高考数学复习第六章　第三节　平面向量的数量积及应用（导学案）

这是一份高考数学复习第六章　第三节　平面向量的数量积及应用（导学案），共27页。学案主要包含了课程标准，必备知识，常用结论，基础小题，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。
第三节 平面向量的数量积及应用
【课程标准】
1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．
【必备知识】精归纳
1．向量的夹角
点睛 确定两个非零向量a和b的夹角，必须将两个向量平移至同一起点．
2．向量的数量积
3.投影向量
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
点睛 注意数量积运算与实数运算的区别，例如：
a·b＝a·c(a≠0)b＝c；a·b＝0 a＝0或b＝0；(a·b)·c≠a·(b·c).
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
【常用结论】
1．有关向量夹角的两个结论：
(1)两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线；
(2)两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线；
2．a在b上的投影向量为 eq \f(a·b,|b|) · eq \f(b,|b|) ，a在b上的投影向量的模为 eq \f(|a·b|,|b|) .
【基础小题】固根基
1.(多选题)(数量积运算与实数运算混淆)设a，b是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )
A．0·a＝0
B．|a·b|＝|a||b|
C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
解析：选CD.A错误，0·a＝0；B错误，例如若a＝(1，0)，b＝(0，1)，则|a·b|＝0，|a||b|＝1；C，D正确．
2．(结论1)已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.根据向量数量积的定义可知，若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．
3．(教材提升)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1且|3a－2b|＝ eq \r(7) ，则a，b的夹角为( )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,6) C． eq \f(π,4) D． eq \f(2π,3)
解析：选A.设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，
所以a·b＝ eq \f(1,2) ，所以|a||b|cs θ＝ eq \f(1,2) ，
即cs θ＝ eq \f(1,2) .又θ∈[0，π]，所以a，b的夹角为 eq \f(π,3) .
4．(结论2)已知向量a＝(1，2)，点A(6，4)，点B(4，3)，b为向量 eq \(AB,\s\up6(→)) 在向量a上的投影向量，则|b|＝( )
A． eq \f(4\r(5),5) B．1 C． eq \r(5) D．4
解析：选A. eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)，可知|b|＝ eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·a|,|a|) ＝| eq \f(－2×1＋（－1）×2,\r(5)) |＝ eq \f(4\r(5),5) .
5．(向量夹角的概念不清致误)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝5，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝________．
解析：在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝5，
则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝| eq \(AB,\s\up6(→)) || eq \(BC,\s\up6(→)) |cs (180°－60°)
＝6×5×(－ eq \f(1,2) )＝－15.
答案：－15
6．(教材变式)已知向量a＝(2，t)，a－b＝(1，t－3)，若a⊥b，则t＝________．
解析：因为a＝(2，t)，a－b＝(1，t－3)，
所以b＝a－(a－b)＝(1，3)，
因为a⊥b，所以a·b＝(2，t)·(1，3)＝2＋3t＝0，
解得t＝－ eq \f(2,3) .
答案：－ eq \f(2,3)
题型一 平面向量数量积的运算
[典例1](1)非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为 eq \f(π,6) ，|b|＝4，则c在a上的投影向量的模为( )
A．2 B．2 eq \r(3) C．3 D．4
解析：选B.由a·b＝a·c，
可得|a||b|cs 〈a，b〉＝|a||c|cs 〈a，c〉，
因为|a|≠0，所以|c|cs 〈a，c〉＝|b|cs 〈a，b〉
＝4×cs eq \f(π,6) ＝2 eq \r(3) ，所以c在a上的投影向量的模为||c|cs 〈a，c〉|＝2 eq \r(3) .
(2)(2023·揭阳模拟)已知点P是边长为2的菱形ABCD内的一点(包含边界)，且∠BAD＝120°，则 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是( )
A．[－2，4] B．(－2，4)
C．[－2，2] D．(－2，2)
解析：选A. eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝| eq \(AP,\s\up6(→)) || eq \(AB,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉＝2| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉，
结合图形可知，
当点P与点B重合时，| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉最大，此时 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) 2＝4，
当点P与点D重合时，| eq \(AP,\s\up6(→)) |cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AP,\s\up6(→)) 〉最小，此时 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2×2×cs 120°＝－2，所以 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是[－2，4].
(3)(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为 eq \f(1,3) ，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．
解析：由题意可得a·b＝1×3× eq \f(1,3) ＝1，b2＝9，
则(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2＋9＝11.
答案：11
(4)正方形ABCD中，AB＝2，P为BC的中点，Q为DC的中点，则 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) ＝________；若M为CD上的动点，则 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PM,\s\up6(→)) 的最大值为________．
解析：以点D为原点，以直线DC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
AB＝2，P为BC的中点，Q为DC的中点，则：
P(2，1)，Q(1，0)，C(2，0)，
所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝(－1，－1)， eq \(PC,\s\up6(→)) ＝(0，－1)，
所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) ＝1；设M(x，0)(0≤x≤2)，
则 eq \(PM,\s\up6(→)) ＝(x－2，－1)，所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PM,\s\up6(→))
＝2－x＋1＝3－x，
所以x＝0时， eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PM,\s\up6(→)) 的最大值为3.
答案：1 3
【方法提炼】——自主完善，老师指导
计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
【对点训练】
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中点，则 eq \(AF,\s\up6(→)) · eq \(AE,\s\up6(→)) ＝( )
A．3 B．2 C． eq \f(3,2) D． eq \f(1,2)
解析：选B.以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则A(0，0)，E(1，1)，F( eq \f(3,2) ， eq \f(1,2) )，
所以 eq \(AF,\s\up6(→)) ＝( eq \f(3,2) ， eq \f(1,2) )， eq \(AE,\s\up6(→)) ＝(1，1)，
所以 eq \(AF,\s\up6(→)) · eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,2) ＋ eq \f(1,2) ＝2.
2．(2023·淄博模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则 eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) ＝( )
A．－15 B．－13 C．13 D．15
解析：选C.因为∠ABC＝90°，F为AB的中点，
CB＝8，AB＝12，
所以FA＝FB＝6，
所以CF＝ eq \r(FB2＋CB2) ＝ eq \r(62＋82) ＝10，
又CE＝3，所以FE＝CF－CE＝10－3＝7，
所以 eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) ＝( eq \(FA,\s\up6(→)) － eq \(FE,\s\up6(→)) )·( eq \(FB,\s\up6(→)) － eq \(FE,\s\up6(→)) )＝ eq \(FA,\s\up6(→)) · eq \(FB,\s\up6(→)) － eq \(FE,\s\up6(→)) ·( eq \(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \(FB,\s\up6(→)) )＋ eq \(FE,\s\up6(→)) 2
＝6×6×(－1)＋7×7＝13.
3．(多选题)如图，点A，B在圆C上，则 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) 的值( )
A．与圆C的半径有关
B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关
D．与点A，B的位置有关
解析：选BC.如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，
故 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＝| eq \(AB,\s\up6(→)) || eq \(AC,\s\up6(→)) |cs ∠CAD＝| eq \(AB,\s\up6(→)) || eq \(AC,\s\up6(→)) | eq \f(\f(1,2)|\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(1,2) | eq \(AB,\s\up6(→)) |2，
故 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) 的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关．
【加练备选】
1．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝__________.
解析：由已知可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c)) eq \s\up12(2)
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝9＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a·b＋b·c＋c·a)) ＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－ eq \f(9,2) .
答案：－ eq \f(9,2)
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(3,2) ，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且| eq \(MN,\s\up6(→)) |＝1，则 eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) 的最小值为________．

解析：因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ，
所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) ＝| eq \(AD,\s\up6(→)) || eq \(AB,\s\up6(→)) |cs 120°＝－ eq \f(3,2) ，
解得| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝1.因为 eq \(AD,\s\up6(→)) ， eq \(BC,\s\up6(→)) 同向，且BC＝6，
所以 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,6) eq \(BC,\s\up6(→)) ，即λ＝ eq \f(1,6) .
在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则
BO＝AB cs 60°＝ eq \f(3,2) ，AO＝AB sin 60°＝ eq \f(3\r(3),2) .
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系xOy.
如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，
则N(a＋1，0)，且－ eq \f(3,2) ≤a≤ eq \f(7,2) .
又D(1， eq \f(3\r(3),2) )，所以 eq \(DM,\s\up6(→)) ＝(a－1，－ eq \f(3\r(3),2) )， eq \(DN,\s\up6(→)) ＝(a，－ eq \f(3\r(3),2) )，
所以 eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) ＝a2－a＋ eq \f(27,4) ＝(a－ eq \f(1,2) )2＋ eq \f(13,2) ≥ eq \f(13,2) .
所以当a＝ eq \f(1,2) 时， eq \(DM,\s\up6(→)) · eq \(DN,\s\up6(→)) 取得最小值 eq \f(13,2) .
答案： eq \f(1,6) eq \f(13,2)
题型二 平面向量数量积的应用
角度1 求平面向量的模
[典例2](1)(2022·全国乙卷) 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝ eq \r(3) ，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：选C.因为|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) 2，
又因为|a|＝1，|b|＝ eq \r(3) ，|a－2b|＝3，
所以9＝1－4a·b＋4×3＝13－4a·b，
所以a·b＝1.
(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________．
解析：方法一：由a·b＝0，得a⊥b.
如图所示，分别作 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b，作 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，
所以| eq \(OC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(2) .
作 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝c，则|c－a－b|＝| eq \(OP,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) |＝| eq \(CP,\s\up6(→)) |＝1.
所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上．
由图可知，当O，C，P三点共线且点P在点P1处时，| eq \(OP,\s\up6(→)) |取得最大值 eq \r(2) ＋1.
故|c|的最大值是 eq \r(2) ＋1.
方法二：由a·b＝0，得a⊥b.
建立如图所示的平面直角坐标系，
则 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a＝(1，0)， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b＝(0，1).
设c＝ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上．
所以|c|max＝ eq \r(2) ＋1.
方法三：易知|a＋b|＝ eq \r(2) ，|c－a－b|
＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－ eq \r(2) |，
由已知得||c|－ eq \r(2) |≤1，
所以|c|≤1＋ eq \r(2) ，故|c|max＝ eq \r(2) ＋1.
答案： eq \r(2) ＋1
【方法提炼】——自主完善，老师指导
求向量的模或其范围的方法
(1)定义法：|a|＝ eq \r(a2) ；
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝ eq \r(x2＋y2) ．
角度2 求平面向量的夹角
[典例3] eq \a\vs4\al(金榜原创·易错对对碰)
(1)已知向量a＝(5，5)，b＝(λ，1)，若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为________．
解析：由题意得(a＋b)·(a－b)>0，
即a2－b2>0，52＋52>λ2＋12，所以－7