高考数学复习第十章　第一节　随机抽样（导学案）

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第一节 随机抽样
1.知道获取数据的基本途径.
2.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.
3.通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法,会计算样本均值和样本方差,了解样本与总体的关系.
4.通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.
5.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.
1.调查中的常用术语
点睛通过抽样生成样本后,样本量随之确定,经过测量后样本数据也随之确定.
2.简单随机抽样
(1)分类:放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样
(2)方法:抽签法和随机数法
3.总体平均数与样本平均数
(1)总体平均数
①总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称Y=Y1+Y2+…+YNN= 1N∑i=1NYi__为总体平均数.
②如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y= 1N∑i=1kfiYi.
(2)样本平均数
如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称y=y1+y2+…+ynn= 1n∑i=1nyi为样本平均数.
4.分层随机抽样
按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样.
(1)每一个子总体称为层,在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
(2)如果总体分为两层,两层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n,两层的样本平均数分别为x,y,两层的总体平均数分别为X,Y,总体平均数为W,样本平均数为w.
则w=mm+nx+nm+ny,W=MM+NX+NM+NY.
(3)在比例分配的分层随机抽样中,可以直接用样本平均数w估计总体平均数W.
1.不论简单随机抽样还是分层随机抽样,总体中的每一个个体入样的概率是相同的.
2.分层随机抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比.
1.(教材变式)为了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩,从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析,在这个问题中,200是( )
A.总体B.个体
C.样本量D.样本数据
解析：选C.根据各自的定义可以知道.
2.(抽样方法选择错误)下列抽样试验中,适合用抽签法的是( )
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：选B.选项A中总体中的个体数较大,样本容量也较大,不适合用抽签法;
选项B中总体中的个体数较小,样本容量也较小,且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了,可用抽签法;
选项C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,不能满足搅拌均匀的条件,不能用抽签法;
选项D中总体中的个体数较大,不适合用抽签法.
3.(结论1)在120个零件中,一级品24个,二级品36个,三级品60个,从中抽取容量为20的一个样本,则每个个体被抽到的概率为( )
A.1120B.120C.160D.16
解析：选D.根据抽样的概念知,在抽样过程中每个个体被抽到的概率是均等的,所以每个个体被抽到的概率为P=20120=16.
4.(结论2)为了增强学生的主人翁意识,学校决定召开座谈会征求学生对学校建设的意见和建议,采用分层随机抽样的方法从高一1 200人、高二1 450人、高三n人中,抽取80人参加座谈会,已知高一年级被抽取的人数为24,那么高三年级人数n为( )
A.1 250B.1 300C.1 350D.1 400
解析：选C.利用分层随机抽样的方法可知抽取比例为801 200+1 450+n,又因为高一被抽取的人数为24,所以241 200=801 200+1 450+n,解得n=1 350.
5.(教材变式)已知数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为5,则数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的平均数为( )
A.3B.5C.10D.11
解析：选D.每个数据都变成原数据的2倍再加1的形式,所以平均数也变成原来平均数的2倍再加1,即11.
6.(不会读数导致错误)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标,现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将500支疫苗按000,001,…,499进行编号,若从随机数表第7行第7列的数开始向右读,则抽取的第3支疫苗的编号为__________.(下面摘取了利用R统计软件生成的随机数表的第7行至第11行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 15 77 67
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59
16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07
44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82
52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
解析：由题意,从随机数表第7行第7列的数开始向右读,对应的编号依次为533,157,245,506,887,704,157,767,217,…,超出499的和重复的都不符合条件,故符合条件的前三个编号依次是157,245,217,故抽取的第3支疫苗的编号是217.
答案:217
题型一 简单随机抽样
[典例1](1)(多选题)下列抽样方法不是简单随机抽样的是( )
A.在机器传送带上抽取30件产品作为样本
B.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
C.箱子里共有100个零件,今从中选取10个零件进行检验,在抽样操作时,每次任意地拿出1个零件进行质量检验,检验后不再把它放回箱子里,直到抽取10个零件为止
D.某可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
解析：选AB.A不是,因为传送带上的产品数量不确定;B不是,因为个体的数量无限;C是,因为满足简单随机抽样的定义;D是,因为一次性抽取和逐个不放回地随机抽取是等价的.
(2)某校高三共有10个班,编号分别为01,02,…,10,现用抽签法从中抽取3个班进行调查,设高三(5)班被抽到的概率为a,高三(6)班被抽到的概率为b,则a=__________;b=__________.
解析：由简单随机抽样的定义,知每个个体被抽到的概率相等,故高三(5)班和高三(6)班被抽到的概率均为310.故a=310,b=310.
答案:310 310
(3)利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为12的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为14,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( )
A.14B.13C.415D.1243
解析：选C.根据题意,11n-1=14,解得n=45.故每个个体被抽到的概率为1245=415.
抽签法与随机数法的适用情况
(1)抽签法适用于总体中个数较少的情况;
(2)随机数法适用于总体中个数较多的情况,而且抽取样本时选取的位数要与个体编号的位数保持一致,还要剔除掉重复出现的编号.
提醒一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签法是否方便;二是号签是否易搅匀.
1.下列关于简单随机抽样的叙述不正确的是( )
A.可以放回抽取,也可以不放回抽取
B.它是一种最简单、最基本的抽样方法
C.总体中的个数必须是有限的
D.先被抽取的个体被抽到的概率要大
解析：选D.由简单随机抽样的特点可以判断A,B,C都正确,并且在抽样过程中,每个个体被抽到的概率都相等,不分先后.
2.(2023·西安模拟)用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体甲被抽到的概率为( )
A.1100B.120C.15D.不确定
解析：选B.一个总体含有100个个体,每个个体被抽到的概率相等,所以以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为5100=120.
【加练备选】
(2022·泉州模拟)从一群做游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续做游戏.过了一会儿,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为__________.
解析：设参加游戏的小孩有x人,根据随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的,可得kx=nm,解得x=kmn,即参加游戏的小孩的人数为kmn.
答案:kmn
题型二 样本平均数的计算
[典例2](1)(2020·江苏高考)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是______.
解析：由4+2a+(3-a)+5+65=4可知a=2.
答案:2
(2)已知数据x1,x2,x3,…,x200的平均数是6,数据y1,y2,y3,…,y300的平均数是20,则∑i=1200xi+∑i=1300yi500=( )
A.13B.14.4C.15D.15.4
解析：选B.由已知得∑i=1200xi+∑i=1300yi500=200×6500+300×20500=14.4.
当总体量较大时,计算总体平均数较困难.利用样本平均数估计总体平均数显得尤为重要.
提醒熟记平均数的计算公式.
某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小,得到如表数据:
估计这50个零件的直径大约为__________cm.
解析：12×12+13×34+14×450=12.84(cm).
答案:12.84
题型三 分层随机抽样
角度1 利用抽样比例求解
[典例3]为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况,现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为1 200的样本,三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3.已知高一年级共抽取了240人,则高三年级抽取的人数为__________人.
解析：由已知高一年级抽取的比例为2401 200=15,所以kk+5+3=15,得k=2,
故高三年级抽取的人数为1 200×32+5+3=360.
答案:360
[变式1]为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3 .已知高二年级共抽取了600人,则高三年级抽取的人数为__________人.
解析：设高三年级抽取的人数为x,由已知高二年级与高三年级抽取的比例为5∶3,所以53=600x,得x=360,故高三年级抽取的人数为360.
答案:360
[变式2]为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,三个年级学生人数之比依次为2∶5∶3.已知高二年级共抽取了600人,则n=__________.
解析：由已知高二年级抽取的比例为52+5+3,所以52+5+3=600n,得n=1 200.
答案:1 200
角度2 抽样方法的选择
[典例4](多选题)下列问题中,不适合用分层随机抽样法抽样的是( )
A.某会堂有32排座位,每排有40个座位,座位号是1~40,有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈
B.从10台冰箱中抽取3台进行质量检查
C.某地农田有山地8 000亩,丘陵12 000亩,平地24 000亩,洼地4 000亩,现抽取农田480亩估计该地农田平均产量
D.从50个零件中抽取5个做质量检验
解析：选ABD.选项A的总体中的个体无明显差异,且总体容量较大,故不宜采用分层随机抽样法;选项B的总体容量较小,用简单随机抽样法比较方便;选项C总体容量较大,且各类农田的产量有差别,宜采用分层随机抽样法;选项D与选项B类似,采用简单随机抽样比较方便.
1.使用分层随机抽样的前提
总体可以分层、层与层之间有明显区别,而层内个体间差异较小.
2.使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
3.分层随机抽样的比例式
样本容量总体容量=各层样本容量各层个体总数
要完成下列两项调查:
(1)某社区有100户高收入家庭,210户中等收入家庭,90户低收入家庭,从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标;
(2)从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况;
应采用的抽样方法分别是( )
A.(1)用简单随机抽样,(2)用分层随机抽样
B.(1)(2)都用简单随机抽样
C.(1)用分层随机抽样,(2)用简单随机抽样
D.(1)(2)都用分层随机抽样
解析：选C.因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响,而社区家庭收入差距明显,所以(1)用分层随机抽样;
从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况,个体之间差别不大,且总体和样本容量较小,所以(2)用简单随机抽样.
【加练备选】
现要完成下列3项抽样调查:
①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格.
②某科研院所共有480名科研人员,其中具有高级职称的有48名,具有中级职称的有360名,具有初级职称的有72名.为了解该科研院所科研人员的创新能力,拟抽取一个样本容量为20的样本.
③在中秋节前,某食品监督局从某品牌的10盒月饼中随机抽取3盒进行食品卫生检查.
较为合理的抽样方法是( )
A.①③简单随机抽样,②分层随机抽样
B.①②简单随机抽样,③分层随机抽样
C.②③简单随机抽样,①分层随机抽样
D.①简单随机抽样,②③分层随机抽样
解析：选A.①③中总体容量较少,且个体没有明显差别,适合用简单随机抽样;②中总体是由有明显差异的几部分组成的,适合用分层随机抽样.
名称
定义
总体
一个调查中调查对象的__全体__
个体
组成总体的每一个调查对象
全面调查
对__每一个__调查对象都进行调查的方法,又称普查
抽样调查
根据一定目的,从总体中抽取__一部分__个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法
样本
从总体中抽取的那部分个体
样本量
样本中包含的个体数
样本数据
调查样本获得的变量值
教材改编
结论应用
易错易混
1,5
3,4
2,6
直径(单位:cm)
12
13
14
频数
12
34
4