高考数学复习第四章　第二节　导数与函数的单调性（导学案）

这是一份高考数学复习第四章　第二节　导数与函数的单调性（导学案），共24页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，常用结论，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。

第二节 导数与函数的单调性
【课程标准】
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
【必备知识·精归纳】
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步,确定函数的定义域;
第2步,求出导数f'(x)的零点;
第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
【常用结论】
1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)函数y=x-ex的单调递减区间为( )
A.(-∞,0)B.(0,+∞)
C.[1,+∞)D.(1,+∞)
解析：选B.y'=1-ex<0,所以x>0.
2.(教材提升)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列判断正确的是( )
A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增
B.在区间(2,3)上f(x)单调递增
C.在区间(4,5)上f(x)单调递增
D.在区间(3,5)上f(x)单调递减
解析：选C.在区间(-2,1)上,当x∈（-2,-32)时,f'(x)<0,当x∈（-32,1)时,f'(x)>0,故f(x)在（-2,-32)上单调递减,在（-32,1)上单调递增,A错误;在区间(3,5)上,当x∈(3,4)时,f'(x)<0,当x∈(4,5)时,f'(x)>0,即f(x)在(3,4)上单调递减,在(4,5)上单调递增,D错误;在区间(4,5)上f'(x)>0恒成立,所以f(x)单调递增,C正确;在区间(2,3)上f'(x)<0恒成立,f(x)单调递减,故B错误.
3.(结论2)若函数h(x)=ln x-12ax2-2x在[1,4]上存在单调递减区间,则实数a的取值范围为( )
A.[-716,+∞)B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞)D. (-716,+∞)
解析：选B.因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间,所以h'(x)=1x-ax-2<0在[1,4]上有解,
所以当x∈[1,4]时,a>1x2-2x有解,
而当x∈[1,4]时,1x2-2x=(1x-1)2-1, (1x2-2x)min=-1(此时x=1),
所以a>-1,所以a的取值范围是(-1,+∞).
4.(教材变式)函数y=3x2-2ln x的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
解析：y'=6x-2x=6x2-2x.因为函数的定义域为(0,+∞),
所以由y'>0,得x>33,
所以函数的单调递增区间为(33,+∞).
由y'<0,得0所以函数的单调递减区间为(0,33).
答案: (33,+∞) (0,33)
5.(结论1)已知函数f(x)=sin x-ax,对于任意实数x1,x2,且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则a的取值范围是 .
解析：由题意知,f(x)在定义域内是单调递减函数,
所以f'(x)=cs x-a≤0恒成立,即cs x≤a在x∈R上恒成立,所以a≥1.
答案:[1,+∞)
6.(单调性与充要条件的关系把握不准)若函数f(x)=sin x+kx在(0,π)上是增函数,则实数k的取值范围为 .
解析：因为f'(x)=cs x+k≥0,
所以k≥-cs x,x∈(0,π)恒成立.
当x∈(0,π)时,-1<-cs x<1,所以k≥1.
答案:[1,+∞)
题型一 不含参数的函数的单调性
[典例1](1)函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是( )
A.(0,1)B.(1,+∞)
C.(-∞,1)D.(-1,1)
解析：选A.因为f'(x)=2x-2x
=2(x+1)(x-1)x(x>0),
令f'(x)=0,得x=1,
所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
(2)求下列函数的单调区间.
①f(x)=xlnx; ②f(x)=sinx2+csx;
③f(x)=(x-1)ex-x2; ④f(x)=2exsin x.
解析：①f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).
f'(x)=lnx-x·1x(lnx)2=lnx-1(lnx)2.
由f'(x)>0,解得x>e.
由f'(x)<0,解得0所以f(x)的单调递增区间是(e,+∞),f(x)的单调递减区间是(0,1),(1,e).
②f'(x)=(2+csx)csx-sinx(-sinx)(2+csx)2
=2csx+1(2+csx)2.
令f'(x)>0,得cs x>-12,
即2kπ-2π3令f'(x)<0,得cs x<-12,
即2kπ+2π3因此f(x)的单调递增区间为(2kπ-2π3,2kπ+2π3)(k∈Z),f(x)的单调递减区间为(2kπ+2π3,2kπ+4π3)(k∈Z).
③由f(x)=(x-1)ex-x2,
得f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln 2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化如表:
由表可知,函数f(x)的单调递减区间为(0,ln 2),单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞).
④f'(x)=2ex(sin x+cs x)=22exsin(x+π4),
由f'(x)<0,解得2kπ+3π4由f'(x)>0,解得2kπ-π4故f(x)在(2kπ-π4,2kπ+3π4)(k∈Z)上单调递增,在(2kπ+3π4,2kπ+7π4)(k∈Z)上单调递减.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求f'(x).
(3)在定义域内解不等式f'(x)>0,得单调递增区间.
(4)在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间.
提醒确定不含参数的函数的单调性,应注意一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.
【对点训练】
1.函数y=4x2+1x的单调递增区间为( )
A.(0,+∞)B. (12,+∞) )
C.(-∞,-1)D. (-∞,-12)
解析：选B.由y=4x2+1x(x≠0),得y'=8x-1x2,
令y'>0,即8x-1x2>0,解得x>12,
所以函数y=4x2+1x的单调递增区间为(12,+∞).
2.若函数f(x)=lnx+1ex,则函数f(x)的单调递减区间为 .
解析：f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1x-lnx-1ex,
令φ(x)=1x-ln x-1(x>0),
φ'(x)=-1x2-1x<0,
φ(x)在(0,+∞)上单调递减,且φ(1)=0,
所以当x∈(0,1)时,φ(x)>0,
当x∈(1,+∞)时,φ(x)<0,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
答案:(1,+∞)
3.(2021·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=x(1-ln x).讨论f(x)的单调性.
解析：因为f(x)=x(1-ln x),
所以f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-ln x+x·(-1x)=-ln x.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0.
所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
【加练备选】
1.(2022·山师附中模拟)若幂函数f(x)的图象过点(22,12),则函数g(x)=f(x)ex的单调递增区间为( )
A.(0,2)B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-2,0)D.(-∞,-2)∪(0,+∞)
解析：选A.设f(x)=xα,代入点(22,12),
则(22)α=12,解得α=2,
所以g(x)=x2ex,
则g'(x)=2xex-x2exe2x=x(2-x)ex,
令g'(x)>0,解得0所以函数g(x)的单调递增区间为(0,2).
2.已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=x+2cs x,则f(x)的单调递增区间为 .
解析：f'(x)=1-2sin x,x∈(0,π).
令f'(x)=0,得x=π6或x=5π6,
当00,
当π6当5π60,
所以f(x)在(0,π6)和(5π6,π)上单调递增,在(π6,5π6)上单调递减.
答案: (0,π6),(5π6,π)
题型二 含参数的函数的单调性
[典例2](1)(2021·全国乙卷节选)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1,讨论f(x)的单调性.
解析：由题意知f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-2x+a,对于f'(x)=0,Δ=(-2)2-4×3a=4(1-3a).
(ⅰ)当a≥13时,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增;
(ⅱ)当a<13时,令f'(x)=0,即3x2-2x+a=0,
解得x1=1-1-3a3,x2=1+1-3a3,
令f'(x)>0,则xx2;
令f'(x)<0,则x1所以f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
综上,当a≥13时,f(x)在R上单调递增;
当a<13时,f(x)在(-∞,1-1-3a3)上单调递增,
在(1-1-3a3,1+1-3a3)上单调递减,
在(1+1-3a3,+∞)上单调递增.
(2)已知函数g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,若a>0,试讨论函数g(x)的单调性.
解析：函数g(x)的定义域为(0,+∞),
g'(x)=1x+2ax-(2a+1)=2ax2-(2a+1)x+1x=(2ax-1)(x-1)x.
当a>0时,令g'(x)=0,
得x=1或x=12a(a>0).
①若12a<1,即a>12时,
则当x∈(0,12a)∪(1,+∞)时,g'(x)>0,
当x∈(12a,1)时,g'(x)<0.
所以函数g(x)在(0,12a)上单调递增,在(12a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
②若12a=1,即a=12时,g'(x)=(x-1)2x≥0恒成立,
所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.
③若12a>1,即0则由g'(x)>0,得x>12a或0由g'(x)<0,得1所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,12a)上单调递减,在(12a,+∞)上单调递增.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
函数在某区间上的单调性的讨论
(1)在区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(或减)函数的充分不必要条件.
(2)可导函数f(x)在(a,b)上是增(或减)函数的充要条件:∀x∈(a,b),都有f'(x)≥0(或f'(x)≤0),且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零.
(3)由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数取值范围的问题,可化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立的问题.要注意“=”能否取到.
提醒研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=ax+ln x(a∈R),求f(x)的单调区间.
解析：由已知得f'(x)=a+1x=ax+1x(x>0).
①当a≥0时,由于x>0,故ax+1>0,f'(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,令f'(x)=0,得x=-1a.在区间(0,-1a)上,f'(x)>0,
在区间(-1a,+∞)上,f'(x)<0,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,-1a),单调递减区间为(-1a,+∞).
2.已知函数f(x)=x-2x+a(2-ln x),a>0,讨论f(x)的单调性.
解析：由题知,f(x)的定义域是(0,+∞),
f'(x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2.
设g(x)=x2-ax+2,
则二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.
①当Δ<0,即00都有f'(x)>0.
此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当Δ=0,即a=22时,仅对x=2有f'(x)=0,对其余的x>0都有f'(x)>0.此时f(x)也在(0,+∞)上单调递增.
③当Δ>0,即a>22时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=a-a2-82,x2=a+a2-82,且0则x,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
此时f(x)在(0,a-a2-82)上单调递增,在(a-a2-82,a+a2-82)上单调递减,在(a+a2-82,+∞)上单调递增.
【加练备选】
(2023·贵阳模拟)已知函数f(x)=x2+mx+1ex(m≥0),其中e为自然对数的底数.讨论函数f(x)的单调性.
解析：由题得f'(x)=-x2+(m-2)x+1-mex=-[x-(1-m)](x-1)ex,
当m=0,即1-m=1时,f'(x)=-(x-1)2ex≤0,f(x)在R上单调递减;
当m>0,即1-m<1时,令f'(x)<0得x<1-m或x>1,
令f'(x)>0得1-m所以f(x)在(-∞,1-m),(1,+∞)上单调递减,在(1-m,1)上单调递增.
综上,当m=0时,f(x)在R上单调递减;
当m>0时,f(x)在(-∞,1-m),(1,+∞)上单调递减,在(1-m,1)上单调递增.
题型三 函数单调性的应用
角度1 比较大小或解不等式
[典例3](1)已知函数f(x)=sin x+cs x-2x,a=f(-π),b=f(2e),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>c>bB.a>b>c
C.b>a>cD.c>b>a
解析：选A.因为f'(x)=cs x-sin x-2=
2cs(x+π4)-2<0恒成立,所以f(x)在R上单调递减,因为-π所以f(-π)>f(ln 2)>f(2e),即a>c>b.
(2)已知a=12ln 2+14,b=2e,c=ln π+1π,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.c解析：选B.令f(x)=lnx+1x,则f'(x)=-lnxx2,
令f'(x)>0,解得0所以f(x)在(0,1)上单调递增,
令f'(x)<0,解得x>1,
所以f(x)在(1,+∞)上单调递减.a=12ln 2+14=2ln2+14=ln4+14=f(4),b=2e=ln e+1e=f(e),c=ln π+1π=f(π),
因为1所以f(e)>f(π)>f(4),即b>c>a.
(3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为( )
A.{x|x>-2}B.{x|x>2}
C.{x|x<2}D.{x|x<-2或x>2}
解析：选B.令g(x)=f(x)-2x3-2x,
则g'(x)=f'(x)-6x2-2>0,
所以g(x)在R上单调递增.
因为g(2)=f(2)-2×23-2×2=0,
故原不等式等价于g(x)>g(2),
所以x>2,所以不等式的解集为{x|x>2}.
【方法提炼】
1.比较函数值大小时,若自变量不在同一单调区间内,则要利用函数的性质,将其转化到同一个单调区间上,再进行比较.
2.利用单调性比较大小或解不等式,关键是根据题意构造辅助函数,利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式.
3.常构造的辅助函数:g(x)=xf(x),g(x)=f(x)x,g(x)=exf(x),g(x)=f(x)ex,g(x)=ln x·f(x),g(x)=f(x)lnx等.
角度2 根据函数的单调性求参数的范围
[典例4](1)已知函数f(x)=12x2+2ax-ln x,若f(x)在区间[13,2]上单调递增,则实数a的取值范围为 .
解析：由题意知f'(x)=x+2a-1x≥0在[13,2]上恒成立,即2a≥-x+1x在[13,2]上恒成立,
因为(-x+1x)max=83,
所以2a≥83,即a≥43.
答案: [43,+∞)
【一题多变】
在本例中,把“f(x)在区间[13,2]上单调递增”改为“f(x)在区间[13,2]上存在单调递增区间”,求a的取值范围.
解析：f'(x)=x+2a-1x,
若f(x)在[13,2]上存在单调递增区间,
则当x∈[13,2]时,f'(x)>0有解,
即2a>-x+1x有解,
因为x∈[13,2],
所以(-x+1x)min=-2+12=-32,
所以2a>-32,即a>-34,
故a的取值范围是(-34,+∞).
(2)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是减函数,则a的取值范围是 .
解析：f'(x)=[x2-2(a-1)x-2a]·ex,
因为f(x)在[-1,1]上是减函数,
所以f'(x)≤0对x∈[-1,1]恒成立,
所以x2-2(a-1)x-2a≤0对x∈[-1,1]恒成立.
设g(x)=x2-2(a-1)x-2a,
所以g(-1)≤0,g(1)≤0,
所以1+2(a-1)-2a≤0,1-2(a-1)-2a≤0,
解得a≥34.
答案: [34,+∞)
(3)金榜原创·易错对对碰
已知函数f(x)=x3+ax2+1,a∈R.
①讨论函数f(x)的单调区间;
②若函数f(x)在区间(-23,0)上是减函数,求a的取值范围;
③若函数f(x)的单调递减区间是(-23,0),求a的值.
解析：①对f(x)求导得f'(x)=3x2+2ax=
3x(x+23a).
ⅰ当a=0时,f'(x)=3x2≥0恒成立.
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞).
ⅱ当a>0时,因为f'(x)在(-∞,-23a)和(0,+∞)上都恒为正,
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-23a),(0,+∞).
因为f'(x)在(-23a,0)上恒为负,
所以f(x)的单调递减区间是(-23a,0).
ⅲ当a<0时,在(-∞,0)和(-23a,+∞)上均有f'(x)>0,
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0), (-23a,+∞);
在(0,-23a)上,f'(x)<0,
所以f(x)的单调递减区间是(0,-23a).
②由①知,a>0且(-23,0)⊆(-23a,0),
所以-23a≤-23,所以a≥1.
即a的取值范围为[1,+∞).
③由①知a>0且(-23,0)=(-23a,0),所以a=1.
【方法提炼】
1.f(x)在区间D上单调递增(减),只要f'(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立即可,如果能够分离参数,则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.
2.二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则f(π5),f(1),f(-π3)的大小关系为( )
A.f(-π3)>f(1)>f(π5)
B.f(1)>f(-π3)>f(π5)
C.f(π5)>f(1)>f(-π3)
D.f(-π3)>f(π5)>f(1)
解析：选A.因为f(x)=xsin x,
所以f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x),
所以函数f(x)是偶函数,
所以f(-π3)=f(π3).
又当x∈(0,π2)时,f'(x)=sin x+xcs x>0,
所以函数f(x)在(0,π2)上单调递增,
所以f(π5)即f(-π3)>f(1)>f(π5).
2.(2022·益阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f'(x),当x>0时,f(x)+xf'(x)>0,且f(1)=0,则不等式(x2-2x)f(x)<0的解集为( )
A.(-∞,-1)∪(1,2) B.(-1,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
解析：选A.因为(x2-2x)f(x)=x(x-2)f(x),
所以记g(x)=xf(x),
因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以g(x)为定义在R上的偶函数,
又g'(x)=f(x)+xf'(x),
因为当x>0时,f(x)+xf'(x)>0,
所以当x>0时,g'(x)>0,
即g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,
又f(1)=0,得g(1)=0,
所以g(-1)=0,不等式(x2-2x)f(x)<0等价于(x-2)g(x)<0,
所以x-2<0,g(x)>0或x-2>0,g(x)<0,
即x<2,x<-1或x>1
或x>2,-1解得x<-1或13.若函数f(x)=ex(sin x+a)在区间(-π2,π2)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.[2,+∞)
C.[1,+∞)D.(-2,+∞)
解析：选C.由题意得f'(x)=ex(sin x+a)+excs x=ex[2sin(x+π4)+a],
因为f(x)在(-π2,π2)上单调递增,
所以f'(x)≥0在(-π2,π2)上恒成立,又ex>0,
所以2sin(x+π4)+a≥0在(-π2,π2)上恒成立,
当x∈(-π2,π2)时,x+π4∈(-π4,3π4),
所以sin(x+π4)∈(-22,1],
所以2sin(x+π4)+a∈(-1+a,2+a],
所以-1+a≥0,
解得a≥1,即a∈[1,+∞).
【加练备选】
(2023·株洲模拟)若函数f(x)=ax3+x恰有3个单调区间,则a的取值范围为 .
解析：由f(x)=ax3+x,得f'(x)=3ax2+1.
若a≥0,则f'(x)>0恒成立,此时f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,不满足题意;
若a<0,由f'(x)>0得--13a 由f'(x)<0,得x<--13a或x>-13a,
即当a<0时,f(x)的单调递增区间为
(--13a,-13a),
单调递减区间为(-∞,--13a),(-13a,+∞),满足题意.
答案:(-∞,0)
【思维导图·构网络】
解题方法拓广角度❺ 具体函数与抽象函数的融合
【特征形式】以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)g(x)”等特征式,考查导数运算法则的逆向及变形应用.
【解题策略】解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用该函数的性质解决问题.
命题点1 构造y=f(x)±g(x)型可导函数
[典例1]设f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f'(x)-cs x<0,则不等式f(x)解析：令φ(x)=f(x)-sin x,
当x≥0时,φ'(x)=f'(x)-cs x<0,
所以φ(x)在[0,+∞)上单调递减,
又f(x)为R上的奇函数,
所以φ(x)为R上的奇函数,
所以φ(x)在(-∞,0]上单调递减,
故φ(x)在R上单调递减且φ(0)=0,
不等式f(x)即φ(x)<0,即φ(x)<φ(0),故x>0,
所以原不等式的解集为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
命题点2 利用f(x)与x构造可导型函数
[典例2](1)设f(x)为定义在R上的奇函数,f(-3)=0.当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0,其中f'(x)为f(x)的导函数,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(0,3)
B.(-3,0)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(0,3)
D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
解析：选B.令g(x)=x2f(x),x∈R,
当x>0时,g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)
=x[xf'(x)+2f(x)]>0,
即g(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为f(x)为R上的奇函数,
即f(-x)=-f(x),
于是得g(-x)=(-x)2f(-x)=-g(x),
则g(x)是奇函数,g(x)在(-∞,0)上单调递增,
又f(-3)=0,
则g(3)=-g(-3)=-[(-3)2f(-3)]=0,
当x>0时,f(x)>0⇔g(x)>0=g(3),得x>3,
当x<0时,f(x)>0⇔g(x)>0=g(-3),
得-3综上,得-33,所以使f(x)>0成立的x的取值范围是(-3,0)∪(3,+∞).
(2)设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,当x<0时,有xf'(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为 .
解析：构造F(x)=f(x)x,
则F'(x)=f'(x)·x-f(x)x2,
当x<0时,xf'(x)-f(x)>0,可以推出
当x<0时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.
因为f(x)为偶函数,所以F(x)为奇函数,
所以F(x)在(0,+∞)上也单调递增.
根据f(1)=0可得F(1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图象可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
【方法提炼】
(1)出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);
(2)出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(x)xn.
命题点3 利用f(x)与ex构造可导型函数
[典例3](1)f(x)为定义在R上的可导函数,且f'(x)>f(x),对任意正实数a,下列式子成立的是( )
A.f(a)eaf(0)
C.f(a)f(0)ea
解析：选B.令g(x)=f(x)ex,
所以g'(x)=f'(x)ex-f(x)ex(ex)2
=f'(x)-f(x)ex>0.
所以g(x)在R上单调递增.又a>0,
所以g(a)>g(0),即f(a)ea>f(0)e0,
即f(a)>eaf(0).
(2)若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>1e2x的解集为 .
解析：构造F(x)=f(x)·e2x,
所以F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x
=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,
所以F(x)在R上单调递增,
且F(0)=f(0)·e0=1,
不等式f(x)>1e2x可化为f(x)e2x>1,
即F(x)>F(0),所以x>0,
所以原不等式的解集为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
【方法提炼】
(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);
(2)出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(x)enx.
命题点4 利用f(x)与sin x,cs x构造可导型函数
[典例4](1)已知函数y=f(x)对任意的x∈(0,π),满足f'(x)sin x>f(x)cs x,则下列不等式成立的是( )
A.f(π4)<2f(π6)B.f(π4)>2f(π6)
C.f(π6)>2f(π4)D.f(π6)<2f(π4)
解析：选B.令F(x)=f(x)sinx,x∈(0,π),
则F'(x)=f'(x)sinx-f(x)csxsin2x,
因为f'(x)sin x>f(x)cs x,
则f'(x)sin x-f(x)cs x>0,所以F'(x)>0,
所以F(x)在(0,π)上单调递增,
所以F(π4)>F(π6),
即f(π4)sinπ4>f(π6)sinπ6,即f(π4)>2f(π6).
(2)已知函数y=f(x)对于任意的x∈(-π2,π2)满足f'(x)cs x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式不成立的是( )
A.2f(π3)C.f(0)<2f(π4)D.f(0)<2f(π3)
解析：选A.构造F(x)=f(x)csx,
则 F'(x)=f'(x)csx+f(x)sinxcs2x,
导函数f'(x)满足f'(x)cs x+f(x)sin x>0,
则F'(x)>0,F(x)在(-π2,π2)上单调递增,把选项转化后可知选A.
【方法提炼】
f(x)与sin x,cs x相结合构造可导函数的几种常见形式:
(1)F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cs x;
(2)F(x)=f(x)sinx,F'(x)=f'(x)sinx-f(x)csxsin2x;
(3)F(x)=f(x)cs x,F'(x)=f'(x)cs x-f(x)sin x;
(4)F(x)=f(x)csx,F'(x)=f'(x)csx+f(x)sinxcs2x.
【加练备选】
1.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数f'(x)满足f'(x)A.f(2)>e2f(0),f(2 022)>e2 022f(0)
B.f(2)e2 022f(0)
C.f(2)>e2f(0),f(2 022)D.f(2)解析：选D.构造F(x)=f(x)ex,则F'(x)=exf'(x)-exf(x)e2x=f'(x)-f(x)ex,导函数f'(x)满足f'(x)则F'(x)<0,F(x)在R上单调递减,根据单调性可知选D.
2.已知R上的奇函数f(x),其导函数为f'(x),且当x∈(0,+∞)时,f'(x)sin x+f(x)cs x<0,若a=22f(-π6),b=-f(π4),则a与b的大小关系为 .
解析：设φ(x)=f(x)·sin x,
则φ'(x)=f'(x)sin x+f(x)cs x,
因为x∈(0,+∞)时,φ'(x)<0,
所以φ(x)在(0,+∞)上单调递减,
又f(x)为奇函数,所以φ(x)为偶函数,
所以φ(-π6)=φ(π6)>φ(π4),
即f(-π6)·sin(-π6)>f(π4)·sin π4,
即-12f(-π6)>22f(π4),
即22f(-π6)<-f(π4),所以a答案:a条件
结论
函数y=f(x)在区间(a,b)上可导
f'(x)>0
f(x)在区间(a,b)上单调递增
f'(x)<0
f(x)在区间(a,b)上单调递减
f'(x)=0
f(x)在区间(a,b)上是常数函数
教材改编
结论应用
易错易混
1,2,4
3,5
6
x
(-∞,0)
0
(0,ln 2)
ln 2
(ln 2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
x
(0,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调
递增
极大值
单调
递减
极小值
单调
递增