高考数学复习第七章　第一节　数列的概念（导学案）

这是一份高考数学复习第七章　第一节　数列的概念（导学案），共17页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，常用结论，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。
第七章 数列
第一节 数列的概念
【课程标准】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
3.能够利用an与Sn的关系求数列的通项公式.
4.能根据数列递推关系求数列的项或通项公式.
【必备知识·精归纳】
1.数列的有关概念
2.数列的表示法
点睛(1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.
3.数列的分类
点睛数列的单调性可类比数列通项公式对应的函数解析式在区间(0,+∞)上的单调性.
4.数列的前n项和
数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an−1+an,则an=S1,n=1,Sn−Sn−1,n≥2.
点睛若n≥2时,求出的an也适合n=1时的情形,则用一个式子表示an,否则分段表示.
【常用结论】
在数列{an}中,若an最大,则an≥an−1,an≥an+1. 若an最小,则an≤an−1,an≤an+1.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)在数列{an}中,a1=2,an=1-1an−1
(n≥2),则a2 024等于( )
A.-12B.12C.-1D.2
解析：选B.由a1=2,an=1-1an−1(n≥2)可得
a2=1-1a1=12,a3=1-1a2=-1,a4=1-1a3=2,a5=1-1a4=12,故数列{an}为周期性数列,每3项一循环,而2 024=3×674+2,故a2 024=a2=12.
2.(结论)数列{an}满足an+1an>1(n∈N*),且a1>0,则数列是( )
A.常数列B.摆动单调数列
C.递增数列D.递减数列
解析：选C.由a1>0,an+1an>1可知an+1>an,因此数列是递增数列.
3.(教材变式)数列1,34,59,716,…的一个通项公式是( )
A.(-1)nn22n−1B.2n−1n2
C.n22n−1D.2nn+1
解析：选B.根据题意,数列1,34,59,716,…
其中a1=2×1−112=11=1,a2=2×2−122=34,
a3=2×3−132=59,a4=2×4−142=716,则该数列的一个通项公式可以为an=2n−1n2.
4.(忽视n=1的讨论)已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2n+1-1,则数列{an}的通项公式为( )
A.an=2nB.an=3,n=12n,n≥2
C.an=2n-1D.an=2n+1
解析：选B.当n≥2时,Sn-1=2n-1,
an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n;
当n=1时,a1=S1=21+1-1=3,不符合an=2n,则an=3,n=12n,n≥2.
5.(教材变式)数列{an}如表所示:
则由表格可知a3+a7= ,a1+a8= .
解析：由列表法表示数列可知a1=3,a3=-1,a7=3,a8=12,因此a3+a7=2,a1+a8=15.
答案:2 15
【题型一】已知数列的前几项求数列通项公式
[典例1](1)已知a1=1,a2=13,a3=16,a4=110,则数列{an}的一个通项公式为an=( )
A.2(n+1)2B.2n(n+1)
C.22n−1D.22n−1
解析：选B.a1=1=22=21×2,a2=13=22×3,a3=16=212=23×4,a4=110=220=24×5,
则an=2n(n+1).
(2)数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),(-1)n(3n+2)的第2n项为( )
A.6n-1B.-6n+1
C.6n+2D.-6n-2
解析：选B.由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,又首项为2,故数列的通项公式为
an=(-1)n-1(3n-1),可知第2n项为
a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=1-6n.
(3)下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一个通项公式是( )
A.an=n2-n+1B.an=n(n−1)2
C.an=n(n+1)2D.an=n(n+2)2
解析：选C.方法一:由题图可知,当n=1时,有1个,排除BD,当n=3时,有6个,排除A.
方法二:从题图中可观察星星的构成规律,n=1时,有1颗;n=2时,有3颗;n=3时,有6颗;n=4时,有10颗…;所以an=1+2+3+4+…+n=n(n+1)2.
(4)数列9,99,999,9 999,…的一个通项公式为 .
解析：观察数列可知,
a1=10-1,a2=102-1,a3=103-1,a4=104-1,所以这个数列的一个通项公式是an=10n-1.
答案:an=10n-1
【方法提炼】
由数列的前几项求通项公式的方法
(1)根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
(2)对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
【对点训练】
1.已知数列{an}的前4项依次为2,6,12,20,则数列{an}的通项公式可能是( )
A.an=4n-2
B.an=2n+2(n-1)
C.an=n2+n
D.an=3n-1+2n-1
解析：选C.对于A,a3=10≠12,故A错误;
对于B,a4=16+6=22≠20,故B错误;
对于C,a1=12+1=2,a2=22+2=6,a3=32+3=12,a4=42+4=20,故C正确;
对于D,a3=9+5=14≠12,故D错误.
2.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的( )
A.不在此数列中B.第13项
C.第14项D.第15项
解析：选D.由于1=37×0,37=37×1,314=37×2,
321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1),由37(n-1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项.
3.已知数列{an}满足a1=a,an+1=an2−2an+1(n∈N*).若数列{an}是常数列,则a=( )
A.-2B.-1C.0D.1
解析：选A.因为数列{an}满足a1=a,
an+1=an2−2an+1(n∈N*),所以a2=a2−2a+1.
因为数列{an}是常数列,所以a=a2−2a+1,
解得a=-2.
4.如图,用4根火柴可以拼出1个正方形,用7根火柴可以拼出2个正方形…设用an根火柴可以拼出n个正方形,则数列{an}的通项公式为 .
解析：拼1个正方形用a1=4根火柴,拼2个正方形用a2=4+3根火柴,
拼3个正方形用a3=4+3×2根火柴,…
以此类推,得到拼n(n≥2,n∈N*)个正方形用an=4+3(n-1)=3n+1根火柴,a1=3×1+1=4,n=1时符合,所以数列{an}的通项公式为an=3n+1.
答案:an=3n+1
【题型二】由an与Sn的关系求通项公式an
[典例2](1)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= .
解析：由已知Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,Sn+1Sn=32,而S1=a1=1,
所以Sn=32n−1.
答案:32n−1
(2)金榜原创·易错对对碰
①已知数列an的前n项和为Sn=3n+1,则数列an的通项公式an= .
解析：当n=1时,a1=S1=3+1=4;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n-1-1=2·3n-1.
显然n=1时不满足上式,
所以an=4,n=1,2·3n−1,n≥2.
答案:4,n=1,2·3n−1,n≥2
②已知数列an的前n项和为Sn=3n-1,则数列an的通项公式an= .
解析：当n=1时,a1=S1=3-1=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-1+1=2·3n-1.
显然n=1时满足上式,所以an=2·3n-1.
答案:2·3n-1
【方法提炼】 ——自主完善,老师指导
已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1=S1求出a1.
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式.
(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的解析式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
【对点训练】
1.记Tn为数列{an}的前n项积,已知1Tn+3an=3,则T10=( )
A.163B.154C.133D.114
解析：选C.n=1,T1=43,Tn=a1a2a3…an,则an=TnTn−1(n≥2),代入1Tn+3an=3,
化简得Tn-Tn-1=13,则{Tn}是以T1为首项,公差为13的等差数列,即Tn=n+33,
所以T10=133.
2.已知正项数列{an}中,a1+a2+…+an=n(n+1)2(n∈N*),则数列{an}的通项公式为( )
A.an=nB.an=n2
C.an=n2D.an=n22
解析：选B.因为a1+a2+…+an=n(n+1)2,
所以a1+a2+…+an−1=n(n−1)2(n≥2),
两式相减得an=n(n+1)2-n(n−1)2=n,
所以an=n2(n≥2),①
又当n=1时,a1=1×22=1,a1=1,适合①式,所以an=n2.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=12,当n≥2时,Sn2=anSn-an.则Sn= .
解析：当n≥2时,Sn2=anSn-an,
所以Sn2=(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1),
整理得SnSn-1=Sn-1-Sn,即1Sn-1Sn−1=1.
所以数列{1Sn}是以1S1=1a1=2为首项,1为公差的等差数列.所以1Sn=n+1,即Sn=1n+1.
答案:1n+1
【加练备选】
1.设数列{an}满足a1+4a2+…+(3n-2)an=3n,求{an}的通项公式.
解析：数列{an}满足a1+4a2+…+(3n-2)an=3n,当n=1时,得a1=3.
当n≥2时,由a1+4a2+…+(3n-2)an=3n可得a1+4a2+…+(3n-5)an-1=3(n-1),
两式相减得(3n-2)an=3,
所以an=33n−2(n≥2,n∈N*),
当n=1时,a1=3,上式也成立.
所以an=33n−2(n∈N*).
2.(多选题)已知数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=n+23an,则anan−1的值不可能为( )
A.2B.5C.3D.4
解析：选BD.因为Sn=n+23an,所以n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1,
整理可得anan−1=n+1n−1=1+2n−1,
由于数列{2n−1}单调递减,可得n=2时,2n−1取得最大值2.所以anan−1的最大值为3.
【题型三】数列通项公式的求法
[典例3](1)已知数列{an}满足:a1=1,an-an+1=nanan+1,则下列正确的是( )
A.a7=122B.a8=137
C.a9=136D.a10=192
解析：选A.因为an-an+1=nanan+1,等式两边同除以anan+1,所以1an+1-1an=n,
可得到1a2-1a1=1,1a3-1a2=2,…,1an-1an−1=n-1,利用累加法,可得到
1a2-1a1+1a3-1a2+…+1an-1an−1=1+2+…+n-1,即1an-1a1=(n−1)n2,
又因为a1=1,所以1an=(n−1)n2+1.
1a7=(7−1)×72+1=22,所以a7=122,故A正确;1a8=(8−1)×82+1=29,所以a8=129,故B错误;
1a9=(9−1)×92+1=37,所以a9=137,故C错误;1a10=(10−1)×102+1=46,所以a10=146,故D错误.
(2)已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是an=( )
A.2n-1B.n+1nn+1
C.n2D.n
解析：选D.由an=n(an+1-an),
得(n+1)an=nan+1,
方法一:即an+1an=n+1n,
则anan−1=nn−1,an−1an−2=n−1n−2,
an−2an−3=n−2n−3,…,a2a1=21,n≥2,
由累乘法可得ana1=n,所以an=n,n≥2,又a1=1,符合上式,所以an=n.
方法二:因为an+1n+1=ann,所以ann为常数列,
所以ann=a11,所以an=na1=n.
(3)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,则{an}的通项公式为 .
解析：由an+1=3an+1得an+1+12=3an+32
=3(an+12).又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列,所以an+12=3n2,
因此数列{an}的通项公式为an=3n−12.
答案:an=3n−12
(4)若数列{an}满足a1=1,an+1=2anan+2,则an= .
解析：因为an+1=2anan+2,a1=1,
所以an≠0,所以1an+1=1an+12,
即1an+1-1an=12,又a1=1,则1a1=1,
所以1an是以1为首项,12为公差的等差数列.
所以1an=1a1+(n-1)×12=n2+12,
所以an=2n+1.
答案:2n+1
【一题多变】
(1)若本例(3)中的“an+1=3an+1”改为“an+1=3an+2n-1”,其他条件不变,结果如何?
(2)若本例(3)中的“an+1=3an+1”改为“an+1=3an+2n-1”,其他条件不变,结果如何?
解析：(1)由an+1=3an+2n-1,得an+1+n+1=3(an+n).
又a1+1=2,所以{an+n}是首项为2,公比为3的等比数列,所以an+n=2·3n-1,
因此数列{an}的通项公式为an=2·3n-1-n.
(2)由an+1=3an+2n-1,得
an+1+2n=3(an+2n-1).
又a1+21-1=2,所以{an+2n-1}是首项为2,公比为3的等比数列.
所以an+2n-1=2·3n-1,故an=2·3n-1-2n-1.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
由递推关系式求通项公式的常用方法
(1)已知a1且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an.
(2)已知a1且anan−1=f(n)可用“累乘法”求an.
(3)已知a1且an+1=qan+b,则an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系数法确定),可转化为等比数列{an+k}.
(4)形如an+1=AanBan+C(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【对点训练】
1.在数列{an}中,a1=2,an+1n+1=ann+ln(1+1n),则an等于( )
A.2+nln nB.2n+(n-1)ln n
C.2n+nln nD.1+n+nln n
解析：选C.因为an+1n+1=ann+ln(1+1n),
则有an+1n+1-ann=ln(n+1)-ln n,
于是得,当n≥2时,ann=a11+(a22-a11)+(a33-a22)+…+(ann-an−1n−1)
=2+(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+…+lnn−ln(n−1)=2+ln n,
因此,an=2n+nln n,显然,a1=2满足上式,
所以an=2n+nln n.
2.已知a1=2,an+1=2nan,则数列{an}的通项公式an= .
解析：因为an+1=2nan,所以an+1an=2n,
当n≥2时,an=anan−1×an−1an−2×…×a2a1×a1
=2n-1×2n-2×…×2×2=2n2−n+22.
又a1=2也符合上式,所以an=2n2−n+22.
答案:2n2−n+22
3.在数列{an}中,a1=1,且an+1=an1+nan,求数列{an}的通项公式.
解析：因为an+1=an1+nan,所以an+1(1+nan)=an,化简得an+1+nanan+1=an.
两边同时除以anan+1并整理得1an+1-1an=n.
即1a2-1a1=1,1a3-1a2=2,1a4-1a3=3,…,
1an-1an−1=n-1(n≥2,n∈N*),
将上述n-1个式子相加得,1a2-1a1+1a3-1a2+1a4-1a3+…+1an-1an−1=1+2+3+…+n-1,
即1an-1a1=n(n−1)2,所以1an=1a1+n(n−1)2=1+n(n−1)2=n2−n+22(n≥2,n∈N*),
又因为1a1=1也满足上式,
所以1an=n2−n+22(n∈N*),
所以an=2n2−n+2(n∈N*).
【加练备选】
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足4(n+1)·(Sn+1)=(n+2)2an,则数列{an}的通项公式an= .
解析：由4(n+1)(Sn+1)=(n+2)2an
得Sn=(n+2)2an4(n+1)-1,当n≥2时,
Sn-1=(n+1)2an−14n-1.
两式相减得an=(n+2)2an4(n+1)-(n+1)2an−14n,
化简整理得n3an=(n+1)3an-1.
当n=1时,S1=a1,即有8(a1+1)=9a1,
解得a1=8,因此,n∈N*,
n≥2时,anan−1=(n+1)3n3,
an=anan−1·an−1an−2·an−2an−3·…·a3a2·a2a1·a1
=(n+1)3n3·n3(n−1)3·(n−1)3(n−2)3·…·4333·3323·8=(n+1)3,
而a1=8满足上式,所以an=(n+1)3.
答案:(n+1)3
【题型四】数列的性质及应用
角度1 数列的周期性
[典例4]在数列{an}中,a1=0,an+1=3+an1−3an,则S2 023= .
解析：因为a1=0,an+1=3+an1−3an,
所以a2=31=3,a3=3+31−3×3=23−2
=-3,
a4=3−31+3×3=0,
即数列{an}的取值具有周期性,周期为3,
且a1+a2+a3=0,则S2 023=S3×674+1=a1=0.
答案:0
角度2 数列的单调性及最值
[典例5](1)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=n2,bn=an+110−an,则bn的最小值为( )
A.-16B.-15
C.-13D.-11
解析：选C.因为Sn=n2,所以a1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,此时a1=1,综上,数列an的通项公式为an=2n-1.
所以bn=an+110−an=2n+111−2n=1211−2n-1,
记f(x)=1211−2x-1,则f(x)在(-∞,5.5)与(5.5,+∞)上都是增函数,所以数列bn的最小项是第6项,值为-13.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n∈N*),则数列{nan}中数值最小的项是( )
A.第2项B.第3项
C.第4项D.第5项
解析：选B.因为Sn=n2-10n,
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-11;
当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.
所以an=2n-11(n∈N*).
记f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,
此函数图象的对称轴为直线n=114,但n∈N*,
所以当n=3时,f(n)取最小值.
所以数列{nan}中数值最小的项是第3项.
【方法提炼】
1.数列的单调性与最值
有关数列最大项、最小项的问题可借助数列的单调性来解决;数列{an}递增的充要条件是对任意正整数n都有ann+an.
整理得a1.所以当n≤2,a1a2,所以a3>4a-(74a+172)+172,解得a>32或aan
递减
数列
∀n∈N*,an+1