高考数学复习第九章　第二节　两条直线的位置关系（导学案）

这是一份高考数学复习第九章　第二节　两条直线的位置关系（导学案），共15页。学案主要包含了课程标准，必备知识 精归纳，常用结论，基础小题 固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，一题多变等内容，欢迎下载使用。

第二节 两条直线的位置关系
【课程标准】
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
【必备知识 精归纳】
1.两条直线的位置关系
(1)利用斜率关系判断
对于不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2.
特别地,当两直线的斜率都不存在时,l1∥l2.
当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.
(2)两直线相交
交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组
A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;
平行⇔方程组无解;
重合⇔方程组中的两个方程可以化成同一个方程.
2.三种距离
(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2.
(3)两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=|C1-C2|A2+B2.
点睛1.应用点到直线的距离公式时,直线的方程必须是一般式;
2.两平行线的距离公式中,两直线方程的一般式中x,y的系数必须对应相等.
【常用结论】
1.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).
2.垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.
3.点(m,n)关于直线x=a的对称点为(2a-m,n),关于直线y=b的对称点为(m,2b-n).
4.点(m,n)关于直线y=x+b的对称点为(n-b,m+b),关于直线y=-x+b的对称点为(-n+b,-m+b).
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)两条直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交点为( )
A.(25,95)B.(-25,95)
C.(25,-95)D.(-25,-95)
解析：选B.解方程组2x+y-1=0,x-2y+4=0,得x=-25,y=95,
所以两直线的交点为(-25,95).
2.(教材变式)点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值为( )
A.13B.22C.6D.2
解析：选B.点O到x+y-4=0的距离d=42=22,所以|OP|的最小值为22.
3.(教材提升)若直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直,则a的值为( )
A.-3B.-43C.2D.3
解析：选D.直线ax+2y-1=0的斜率k1=-a2,直线2x-3y-1=0的斜率k2=23,因为两直线垂直,所以-a2×23=-1,解得a=3.
4.(结论3)与直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程为( )
A.2x+3y+1=0B.2x+3y-1=0
C.3x-2y+1=0D.3x+2y+1=0
解析：选B.设点M(x,y)是所求直线上的任意一点,
则其关于y轴的对称点M'(-x,y)在直线l:2x-3y+1=0上,
所以-2x-3y+1=0,即2x+3y-1=0.
5.(忽略两直线重合的情况)已知直线l:ax+y+a=0,直线m:x+ay+a=0,则l∥m的充要条件是( )
A.a=-1B.a=1
C.a=±1D.a=0
解析：选A.因为直线l:ax+y+a=0,直线m:x+ay+a=0,易知a=0时,两直线垂直,
所以l∥m的充要条件是a1=1a≠aa,即a=-1.
6.(结论4)已知点A(-2,1)关于直线x+y=0的对称点为点B,则点B的坐标为( )
A.(1,-2)B.(2,1)
C.(2,-1)D.(-1,2)
解析：选D.因为点A,B关于x+y=0对称,
所以xB=-1,yB=-(-2)=2,
故对称的点为(-1,2).
题型一 两条直线的平行、垂直与斜率
[典例1]已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.
(1)试判断a为何值时,l1与l2平行;
(2)当l1⊥l2时,求a的值.
解析：(1)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;
当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;
当a≠1且a≠0时,两直线方程可化为l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),l1∥l2⇔-a2=11-a,-3≠-(a+1),
解得a=-1,
综上可知,当a=-1时,l1∥l2.
方法二:显然a≠0,l1∥l2,则1a=a-12≠a2-16⇔a(a-1)-1×2=0,a(a2-1)-1×6≠0⇒a2-a-2=0,a(a2-1)≠6,
可得a=-1,故当a=-1时,l1∥l2.
(2)方法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不成立;
当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;
当a≠1且a≠0时,l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),由(-a2)·11-a=-1,得a=23.
方法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=23.
【方法提炼】
1.已知两直线的斜率存在,判断两直线平行或垂直的方法
(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;
(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.
提醒当直线斜率不确定时,要注意斜率不存在的情况.
2.由一般式确定两直线位置关系的方法
提醒在判断两直线的位置关系时,比例式A1A2与B1B2,C1C2的关系容易记住,在解答选择题、填空题时,建议多用比例式来解答.
【对点训练】
1.(2022·潍坊模拟)已知直线l1:x-3y=0,l2:x+ay-2=0,若l1⊥l2,则a=( )
A.13B.-13C.3D.-3
解析：选A.因为l1⊥l2,所以13·（-1a）=-1⇒a=13.
2.直线x+ay+2=0与直线ax+y+2a2=0平行,则实数a的值为( )
A.1或-1B.0或-1
C.-1D.1
解析：选C.因为直线x+ay+2=0与直线ax+y+2a2=0平行,
所以显然a≠0,则1a=a1≠22a2,
即a=±1,a≠0,a≠1,
所以a=-1.
【加练备选】
若a,b为正实数,直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互相垂直,则ab的最大值为 .
解析：由两直线垂直得4b+2a-4=0,即2=a+2b≥22ab,ab≤12,
当且仅当a=1,b=12时,等号成立,故ab的最大值为12.
答案:12
题型二 两条直线的相交及距离问题
角度1 与交点有关的问题
[典例2](1)(2022·济南模拟)过x+y=2与x-y=0的交点,且平行于向量v=(3,2)的直线方程为( )
A.3x-2y-1=0B.3x+2y-5=0
C.2x-3y+1=0D.2x-3y-1=0
解析：选C.由x-y=0,x+y=2,可得x=1,y=1,
所以交点坐标为(1,1),
又因为直线平行于向量v=(3,2),
所以所求直线方程为y-1=23(x-1),
即2x-3y+1=0.
(2)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为( )
A.5B.6C.23D.25
解析：选A.联立y=2x,x+y=3,解得x=1,y=2.
把(1,2)代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0.
所以m=-5-2n.
所以点(m,n)到原点的距离d=m2+n2=(5+2n)2+n2=5(n+2)2+5≥5,
当n=-2,m=-1时取等号.
所以点(m,n)到原点的距离的最小值为5.
角度2 与距离有关的问题
[典例3](1)直线l过点P(1,2)且A(2,3),B(4,-5)到l的距离相等,则直线l的方程是( )
A.4x+y-6=0
B.x+4y-6=0
C.3x+2y-7=0或4x+y-6=0
D.2x+3y-7=0或x+4y-6=0
解析：选C.由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点,
①AB的斜率为3+52-4=-4,当直线l∥AB时,l的方程是y-2=-4x-1即4x+y-6=0;
②当直线l经过线段AB的中点(3,-1)时,l的斜率为2+11-3=-32,l的方程是y-2=-32(x-1),即3x+2y-7=0,
故所求直线的方程为3x+2y-7=0或4x+y-6=0.
(2)已知点P(2,-1)和直线l:(m+1)x+(1-m)y+m-3=0,求当m为何值时,点P到直线l的距离最大?最大值是多少?
解析：l的方程可化为m(x-y+1)+x+y-3=0,由x-y+1=0,x+y-3=0,得x=1,y=2,
即直线l恒过定点Q(1,2),
因为直线PQ的斜率kPQ=-3,
所以当直线PQ⊥l时,点P到直线l的距离最大,
可得m+1m-1×(-3)=-1,解得m=-2,
故当m=-2时,点P到直线l的距离最大,
此时l的方程为x-3y+5=0,
最大值为d=|2-3×(-1)+5|12+(-3)2=10.
【一题多变】
本例(2)中,改成最小值时求直线l的方程.
解析：点P到直线l的距离最小时,l经过点P,
所以2m+1-1-m+m-3=0,所以m=12,
此时直线l的方程为3x+y-5=0.
【方法提炼】
1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
2.处理距离问题的两大策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.
(2)动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算.
提醒(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;
(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数分别化为相等.
【对点训练】
1.(多选题)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3能构成三角形,则实数a的取值可以是( )
A.-1B.1C.2D.5
解析：选CD.由题意可得直线x+y=0与x-y=0都过原点,而无论a为何值,直线x+ay=3不过原点,因此,要满足三条直线构成三角形,只需直线x+ay=3与另两条直线不平行,所以a≠±1.
2.过直线l1:5x+2y-3=0和l2:3x-5y-8=0的交点P,且与直线x+4y-7=0垂直的直线l的方程为 .
解析：方法一:由5x+2y-3=0,3x-5y-8=0,
解得P(1,-1).
因为直线x+4y-7=0的斜率为-14,
所以直线l的斜率为4.
因此满足条件的直线l的方程为y+1=4(x-1),即4x-y-5=0.
方法二:因为直线l垂直于直线x+4y-7=0.
所以设直线l的方程为4x-y+c=0.
又因为直线l1与l2的交点为P(1,-1),
所以4×1-(-1)+c=0,
解得c=-5.
所以直线l的方程为4x-y-5=0.
方法三:因为直线l过l1与l2的交点,
所以设直线l的方程为(5x+2y-3)+λ(3x-5y-8)=0,
即(5+3λ)x+(2-5λ)y-3-8λ=0,
又因为与直线x+4y-7=0垂直,
所以kl=-5+3λ2-5λ=4,
解得λ=1317.
所以直线l的方程为4x-y-5=0.
答案:4x-y-5=0
3.已知直线y=kx+2k+1与直线y=-12x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是 .
解析：方法一:由方程组y=kx+2k+1,y=-12x+2,
解得x=2-4k2k+1,y=6k+12k+1.(若2k+1=0,即k=-12,则两直线平行,不合题意),所以交点坐标为(2-4k2k+1,6k+12k+1).又因为交点位于第一象限,
所以2-4k2k+1>0,6k+12k+1>0,解得-16方法二:如图,
已知直线y=-12x+2与x轴、y轴分别交于点A(4,0),B(0,2).而直线方程y=kx+2k+1可变形为y-1=k(x+2),表示这是一条过定点P(-2,1),斜率为k的动直线.因为两直线的交点在第一象限,
所以两直线的交点必在线段AB上(不包括端点),所以动直线的斜率k需满足kPA因为kPA=-16,kPB=12.所以-16答案:(-16,12)
【加练备选】
经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )
A.x+y+1=0
B.x-y+1=0
C.x+y+1=0或3x+4y=0
D.x-y+1=0或x+y+1=0
解析：选C.设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,
即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0.
令x=0,得y=7λ-62+5λ;
令y=0,得x=7λ-63+2λ.
由7λ-62+5λ=7λ-63+2λ,得λ=13或λ=67.
所以直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.
题型三 对称问题
[典例4](1)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是( )
A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0
C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0
解析：选A.设所求直线上任意一点P(x,y),点P关于x-y+2=0的对称点为P'(x0,y0).
由x+x02-y+y02+2=0,x-x0=-(y-y0),
得x0=y-2,y0=x+2.
因为点P'(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.
(2)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为 .
解析：设l1与l的交点为A(a,8-2a).
由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,
解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,
所以直线l的方程为x+4y-4=0.
答案:x+4y-4=0
(3)已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0,则点A关于直线l的对称点A'的坐标为 .
解析：设点A'的坐标为(x,y),
由题意可知y-4x+4=13,3×x-42+y+42-2=0,
解得x=2,y=6,
所以点A'的坐标为(2,6).
答案:(2,6)
【方法提炼】
1.中心对称问题
(1)若点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点为P'(x',y'),则x'=2a-x,y'=2b-y.
(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决.
2.轴对称问题
(1)若点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点为A'(m,n),则有
n-bm-a×(-AB)=-1,A·a+m2+B·b+n2+C=0.
(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【对点训练】
1.直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是( )
A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0
C.2x+3y-4=0D.2x+3y-2=0
解析：选D.设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),
则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y),
因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,
所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0,
即2x+3y-2=0.
2.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )
A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0
解析：选D.设所求直线上任一点(x,y),
则它关于x=1对称点为(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,
所以2-x-2y+1=0,
化简得x+2y-3=0.
3.一条光线从点A(2,4)射出,倾斜角为60°,遇x轴后反射,则反射光线的直线方程为( )
A.3x-y+4-23=0
B.x-3y-2-43=0
C.3x+y+4-23=0
D.x+3y-2-43=0
解析：选C.点A(2,4)关于x轴的对称点为A'(2,-4),
又反射光线倾斜角为180°-60°=120°,
所以斜率k=-3,
所以反射光线所在直线方程为y+4=-3(x-2),
即3x+y+4-23=0.
【加练备选】
已知A(0,2),B(3,-1),点P为x轴上一动点,则|PA|-|PB|的最大值是( )
A.10B.32C.22D.7
解析：选A.由已知点A关于x轴的对称点为C(0,-2),kBC=-1+23-0=13,直线BC方程为y=13x-2,令y=0得x=6,
所以直线BC与x轴交点为Q(6,0),|PA|-|PB|=|PC|-|PB|≤|CB|=
(3-0)2+(-1+2)2=10,当且仅当P是直线BC与x轴交点Q时等号成立.
【思维导图·构网络】
l1∥l2
k1=k2
l1⊥l2
k1·k2=-1
教材改编
结论应用
易错易混
1,2,3
4,6
5
直线方程
l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)
l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)
l1与l2平行的
充要条件
A1B2=A2B1A1C2≠A2C1(或B1C2≠B2C1)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2+B1B2=0
l1与l2相交
的充要条件
A1A2≠B1B2(A2B2≠0)
l1与l2重合
的充要条件
A1B2=A2B1B1C2=B2C1