(2022·滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度,他认为,成年男子身高160 cm及其以下不算高个子,其高个子系数k应为0;身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子,其高个子系数k应为1,请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(单位:cm)的函数关系式 .
解析：由题意知函数k(x)在[160,190]上单调递增,
设k(x)=ax+b(a>0),x∈[160,190],
由160a+b=0,190a+b=1,
解得a=130,b=-163,
所以k(x)=130x-163,
所以k=0,0答案:k=0,03.(2022·吉林模拟)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),则大约使用 年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.
解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元,
依题意可得14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4,化简得x-6×0.9x=0.
令f(x)=x-6×0.9x,易得f(x)为增函数,
又f(3)=-1.374<0,f(4)=0.063 4>0,
所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点.
故大约使用4年后,用在该车上的费用达到14.4万元.
答案:4
【加练备选】
拉面是很多人喜爱的食物.师傅在制作拉面的时候,将面团先拉到一定长度,然后对折,对折后面条根数变为原来的2倍,再拉到上次面条的长度.每次对折后,师傅都要去掉捏在一只手里的面团.如果拉面师傅将300克面团拉成细丝面条,每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克.第一次拉的长度是1米,共拉了7次,假定所有细丝面条粗细均匀、质量相等,则最后每根1米长的细丝面条的质量是 .
解析：拉面师傅拉7次面条共有27-1=26=64根面条,在7次拉面过程中共对折6次,则去掉面的质量为6×18=108(克);剩下64根面条的总质量为300-108=192(克),则每根1米长的细丝面条的质量为19264=3(克).
答案:3克
【思维导图·构网络】
函数
y=ax
(a>1)
y=lgax
(a>1)
y=xα
(α>0)
在(0,+∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随α值变化而各有不同
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型
f(x)=kx+b(k,b为常数且k≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型
f(x)=blgax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型
f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
教材改编
易错易混
1,2,5
3,4
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
-0.01
0.98
2.00