高考数学复习第六章　第五节　复数（导学案）

这是一份高考数学复习第六章　第五节　复数（导学案），共15页。学案主要包含了必备知识，常用结论，基础小题，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变，备选题型等内容，欢迎下载使用。
第五节 复数
课程标准
1.通过方程的解,认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
【必备知识】精归纳
1.复数的有关概念
(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),a叫做复数z的 实部 ,b叫做复数z的 虚部 .
(2)分类:
①复数
z=a+bi(a,b∈R)实数(b=0),虚数(b≠0)纯虚数a=0,非纯虚数a≠0.
点睛一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还要求虚部不为0.
②复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
(3)复数相等:a+bi=c+di⇔ a=c且b=d (a,b,c,d∈R).
点睛两个不全为实数的复数不能比较大小.
(4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔ a=c,b=-d (a,b,c,d∈R).
2.复数的几何意义
(1)复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做 实轴 ,y轴叫做 虚轴 .实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
(2)复数的两种几何意义
①z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b).
②z=a+bi(a,b∈R)平面向量.
(3)复数的模
向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= a2+b2 (a,b∈R).
3.复数的运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).
(2)运算律
【常用结论】
1.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).
2.z·z=|z|2=|z|2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,|z1z2|=|z1||z2|,|zn|=|z|n.
【基础小题】固根基
1.(忽视虚数不能比较大小)已知z1,z2为复数.若命题p:z1-z2>0,命题q:z1>z2,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选B.因为z1,z2为复数.
若z1-z2>0成立,根据虚数不可以比较大小可得z1,z2为实数或虚部相等的两个复数,无法直接得到z1>z2;若z1>z2成立,则z1,z2为实数,可得z1-z2>0成立,故p是q的必要不充分条件.
2.(结论1)已知i是虚数单位,则复数z=i2 023+i(i-1)在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析：选C.因为z=i2 023+i(i-1)=-i-1-i=-1-2i,
所以复数z在复平面内对应的点是(-1,-2),位于第三象限.
3.(结论2)(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中的真命题是( )
A.若|z1-z2|=0,则z1=z2
B.若z1=z2,则z1=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1·z1=z2·z2
D.若|z1|=|z2|,则z12=z22
解析：选ABC.对于A,若|z1-z2|=0,则z1-z2=0,z1=z2,所以z1=z2为真;
对于B,若z1=z2,则z1和z2互为共轭复数,所以z1=z2为真;
对于C,设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,a1,b1,a2,b2∈R,
若|z1|=|z2|,则a12+b12=a22+b22,
即a12+b12=a22+b22,
所以z1·z1=a12+b12=a22+b22=z2·z2,
所以z1·z1=z2·z2为真;
对于D,若z1=1,z2=i,
则|z1|=|z2|,而z12=1,z22=-1,
所以z12=z22为假.
4.(教材变式)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则z1·z2= .
解析：z1=-2+i,z2=1+2i,z1·z2=(-2+i)(1+2i)=-4-3i.
答案:-4-3i
5.(弄错纯虚数的概念)i为虚数单位,若复数(1+mi)(i+2)是纯虚数,则实数m等于 .
解析：因为(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i是纯虚数,所以2-m=0,且1+2m≠0,解得m=2.
答案:2
6.(教材变式)已知(1+2i)z=4+3i,则z= .
解析：由(1+2i)z=4+3i,得z=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)5=2-i.所以z=2+i.
答案:2+i
【题型一】复数的有关概念
[典例1](1)(2023·郴州模拟)以2i-5的虚部为实部,以5i+2i2的实部为虚部的新复数是( )
A.2-2iB.2+i
C.-5+5iD.5+5i
解析：选A.2i-5的虚部为2,5i+2i2=-2+5i的实部为-2,
所以要求的新复数是2-2i.
(2)(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=-2B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2
解析：选A.z=1+2i,z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i,
由z+az+b=0,得1+a+b=02a-2=0,即a=1b=-2.
(3)已知a∈R,若a-i(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( )
A.-1B.0C.1D.2
解析：选B.因为a-i(a-2)i=(a-i)i(a-2)i2=12-a+a2-ai为实数,所以a2-a=0,解得a=0.
(4)(2022·常州模拟)若z1,z2为复数,则“z1-z2是纯虚数”是“z1,z2互为共轭复数”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选D.先验证充分性:令z1=4i,z2=2i满足z1-z2是纯虚数,但是不满足z1,z2互为共轭复数,所以充分性不成立;再验证必要性:令z1=z2=1,满足z1,z2互为共轭复数,但是不满足z1-z2是纯虚数,所以必要性不成立,所以“z1-z2是纯虚数”是“z1,z2互为共轭复数”的既不充分也不必要条件.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.
(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=z;③z∈R⇔z2≥0.
(3)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2b,则a+i>b+i;
③若x2+y2=0,则x=y=0.
A.0B.1C.2D.3
解析：选A.对于①,由于x,y∈C,所以x,y不一定是x+yi的实部和虚部,故①错误;
对于②,由于两个虚数不能比较大小,故②错误;
对于③,如12+i2=0,但1≠0,i≠0,故③错误.
【加练备选】
1.(2020·全国卷Ⅲ)复数11-3i的虚部是( )
A.-310B.-110C.110D.310
解析：选D.因为11-3i=1+3i(1-3i)(1+3i)=110+310i,所以复数11-3i的虚部为310.
2.如果复数m2+i1+mi是纯虚数,那么实数m等于( )
A.-1B.0
C.0或1D.0或-1
解析：选D.m2+i1+mi=(m2+i)(1-mi)(1+mi)(1-mi)
=m2+m+(1-m3)i1+m2,因为此复数为纯虚数,
所以m2+m=0,1-m3≠0,解得m=-1或0.
【题型二】复数的四则运算
角度1 求复数的值
[典例2](1)(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+z=( )
A.-2B.-1C.1D.2
解析：选D.由题设有1-z=1i=ii2=-i,故z=1+i,故z+z=(1+i)+(1-i)=2.
(2)(2022·长沙模拟)已知复数z1=-12+32i,z2=z12z12+z1+2,则z2= .
解析：因为z1=-12+32i,
所以z12=14-34-32i=-12-32i,
所以z2=z12z12+z1+2=-12-32i-12-32i-12+32i+2=-12-32i,所以z2=-12+32i.
答案:-12+32i
【一题多变】
[变式1]将本例(2)条件“z1=-12+32i”改为“z1=-12-32i”,其他条件不变,结果如何?
解析：因为z1=-12-32i,所以z12=14-34+32i=-12+32i,所以z2=z12z12+z1+2=-12+32i-12+32i-12-32i+2=-12+32i,
所以z2=-12-32i.
[变式2]本例(2)条件不变,计算z13和z23,你能发现什么规律?
解析：z13=z12·z1=(-12-32i)·(-12+32i)=14-(-34)=1.
z23=z22·z2=(-12+32i)·(-12-32i)=14-(-34)=1.可以发现,z1和z2都是方程x3=1的解.
角度2 与复数的模有关的计算问题
[典例3](1)(2022·全国甲卷)若z=1+i.则|iz+3z|=( )
A.45B.42C.25D.22
解析：选D.因为z=1+i,所以iz+3z=i1+i+31-i=2-2i,
所以iz+3z=4+4=22.
(2)(2023·铁岭模拟)已知复数z=cs 67.5°+isin 67.5°,则|z|2z2=( )
A.-22-22iB.-22+22i
C.22-22iD.1
解析：选A.由已知得,|z|2=cs267.5°+sin267.5°=1,z2=(cs 67.5°+isin 67.5°)2=cs267.5°-sin267.5°+2cs 67.5°·isin 67.5°=cs 135°+isin 135°=-22+22i,
所以|z|2z2=1-22+22i=-22-22i.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
1.复数四则运算问题的解题策略
提醒记住以下结论,可提高运算速度.
①(1±i)2=±2i;②1+i1-i=i;③1-i1+i=-i;④a+bii=b-ai.
2.解与复数的模有关的计算问题的两个方法
(1)根据复数的模的公式|a+bi|=a2+b2(a,b∈R)直接计算得解;
(2)利用模的性质|z|2=|z|2=z·z求解.
【对点训练】
1.(2022·长沙模拟)已知i是虚数单位,若复数z满足z(1-i)=(1+i)2,则|z|=( )
A.1B.2C.2D.3
解析：选B.因为z(1-i)=(1+i)2=2i,
所以z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=i(1+i)=-1+i,
所以|z|=1+1=2.
2.欧拉公式eix=cs x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知,eπieπ4i表示的复数的实部与虚部的和是( )
A.-22B.0C.22D.2
解析：选B.由欧拉公式eix=cs x+isin x,可得eπieπ4i=csπ+isinπcs π4+isin π4=-122+22i=-1×(22-22i)(22+22i)(22-22i)
=-22+22i,所以eπieπ4i表示的复数的实部与虚部分别是-22和22,它们的和是0.
【加练备选】
1.(2021·全国甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,则z=( )
A.-1-32iB.-1+32i
C.-32+iD.-32-i
解析：选B.(1-i)2z=3+2i,
z=3+2i-2i=(3+2i)·i-2i·i=-2+3i2=-1+32i.
2.(2020·全国卷Ⅰ)若z=1+i,则|z2-2z|=( )
A.0B.1C.2D.2
解析：选D.因为z=1+i,
所以z2-2z=(1+i)2-2(1+i)
=1+2i+i2-2-2i=-2,
所以|z2-2z|=|-2|=2.
【题型三】复数的几何意义
[典例4](1)(2022·重庆模拟)复数z=i1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析：选A.z=i1+2i=i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2+i5=25+15i,故其对应的点的坐标为(25,15),位于第一象限.
(2)(多选题)(2022·襄阳模拟)18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如|z|=|OZ|,也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离.下列说法正确的是( )
A.若|z|=1,则z=±1或z=±i
B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量与,则向量对应的复数为9+i
C.若点Z的坐标为(-1,1),则z对应的点在第三象限
D.若复数z满足1≤|z|≤2,则复数z对应的点所构成的图形面积为π
解析：选BCD.令z=12+32i,满足|z|=1,故A错误;复数6+5i与-3+4i分别对应向量与,则=-=6+5i-(-3+4i)=9+i,故B正确;因为点Z的坐标为(-1,1),所以z对应的点(-1,-1)在第三象限,故C正确;
设z=a+bi,a,b∈R,因为复数z满足1≤|z|≤2,所以1≤a2+b2≤2,所以复数z对应的点所构成的图形面积为π×(2)2-π×12=π,故D正确.
【方法提炼】
复数几何意义的解题策略
(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.
(2)已知复数对应的点进行运算时,可建立方程求解.
(3)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解.
(4)若复数z=x+yi(x,y∈R),则|z|=r,点Z在以(0,0)为圆心,r为半径的圆上.
【对点训练】
1.(2023·岳阳模拟)已知复数z满足z(1+i)=2i,则复数z在复平面内对应点所在象限是( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析：选A.因为z(1+i)=2i,
所以z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i,所以复数z在复平面内对应点(1,1)所在象限是第一象限.
2.(2022·南通模拟)在复平面内,O为坐标原点,复数4i对应的向量为,将绕点O按逆时针方向旋转60°后,再将模变为原来的3倍,得到向量,则对应的复数的实部是( )
A.6B.-6C.23D.-23
解析：选B.=(0,4)绕点O按逆时针方向旋转60°后变为=(-23,2),再将模变为原来的3倍,得到向量=(-6,23),则对应的复数的实部是-6.
【加练备选】
1.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则|z22z1|= .
解析：由题意,z1=i,z2=2-i,
所以|z22z1|=|(2-i)2i|=|3-4ii|=|3-4i||i|=5.
答案:5
2.若i为虚数单位,复数z满足|z|≤1,则|z-(1+i)|的最大值为( )
A.2-1B.2
C.2+1D.22
解析：选C.设z=x+yi,x,y∈R,
则x2+y2≤1,表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆上和圆内的点,
|z-(1+i)|=|x-1+(y-1)i|=(x-1)2+(y-1)2,表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆上和圆内的点到点(1,1)的距离,
故|z-(1+i)|的最大值为(1-0)2+(1-0)2+1=2+1.
【备选题型】复数与方程
[典例]已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根.
(1)求实数a,b的值;
(2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一个根,并给予证明.
解析：(1)把x=-1+i代入方程x2+ax+b=0,得(-a+b)+(a-2)i=0,
所以-a+b=0,a-2=0,解得a=2,b=2.
(2)由(1)知方程为x2+2x+2=0.
设另一个根为x2,由根与系数的关系,
得-1+i+x2=-2,
所以x2=-1-i.
把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0,
则左边=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右边,
所以x2=-1-i是方程的另一个根.
【方法提炼】
(1)对实系数二次方程来说,求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化,仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程,判别式判断根的功能失去了,其他仍适用.
【对点训练】
在复数集内解方程x2-ix+i-1=0.
解析：因为a=1,b=-i,c=i-1,
所以Δ=(-i)2-4×1×(i-1)=3-4i.
设(m+ni)2=3-4i,则m2-n2=3,2mn=-4,
解得m=2,n=-1或m=-2,n=1.
所以3-4i的平方根为±(2-i),
所以x=-b±Δ2a=i±(2-i)2×1,
得x1=i+2-i2=1,x2=i-2+i2=-1+i,
即原方程的根为x1=1,x2=-1+i.
条件
任意z1,z2,z3∈C
加法
z1+z2=z2+z1;(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
乘法
z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
教材改编
结论应用
易错易混
4,6
2,3
1,5
复数的
加减法
在进行复数的加减法运算时,可类比合并同类项,运用法则(实部与实部相加减,虚部与虚部相加减)计算即可
复数的
乘法
复数的乘法类似于多项式的乘法,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可
复数的
除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式,这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化