高考数学复习第四章　第三节　导数与函数的极值、最值（导学案）

这是一份高考数学复习第四章　第三节　导数与函数的极值、最值（导学案），共20页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，常用结论，基础小题·固根基，方法提炼，一题多变，对点训练，加练备选等内容，欢迎下载使用。
第三节 导数与函数的极值、最值
【课程标准】
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会利用导数求某些函数的极大值、极小值.
3.会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
【必备知识·精归纳】
1.函数的极值与导数
点睛(1)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.
(2)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
点睛极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.
【常用结论】
1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.
3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为( )

A.1B.2C.3D.4
解析：选A.由题意知只有在x=-1处f'(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正.
2.(教材变式)函数f(x)=2x-xln x的极值是( )
A.1eB.2eC.eD.e2
解析：选C.因为f'(x)=2-(ln x+1)=1-ln x,当f'(x)>0时,解得02时,f'(x)0.
若a≤0,则f'(x)>0恒成立,f(x)不存在极值.
若a>0,则x,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以f(x)的极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤
(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f'(x).
(2)求方程f'(x)=0在f(x)定义域内的根.
(3)检查导数f'(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
提醒(1)导数为零的点不一定是极值点.
(2)在解答题中涉及极值问题要列出表格.
角度3 已知极值(点)求参数
[典例3](1)(2021·全国乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )
A.ab
C.aba2
解析：选D.当a>0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图1所示,观察可知b>a.
当ab.
综上,可知必有ab>a2成立.
(2)已知函数f(x)=12x2+(a-1)x-aln x存在唯一的极值,且此极值不小于1,则实数a的取值范围为 .
解析：因为f(x)=12x2+(a-1)x-aln x的定义域为(0,+∞),
所以f'(x)=x+(a-1)-ax=x2+(a-1)x-ax=(x+a)(x-1)x,
令f'(x)=0,解得x=1或x=-a,
因为函数f(x)=12x2+(a-1)x-aln x存在唯一的极值,所以x=1,此时a≥0.
所以当x∈(0,1)时,f'(x)0,
若a>1,当x0,2ex0.
解得a0,f(x)单调递增;
当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(3,+∞)时,y0⇒f'(x)0,g(x)单调递增;
当x>1时,g'(x)1时,g(x)>0,当x→+∞时,g(x)→0,当x→0时,g(x)→-∞,所以00,
所以f(x)min=f(1)=2-1-2ln 1=1;
②当0ln e=1.
综上,f(x)min=1.
答案:1
(3)已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.
①当a=-1时,求f(x)的最大值;
②若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.
解析：①易知f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=-1时,f(x)=-x+ln x,f'(x)=-1+1x=1-xx,
令f'(x)=0,得x=1.
当00;
当-20,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,53)时,V'(r)0),求当下潜速度v取什么值时,总用氧量最少.
解析：(1)由题意,下潜用时60v(单位时间),
用氧量为[(v10)3+1]×60v=3v250+60v(升);
水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升);
返回水面用时60v2=120v(单位时间),用氧量为120v×1.5=180v(升),所以总用氧量y=3v250+240v+9(v>0).
(2)y'=3v25-240v2=3(v3-2 000)25v2,
令y'=0,得v=1032.
当00,函数单调递增.
所以当0