高考数学复习第五章　第四节　三角函数的图象与性质（导学案）

这是一份高考数学复习第五章　第四节　三角函数的图象与性质（导学案），共21页。学案主要包含了课程标准，常用结论，一题多变，方法提炼，对点训练，加练备选，思维导图·构网络等内容，欢迎下载使用。
第四节 三角函数的图象与性质
【课程标准】
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在(π2,π2)性质.
必备知识 精归纳
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),(π2,1)(π,0),(3π2,-1),(2π,0).
在余弦函数y=cs x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),(π2,0),(π,-1),( 3π2,0),(2π,1).
点睛 函数y=sin x,x∈[0,2π],y=cs x,x∈[0,2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
点睛(1)正、余弦函数的单调性只能说函数在某个区间上具有单调性,而不能说函数在第几象限上具有单调性;
(2)y=tan x无单调递减区间且y=tan x在整个定义域内不单调;
(3)求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时要注意A和ω的符号,避免出现增减区间的混淆;
(4)注意正切函数本身的定义域.
【常用结论】
1.三角函数的对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.正(余)弦函数在对称轴处取得最值.
基础小题 固根基
1.(教材变式)函数y=tan(π4-x)的定义域是( )
A.xx≠π4,x∈R
B.xx≠-π4,x∈R
C.xx≠π4+kπ,k∈Z,x∈R
D.xx≠3π4+kπ,k∈Z,x∈R
解析：选D. 函数的解析式即y=-tanx-π4,要使函数有意义,则x-π4≠π2+kπk∈Z,解得x≠3π4+kπk∈Z,据此可得函数y=tanπ4-x的定义域是xx≠3π4+kπ,k∈Z,x∈R.
2.(教材提升)已知函数f(x)=sin xcs x,则( )
A.f(x)的最小正周期是2π,最大值是1
B.f(x)的最小正周期是π,最大值是12
C.f(x)的最小正周期是2π,最大值是12
D.f(x)的最小正周期是π,最大值是1
解析：选B. 函数f(x)=sin xcs x=12sin 2x,
故函数的周期为T=2π2=π,当2x=π2+2kπ,
即x=π4+kπ(k∈Z)时,函数取最大值为12.
3.(忽视系数的符号致误)下列区间中,函数f(x)=7sin(π6-x)的单调递减区间是( )
A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)
解析：选A.f(x)=7sin(π6-x)=-7sin(x-π6),
因此函数f(x)=7sin(π6-x)的单调递减区间即为函数y=7sin(x-π6)的单调递增区间.
令-π2+2kπ≤x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ,k∈Z.
取k=0,则-π3≤x≤2π3.
因为(0,π2)⊆[-π3,2π3],
所以区间(0,π2)是函数f(x)的单调递减区间.
4.(结论1)若x1=π4,x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=( )
A.2B.32C.1D.12
解析：选A.由题意及函数f(x)=sin ωx的图象与性质可知,12T=3π4-π4,所以 T=π,
所以 2πω=π,所以 ω=2.
5.(忽视系数的符号致误)已知函数f(x)=cs(ωx+π4)的周期为π,则ω= .
解析：由T=2πω=π可知ω=±2.
答案:±2
6.(结论2)设函数f(x)=2sin(2x+φ+π4)(|φ|0-π2ω≤-π2,π2ω≥2π3即00)的一条对称轴,且函数y=sin(ωx-π4)在区间[0,π12]上不单调,则ω的最小值为( )
A.9 B.7 C.11 D.3
解析：选C. 因为直线x=π4是曲线
y=sinωx-π4(ω>0)的一条对称轴,则
π4ω-π4=kπ+π2,k∈Z,即ω=4k+3,k∈Z,
由-π2≤ωx-π4≤π2得-π4ω≤x≤3π4ω,则函数
y=sin(ωx-π4)在[-π4ω,3π4ω]上单调递增,
而函数y=sin(ωx-π4)在区间[0,π12]上不单调,则3π4ω9,所以ω的最小值为11.
题型三 三角函数的周期性、对称性、奇偶性
角度1 三角函数的周期性、奇偶性
[典例4](1)下列函数中,以2π为最小正周期的函数有( )
A.y=tanx2B.y=sinx2
C.y=|sin 2x|D.y=cs4x-sin4x
解析：选A.由y=tanx2可知最小正周期T=π12=2π,A正确;y=sinx2,最小正周期T=2π12=4π,B不正确;y=|sin 2x|,最小正周期为π2,故C不正确;y=cs4x-sin4x=(cs2x+sin2x)(cs2x-sin2x)=cs 2x,
因此T=2π2=π,D不正确.
(2)已知函数f(x)=2sin2ωx+23sin ωxcs ωx-1(ω>0)图象的相邻两条对称轴间的距离为π2,若函数g(x)=f(x+φ)是偶函数,求φ的值.
解析：f(x)=2sin2ωx+23sin ωxcs ωx-1=1-cs 2ωx+3sin 2ωx-1=3sin 2ωx-cs 2ωx=2sin(2ωx-π6).
因为函数图象相邻两条对称轴间的距离为π2,
所以函数的最小正周期为π,
所以2π2ω=π,所以ω=1,
所以f(x)=2sin(2x-π6),
所以g(x)=f(x+φ)=2sin(2x+2φ-π6)是偶函数,所以2φ-π6=kπ+π2(k∈Z),
解得φ=kπ2+π3(k∈Z).
【一题多变】
本例(2)中若函数g(x)=f(x+φ)是奇函数,则φ的值为 .
解析：因为g(x)=f(x+φ)=2sin(2x+2φ-π6)是奇函数,
所以2φ-π6=kπ(k∈Z),解得φ=kπ2+π12(k∈Z).
答案:kπ2+π12(k∈Z)
【方法提炼】
1.三角函数周期的求法
①求y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)或y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,ωA≠0)的周期直接应用公式T=2π|ω|或T=π|ω|求解.
②形如y=f(x)(其中f(x)是三角函数)的周期,可以借助函数图象特征或定义求解.
2.三角函数奇偶性判断及应用
三角函数奇偶性判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质y=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z),若y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=π2+kπ(k∈Z).
角度2 利用函数图象特征研究三角函数的对称性
[典例5](1)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sinωx+π4+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3