高考数学复习第五章　第五节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用（导学案）

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1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
1.简谐运动的有关概念
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个特征点
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
点睛由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换为向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.
1.(教材变式)函数y=5sin(2x-π4)的振幅、频率和初相分别为( )
A.5,1π,π4B.5,12π,π4
C.5,1π,-π4D.5,12π,-π4
解析：选C. 由题意得A=5,T=2π2=π,
所以f=1T=1π,φ=-π4.
2.(教材提升)用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不是关键点( )
A. (π6,12)B. (π2,1)C.(π,0)D.(2π,0)
解析：选A. 五点法作图的五个点是一个周期内的5个特殊位置,即最值点和函数与x轴的交点,因此(π6,12)不满足题意.
3.(教材变式)函数y=sin(2x-π3)在区间[-π2,π]的简图是( )
解析：选B. 当x=-π2时,y=sin[2×(-π2)-π3]=-sin(π+π3)=sinπ3=32>0,故排除A,D;
当x=π6时,y=sin(2×π6-π3)=sin 0=0,故排除C.
4.(混淆ω值的影响)函数y=cs x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cs ωx,则ω的值为( )
A.3B.13C.9D.19
解析：选B.函数y=cs x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的3倍,得到的图象解析式为y=cs13x,所以ω=13.
5.(忽视x系数)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin3x+π5图象上所有的点( )
A.向左平移π5个单位长度
B.向右平移π5个单位长度
C.向左平移π15个单位长度
D.向右平移π15个单位长度
解析：选D.因为y=2sin 3x=2sin[3(x-π15)+π5],所以把函数y=2sin3x+π5图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y=2sin 3x的图象.
6.(教材提升)如图,弹簧挂着的小球上下振动,它在t秒时相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度h厘米满足下列关系:h=2sin(t+π6),t∈[0,+∞),则每秒钟小球能振动 次.
解析：由题意可得小球震动的周期T=2π1=2π,
所以可得频率为1T=12π,
即每秒钟小球能往复振动12π次.
答案:12π
题型一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[典例1](1)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变,再将所得图象向左平移π6个单位长度,所得图象对应的函数解析式为( )
A.y=sin2x+π6B. y=sin2x+π3
C.y=sin12x+π6D. y=sin12x+π12
解析：选D. 将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变得
y=sin12x,
再向左平移π6个单位长度得y=sin12(x+π6),
即y=sin12x+π12.
(2)要得到函数y=cs(2x-π6)的图象,可以把函数y=sin 2x的图象( )
A.向右平移π6个单位长度
B.向右平移π12个单位长度
C.向左平移π6个单位长度
D.向左平移π12个单位长度
解析：选C.由于函数y=cs(2x-π6)
=sin(2x-π6+π2)=sin(2x+π3)
=sin[2(x+π6) ],
因此只需要将函数y=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度即可.
(3)(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin(x-π4)的图象,则f(x)等于( )
A.sin(x2-7π12)B.sin(x2+π12)
C.sin(2x-7π12)D.sin(2x+π12)
解析：选B.依题意,将y=sin(x-π4)的图象向左平移π3个单位长度,得到y=sin(x+π3-π4)= sin(x+π12)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,得到f(x)的图象,即f(x)=sin(12x+π12).
[变式]本例(2)变为:要得到函数y=cs(2x-π6)的图象,可以把函数y=sin(2x+π6)的图象( )
A.向右平移π6个单位长度
B.向右平移π12个单位长度
C.向左平移π6个单位长度
D.向左平移π12个单位长度
解析：选D.方法一:函数y=cs(2x-π6)
=sin(2x-π6+π2)=sin(2x+π6+π6)
=sin[2(x+π12)+π6],
所以只需将y=sin(2x+π6)的图象向左平移π12个单位长度就可以得到y=cs(2x-π6)的图象.
方法二:函数y=sin(2x+π6)
=cs[π2-(2x+π6) ]=cs(π3-2x)
=cs(2x-π3),
由于cs(2x-π6)=cs[2(x+π12)-π3],
所以只需将y=sin(2x+π6)的图象向左平移π12个单位长度就可以得到y=cs(2x-π6)的图象.
函数图象的平移变换解题策略
(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数;
(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=csα−π2,cs α=sinα+π2将不同名函数转换成同名函数;
(3)无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是自变量x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.
1.为了得到函数f(x)=cs2x+π5的图象,只需将函数g(x)=cs x的图象( )
A.所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再将所得图象向左平移π5个单位长度
B.所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移π5个单位长度
C.向左平移π5个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
D.向左平移π5个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变
解析：选D.将函数g(x)=cs x的图象所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再将所得图象向左平移π10个单位长度,得到函数
f(x)=cs2x+π5的图象,故A,B错误;
将函数g(x)=cs x的图象向左平移π5个单位长度,再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,可以得到函数f(x)=cs(2x+π5)的图象,故C错误,D正确.
2.(多选题)要得到y=sin x的图象,可以将函数y=sin2x−π5的图象上所有的点( )
A.向右平移π5个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12
B.向左平移π10个单位长度,再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍
C.横坐标缩短到原来的12,再把所得各点向右平移π10个单位长度
D.横坐标扩大到原来的2倍,再把所得各点向左平移π5个单位长度
解析：选BD. 要想得到y=sin x的图象,
y=sin2x−π5图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍,故排除A,C;
y=sin2x−π5图象上所有点先向左平移π10个单位长度,得到y=sin2x+π10−π5=sin 2x,再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍,得到y=sin x,B正确;y=sin2x−π5的图象上所有点横坐标扩大到原来的2倍,变为y=sinx−π5,
再把所得各点向左平移π5个单位长度,得到y=sin x,D正确.
3.为了得到函数y=sin2x+4π3的图象,只需将函数y=sin2x+π6的图象( )
A.向左平移7π12个单位长度
B.向左平移7π6个单位长度
C.向右平移7π12个单位长度
D.向右平移7π6个单位长度
解析：选A.函数y=sin(2x+4π3)
=sin(2x+π6+7π6)=sin2(x+7π12)+π6,
观察发现可由函数y=sin2x+π6向左平移7π12个单位长度,得到函数y=sin2x+4π3的图象.
题型二已知函数图象求解析式
[典例2](1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期的图象如图所示,则该函数可以是( )
A.y=4sin(12x+3π4)B.y=4sin(12x+5π4)
C.y=4sin(2x+3π4)D.y=4sin(2x+5π4)
解析：选B.由题图知A=4,
函数的周期T=2πω=7π2-(-π2)=4π,得ω=12,
此时y=4sin(12x+φ).
方法一(五点法):由五点对应可知(3π2,0)是第一个零点,
因此12×3π2+φ=0,得φ=-3π4,
则y=4sin(12x-3π4)=4sin(12x-3π4+2π)=4sin(12x+5π4).
方法二(最值法):由题中图象可知函数在x=3π2+7π22=5π2处取得最大值,
因此12×5π2+φ=2kπ+π2(k∈Z),
因此φ=2kπ-3π4(k∈Z),当k=1时可知φ=54π,所以y=4sin(12x+5π4).
(2)函数f(x)=Asinωx+φ+b (A>0,ω>0,φ0)的步骤和方法
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=M−m2,b=M+m2;
(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω=2πT;
(3)求φ:常用的方法有:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.
提醒一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个,如果求出的φ值不在指定范围内,可以通过加减2πω的整数倍达到目的.
1.(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cs (ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(π2)= .
解析：由题意可得,34T=13π12-π3=3π4,
所以T=π,ω=2πT=2,
当x=13π12时,ωx+φ=2×13π12+φ=2kπ,k∈Z,
所以φ=2kπ-136π(k∈Z).令k=1可得φ=-π6,
据此有f(x)=2cs(2x-π6),
f(π2)=2cs(2×π2-π6)=2cs5π6=-3.
答案:-3
2.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω= .
解析：由题中函数的图象可知,(x0,y0)与(x0+π4,-y0)纵坐标相反,而且不是相邻的对称点,所以函数的周期T=2(x0+π4-x0)=π2,所以T=2πω=π2,所以ω=4.
答案:4
题型三三角函数图象变换与性质的综合应用
角度1 三角函数图象变换与性质的综合
[典例3]已知函数f(x)=sin2ωx+φ(ω>0,0a,
由公式cs x=1-x22!+x44!-…
得b=cs14≈1-1422+(14) 44!>3132=a,
排除BCD.
【一题多解】构造函数h(x)=1-12x2-cs x,x∈[0,π2],则g(x)=h'(x)=-x+sin x,g'(x)=-1+cs x≤0,
所以g(x)≤g(0)=0,因此
h(x)在[0,π2]上单调递减,
所以h(14)=a-b1,即bb>a.
二、利用ex,ln (1+x)的泰勒展开式比较
[典例2](2022·新高考Ⅰ卷)设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln 0.9,则( )
A.a