高考数学复习第九章　第三节　圆的方程、直线与圆的位置关系（导学案）

这是一份高考数学复习第九章　第三节　圆的方程、直线与圆的位置关系（导学案），共17页。学案主要包含了课程标准，必备知识 精归纳，常用结论，基础小题 固根基，方法提炼，对点训练，加练备选，思维导图·构网络等内容，欢迎下载使用。

第三节 圆的方程、直线与圆的位置关系
【课程标准】
1.掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【必备知识 精归纳】
1.圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
2.圆的方程
(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
圆心:(a,b),半径:r.
(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
(D2+E2-4F>0),圆心:-D2,-E2,
半径:12D2+E2-4F.
点睛(1)圆的标准方程中,如果没给出r>0,则圆的半径应为|r|.
(2)圆的一般方程中,当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点（-D2,-E2）;当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,不表示任何图形.
3.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)24.直线与圆的位置关系(半径为r,圆心到直线的距离为d)
【常用结论】
1.圆的四个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上;
(2)圆心在任一弦的中垂线上;
(3)两圆相切时,切点与两圆心三点共线;
(4)直线与圆相交,则弦心距、半径、弦的一半构成直角三角形.
2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
3.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)已知圆C:x2-2x+y2=0,则圆心C到直线x=3的距离等于( )
A.4B.3C.2D.1
解析：选C.圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为C(1,0),故圆心C到直线x=3的距离为|1-3|=2.
2.(教材变式)与圆(x-1)2+y2=4的圆心相同且过点P(-2,4)的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+y2=17B.(x+1)2+y2=25
C.(x+1)2+y2=17D.(x-1)2+y2=25
解析：选D.由圆(x-1)2+y2=4的方程可知圆心为(1,0).
设所求圆的方程为(x-1)2+y2=r2,
代入(-2,4)得(-2-1)2+42=r2,解得r=5,
所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=25.
3.(忽略D2+E2-4F>0)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0外,则实数k的取值范围是( )
A.(-2,+∞)B.[-2,-12)
C.(-2,12)D.(-2,2)
解析：选C.由题意得1+1+1-1+k>0,1+1-4k>0,
解得-24.(结论1(4))已知直线l:y=x被圆C:(x-3)2+(y-1)2=r2(r>0)截得的弦长为2,则r=( )
A.3B.6C.3D.4
解析：选A.圆心到直线的距离d=|3-1|12+12=2,弦长的一半为1,则r=(2)2+12=3.
5.(忽略D2+E2-4F>0)“a>0”是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：选B.将x2+y2-2ax-2y+a+1=0
化为标准方程,得(x-a)2+(y-1)2=a2-a.
当点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外时,有a2-a>0a>0,解得a>1.
所以“a>0”是“点(0,1)在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的必要不充分条件.
6.(结论3(1))过圆O:x2+y2=5上一点M(1,-2)作圆的切线l,则直线l的方程为________.
解析：显然点M(1,-2)在圆x2+y2=5上,
由结论3(1)知切线方程为x-2y=5.即x-2y-5=0.
答案:x-2y-5=0
题型一 求圆的方程
角度1 直接求圆的方程
[典例1](1)(多选题)已知圆C关于y轴对称,过点(1,0),且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程可能为( )
A.x2+(y+33)2=43
B.x2+(y-33)2=43
C.(x-3)2+y2=43
D.(x+3)2+y2=43
解析：选AB.由已知得圆C的圆心在y轴上,且被x轴所截得的劣弧所对的圆心角为2π3.
设圆心的坐标为(0,a),半径为r,
则rsin π3=1,rcs π3=|a|,
解得r=233,即r2=43,|a|=33,即a=±33.
故圆C的方程为x2+(y+33)2=43或x2+(y-33)2=43.
(2)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为____________.
解析：方法一:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
则F=0,1+1+D+E+F=0,4+2D+F=0,解得D=-2,E=0,F=0,
故圆的方程为x2+y2-2x=0.
方法二:设O(0,0),A(1,1),B(2,0),
则kOA=1,kAB=-1,
所以kOA·kAB=-1,
即OA⊥AB,所以△OAB是以∠A为直角的直角三角形,则线段BO是所求圆的直径,
则圆心为(1,0),半径r=12|OB|=1,圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.
答案:x2+y2-2x=0
【方法提炼】
求圆的方程的两种方法
(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法:
①根据题意,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出方程组;
③解系数,代入标准方程或一般方程.
提醒解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
【对点训练】
1.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是________.
解析：由x-y+2=02x+y-8=0,可得x=2y=4,
即圆心为(2,4),又圆过原点,
所以圆的半径r=(2-0)2+(4-0)2=25,
故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.
答案:(x-2)2+(y-4)2=20
2.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+2x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是__________.
解析：因为方程a2x2+(a+2)y2+2x+8y+5a=0表示圆,
所以a2=a+2≠0,解得a=-1或a=2.
当a=-1时,方程x2+y2+2x+8y-5=0,
即(x+1)2+(y+4)2=22,所求圆的圆心坐标为(-1,-4);
当a=2时,方程4x2+4y2+2x+8y+10=0,
即x2+y2+12x+2y+52=0,此时(12)2+22-4×52=-234<0,方程不表示圆.
综上所述,圆心坐标是(-1,-4).
答案:(-1,-4)
角度2 求轨迹方程
[典例2](1)当点P在圆x2+y2=1上运动时,它与定点Q-3,0的连线PQ的中点的轨迹方程是( )
A.x+32+y2=4
B.x-32+y2=1
C.x-322+y2=14
D.x+322+y2=14
解析：选D.设PQ中点的坐标为x,y,
则P2x+3,2y,因为点P在圆x2+y2=1上,故2x+32+2y2=1,整理得到x+322+y2=14.
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P截x轴所得的线段长为22,截y轴所得的线段长为23.求圆心P的轨迹方程.
解析：设P(x,y),圆P的半径为r,
则y2+2=r2,x2+3=r2,
所以y2+2=x2+3,
即y2-x2=1,
所以圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
求与圆有关轨迹问题的两种方法
(1)直接法:当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程.
(2)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程.
【对点训练】
1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A0,-2,若动点M满足MAMO=2,则点M的轨迹方程是( )
A.x2+(y+2)2=22
B.x2+(y-2)2=22
C.x2+(y+2)2=8
D.x2+(y-2)2=8
解析：选D.设M(x,y),因为MAMO=2,A(0,-2),
所以x2+(y+2)2x2+y2=2,
所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),
所以x2+(y-2)2=8为点M的轨迹方程.
2.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是________________________.
解析：设C(x,y).由题意知,
|AB|=(3-4)2+(5-2)2=10.
因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
所以|CA|=|AB|=10,
即点C的轨迹是以点A为圆心,10为半径的圆.
又点A,B,C构成三角形,
所以三点不可共线,
所以轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5,-1),
所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点).
答案:(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点)
题型二 直线与圆的位置关系
[典例3](1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是( )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
解析：选A.方法一:(代数法)
由mx-y+1-m=0,x2+(y-1)2=5,
消去y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,
因为Δ=16m2+20>0,
所以直线l与圆相交.
方法二:(几何法)由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=|-m|m2+1<1<5,故直线l与圆相交.
方法三:易得直线l过定点(1,1).把点(1,1)代入圆的方程有1+0<5,所以点(1,1)在圆的内部,故直线l与圆C相交.
(2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
解析：选ABD.圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b2,若点A(a,b)在圆C上,
则a2+b2=r2,所以d=r2a2+b2=|r|,
则直线l与圆C相切,故A正确;
若点A(a,b)在圆C内,
则a2+b2|r|,
则直线l与圆C相离,故B正确;
若点A(a,b)在圆C外,
则a2+b2>r2,所以d=r2a2+b2<|r|,
则直线l与圆C相交,故C错误;
若点A(a,b)在直线l上,
则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2,
所以d=r2a2+b2=|r|,
直线l与圆C相切,故D正确.
(3)(2023·烟台模拟)过直线x-y-m=0上一点P作圆M:(x-2)2+(y-3)2=1的两条切线,切点分别为A,B,若使得四边形PAMB的面积为7的点P有两个,则实数m的取值范围为( )
A.-5C.m<-5或m>3D.m<-3或m>5
分析：利用圆的性质可得S=12|PA||MA|+12|PB||MB|=|PA|=7,进而可得|PM|=22,结合题意可得|2-3-m|12+(-1)2<22,即得.
解析：选A.由圆M:(x-2)2+(y-3)2=1可知,圆心M(2,3),半径为1,所以|MA|=|MB|=1,
所以四边形PAMB的面积为S=12|PA||MA|+12|PB||MB|=|PA|=7,
所以|PM|=|MA|2+|PA|2=12+(7)2=22,
要使四边形PAMB的面积为7的点P有两个,
则|2-3-m|12+(-1)2<22,解得-5【方法提炼】
判断直线与圆的位置关系的一般方法
(1)几何法:圆心到直线的距离与圆半径比较大小,特点是计算量较小;
(2)代数法:将直线方程与圆方程联立方程组,通过解的情况判断,适合于判断直线与圆的位置关系.
【对点训练】
1.(2022·怀化模拟)已知a,b∈R,a2+b2≠0,则直线l:ax+by=0与圆C:x2+y2+ax+by=0的位置关系是( )
A.相交B.相离
C.相切D.不能确定
解析：选C.C:x2+y2+ax+by=0,
化为(x+a2)2+(y+b2)2=a2+b24,
圆心C(-a2,-b2),半径为a2+b22,
圆心C到直线l的距离为d,d=|-a22-b22|a2+b2=a2+b22,所以直线l与圆C相切.
2.(2022·茂名模拟)过三点A(0,0),B(0,2),C(2,0)的圆M与直线l:kx-y+2-2k=0的位置关系是( )
A.相交B.相切
C.相交或相切D.相切或相离
解析：选C.方法一:由题意得,圆M是过原点,以BC为直径的圆,
所以圆的方程为:(x-1)2+(y-1)2=2,直线l过定点(2,2),定点在圆上,
所以圆与直线的位置关系为相交或相切.
方法二:圆M的圆心为(1,1),半径为2,圆心到直线l的距离为d=|-k+1|k2+1=k2-2k+1k2+1=
1-2kk2+1,
当k=0时,d=1<2,所以直线和圆相交.
当k<0时,d=1-2kk2+1=1+21-k+(-k)≤2(当且仅当k=-1时,等号成立),
所以直线和圆相交或相切
当k>0时,d=1-2kk2+1=1-21k+k,
则0≤d<1,所以直线和圆相交.
3.(多选题)(2022·福州模拟)已知圆M:(x+cs θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,下面四个命题,其中真命题是( )
A.对任意实数k与θ,直线l与圆M相切
B.对任意实数k与θ,直线l与圆M有公共点
C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切
解析：选BD.由题意知,圆心坐标(-cs θ,sin θ),半径为1,圆心M到直线l的距离为d=|-kcsθ-sinθ|1+k2=1+k2|sin(θ+α)|1+k2=|sin(θ+α)|≤1(其中tan α=k),所以对任意实数k与θ,直线l与圆M有公共点,且对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切.
4.已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆相切于点A(-2,-1),则m=________,r=________.
解析：可知kAC=-12⇒AC:y+1=-12(x+2),把(0,m)代入得m=-2,此时r=|AC| =4+1=5.
答案:-2 5
【加练备选】
(多选题)已知直线l:x+y-2=0与圆C:(x-1)2+(y+1)2=4,则( )
A.直线l与圆C相离
B.直线l与圆C相交
C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个
解析：选BD.由圆C:(x-1)2+(y+1)2=4,可知其圆心坐标为(1,-1),半径为2,
圆心(1,-1)到直线l:x+y-2=0的距离d=|1-1-2|12+12=1,
所以可知选项B,D正确,选项A,C错误.
题型三 直线与圆综合问题
角度1 圆的弦长问题
[典例4](1)(2021·北京高考)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,当k变化时,l截得圆C弦长的最小值为2,则m=( )
A.±2B.±2C.±3D.±3
解析：选C.由题意得圆心C(0,0),半径r=2.
圆心C到直线l的距离d=|m|k2+1,
则弦长为2r2-d2=24-m2k2+1,
显然当k=0时,弦长取得最小值24-m2=2,
得m2=3,得m=±3.
(2)(2023·菏泽模拟)已知圆x2+y2=8内有一点P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为135°的弦,则|AB|=________.
解析：依题意可得直线AB的斜率为-1,
所以直线AB的方程为:y-2=-(x+1),
即x+y-1=0,由圆心到直线的距离可得弦心距d=12=22,
所以|AB|=28-d2=28-12=30.
答案:30
角度2 圆的切线问题
[典例5](1)(2023·福州模拟)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为( )
A.55B.255C.355D.455
解析：选B.设圆心为(a,a),则半径为a,圆过点(2,1),
则(2-a)2+(1-a)2=a2,解得a=1或a=5,
所以圆心坐标为(1,1)或(5,5),圆心到直线的距离都是d=255.
(2)过点P(2,4)引圆C:(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为________________.
解析：当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意;当直线的斜率存在时,设直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,
即d=|k-1+4-2k|k2+(-1)2=|3-k|k2+1=1,解得k=43,
所以所求切线方程为43x-y+4-2×43=0,
即4x-3y+4=0.
综上,切线方程为x=2或4x-3y+4=0.
答案:x=2或4x-3y+4=0
【方法提炼】
1.弦长的两种求法
(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.
(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长
l=2r2-d2.
2.求过某点的圆的切线的方法
(1)确定点与圆的位置关系,再求切线方程.
(2)若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时注意斜率不存在的切线.
【对点训练】
1.已知圆C过点(0,5),(6,-3),(-1,4),则直线x-y+2=0被圆C截得的弦长为( )
A.215B.217C.219D.8
解析：选B.设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
故25+5E+F=0,45+6D-3E+F=0,17-D+4E+F=0,
解得D=-6,E=-2,F=-15,
故圆C:x2+y2-6x-2y-15=0
即(x-3)2+(y-1)2=25.
则圆心C(3,1)到直线x-y+2=0的距离d=|3-1+2|2=22,
故所求弦长为225-8=217.
2.若直线l:(m+2)x+(m-3)y+5=0(m∈R)与圆P:(x-1)2+(y+2)2=16相交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A.10B.22C.23D.32
解析：选C.(m+2)x+(m-3)y+5=0,
可化为(x+y)m+2x-3y+5=0,
令x+y=0,2x-3y+5=0,所以x=-1,y=1.
所以直线l恒过定点E(-1,1),
所以当AB⊥PE时,|AB|最小,此时|AB|=2r2-|PE|2=216-13=23.
3.(多选题)(2022·鞍山模拟)已知M为圆C:(x+1)2+y2=2上的动点,P为直线l:x-y+4=0上的动点,则下列结论正确的是( )
A.直线l与圆C相切B.直线l与圆C相离
C.|PM|的最大值为322D.|PM|的最小值为22
解析：选BD.由圆C:(x+1)2+y2=2可知,圆心C(-1,0),半径r=2,
因为圆心C(-1,0)到直线l:x-y+4=0的距离d=|-1-0+4|12+(-1)2=322>r,
所以直线l与圆C相离,A不正确,B正确;
|PM|≥|PC|-r≥d-r=22,由题意知|PM|无最大值,故C不正确,D正确.
4.(2022·重庆模拟)在平面直角坐标系xOy中,过动点P作圆A:(x-1)2+(y-1)2=1的一条切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=2|PO|,则|PQ|的最大值为________.
解析：|PQ|=2|PO|⇒|PA|2-1=2|PO|2,
设P(x,y),则(x-1)2+(y-1)2-1=2(x2+y2),
化简得(x+1)2+(y+1)2=3,故点P的轨迹是以C(-1,-1)为圆心、3为半径的圆,
所以|PO|的最大值为|OC|+3=(-1-0)2+(-1-0)2+3=2+3,
由|PQ|=2|PO|,得|PQ|的最大值为(2+3)×2=2+6.
答案:2+6
【加练备选】
(2022·葫芦岛模拟)已知直线l:kx-y+2=0恒过定点M,点N在曲线C:x2+y2-2x-6y+8=0上,若|OM|=|ON|(O为坐标原点),则△MON的面积为( )

A.65B.2C.22D.255
解析：选A.易知直线l:kx-y+2=0过定点(0,2),即M(0,2),可得|OM|=|ON|=2,
设N(x,y),
则x2+y2=2x2+y2-2x-6y+8=0,
解得x=0y=2或x=65y=85,故N（65,85）,
故△MON的面积为12×2×65=65.
【思维导图·构网络】
项目
相离
相切
相交
图形
代数法
Δ<0
Δ=0
Δ>0
几何法
d>r
d=r
d教材改编
结论应用
易错易混
1,2
4,6
3,5