高考数学复习第六章　第四节　第一课时　余弦定理、正弦定理（导学案）

这是一份高考数学复习第六章　第四节　第一课时　余弦定理、正弦定理（导学案），共15页。学案主要包含了方法提炼，加练备选等内容，欢迎下载使用。
第四节 解三角形
第1课时 余弦定理、正弦定理
课程标准
借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.
1.余弦定理
2.正弦定理
点睛已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.
3.三角形常用面积公式
(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=12absin C=12acsin B=12bcsin A=abc4R.
(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).
1.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs Asin B
解析：选C.对于A选项,bcs C+ccs B=a⇔sin Bcs C+sin Ccs B=sin A⇔sin(B+C)=sin A,故正确;
对于B选项,c2=a2+b2-2abcs C,当角C为钝角时,则a2+b2B,则a>b,所以2Rsin A>2Rsin B,则sin A>sin B,故正确.
4.(应用正弦定理漏解)在△ABC中,角A,B,C所对的各边分别为a,b,c,若a=1,b=2,A=30°,则B= .
解析：根据正弦定理asinA=bsinB得,
sin B=bsinAa=2×121=22,
由于b=2>1=a,
所以B=45°或B=135°.
答案:45°或135°
5.(结论2)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.已知A=π3,a=3,则b+csinB+sinC的值为 .
解析：根据正弦定理,得b+csinB+sinC=asinA=3sin π3=2.
答案:2
6.(教材提升)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,b=5,c=6,则cs A= ,△ABC的面积为 .
解析：依题意得cs A=b2+c2-a22bc=34,
所以sin A=1-cs2A=74,
所以△ABC的面积为12bcsin A=1574.
答案:34 1574
【题型一】利用正、余弦定理解三角形
[典例1](1)(2022·西安模拟)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若A=π3,cs B=277,b=2,则a=( )
A.3B.5C.3D.7
解析：选D.因为A=π3,cs B=277,b=2,所以sin B=217,由正弦定理得a=bsinAsinB=2×32217=7.
(2)(多选题)下列对三角形解的个数的判断中正确的是( )
A.a=30,b=25,A=150°,有一解
B.a=7,b=14,A=30°,有两解
C.a=6,b=9,A=45°,有两解
D.a=3,b=6,A=60°,无解
解析：选AD.A:由正弦定理sin B=bsinAa=512,又0C,所以a>c,所以a=2,c=1.
所以cs A=b2+c2-a22bc=0,所以A=π2.
综上,a=2,A=π2.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边:利用正弦定理变形公式a=bsinAsinB等或余弦定理a2=b2+c2-2bccs A等求解.
(2)求角:利用正弦定理变形公式sin A=asinBb等或余弦定理变形公式cs A=b2+c2-a22bc等求解.
(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
1.(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=( )
A.1B.2C.5D.3
解析：选D.设AB=c,AC=b,BC=a,结合余弦定理:b2=a2+c2-2accs B可得:19=a2+4-2×2×a×cs120°,即:a2+2a-15=0,解得a=3(a=-5舍去),故BC=3.
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,则ab等于( )
A.2B.3C.2D.3
解析：选D.由正弦定理及bsin 2A=asin B,得2sin Bsin Acs A=sin Asin B,又sin A≠0,sin B≠0,则cs A=12.
又c=2b,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A=b2+4b2-4b2×12=3b2,得ab=3.
3.(2022·衡阳模拟)如图,在△ABC中,A=π3,AC=8,点D在AB边上,且BD=2,cs∠BDC=17.
(1)求cs∠ACD;(2)求BC的长.
解析：(1)由题图知∠ACD=∠BDC-∠A,因为cs∠BDC=17,所以sin∠BDC=437,所以cs∠ACD=cs(∠BDC-∠A)=cs∠BDC·cs π3+sin∠BDC·sin π3=17×12+437×32=1314.
(2)由(1)可得sin∠ACD=3314,
在△ACD中,利用正弦定理可得:ADsin∠ACD=ACsin∠CDA⇒AD=ACsin∠ACDsin∠CDA=8×3314437=3,在△ABC中,AB=3+2=5,利用余弦定理可得:BC2=82+52-2×8×5×12=49,所以BC=7.
【加练备选】
1.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=1∶3∶1,则B=( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析：选C.设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
因为sin A∶sin B∶sin C=1∶3∶1,所以a∶b∶c=1∶3∶1.设a=x,则b=3x,c=x,由余弦定理可得cs B=a2+c2-b22ac=x2+x2-(3x)22x2=-12,故B=120°.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=8,c=3,A=60°,则此三角形外接圆的半径R=( )
A.823B.1433C.73D.733
解析：选D.因为b=8,c=3,A=60°,所以a2=b2+c2-2bccs A=64+9-2×8×3×12=49,所以a=7,所以此三角形外接圆的直径2R=asinA=732=1433,所以R=733.
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=66b,sin B=6sinC.求cs A的值.
解析：在△ABC中,由bsinB=csinC及sin B=
6sin C,可得b=6c,又由a-c=66b,得a=2c,
所以cs A=b2+c2-a22bc=6c2+c2-4c226c2=64.
【题型二】利用正、余弦定理判断三角形形状
[典例2]设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcs C+ccs B=asin A,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.不确定
解析：选A.方法一(化角为边):
因为bcs C+ccs B=b·a2+b2-c22ab+c·a2+c2-b22ac=2a22a=a,所以asin A=a,即sin A=1,故A=π2,因此△ABC是直角三角形.
方法二(化边为角):因为bcs C+ccs B=asin A,
所以sin Bcs C+sin Ccs B=sin2A,
即sin(B+C)=sin2A,所以sin A=sin2A,
故sin A=1,即A=π2,因此△ABC是直角三角形.
方法三(射影定理):bcs C+ccs B=a=asin A,所以sin A=1,故A=π2,
因此△ABC是直角三角形.
[变式1]本例条件“bcs C+ccs B=asin A”改为“csAcsB=ba=2”,试判断△ABC的形状.
解析：因为csAcsB=ba,由正弦定理得csAcsB=sinBsinA,所以sin 2A=sin 2B.由ba=2,可知a≠b,所以A≠B.又A,B∈(0,π),所以2A=180°-2B,即A+B=90°,所以C=90°,所以△ABC是直角三角形.
[变式2]本例条件“bcs C+ccs B=asin A”改为“sinAsinB=ac,(b+c+a)(b+c-a)=3bc”,试判断△ABC的形状.
解析：因为sinAsinB=ac,所以ab=ac,所以b=c.
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,
所以b2+c2-a2=bc,
所以cs A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12.
因为A∈(0,π),所以A=π3,
所以△ABC是等边三角形.
判定三角形形状的两种常用途径
1.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
解析：(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,
故cs A=-12,又0