高考数学复习第十一章　第一节　排列与组合（导学案）

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第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第一节 排列与组合
1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
2.理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
1.计数原理
(1)完成一件事,如果有n类方案,且第1类方案中有m1种不同的方法,第2类方案中有m2种不同的方法……第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
(2)完成一件事,如果需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
2.排列与组合
点睛
(1)两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.
(2)全排列的概念:n个不同的元素全部取出的一个排列.
3.排列数、组合数的公式及性质
1.Anm=(n-m+1)Anm-1=nAn-1m-1.
2.(n+1)!-n!=n·n!.
3.kCnk=nCn-1k-1;Cnm=Cn-1m-1+Cn-2m-1+…+Cm-1m-1.
1.(教材变式)已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从集合M中选一个元素作为点的横坐标,从集合N中选一个元素作为点的纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是( )
A.12B.8C.6D.4
解析：选C.分两步:第一步,确定横坐标,有3种情况;第二步,确定纵坐标,有2种情况.因此第一、二象限内不同点的个数是3×2=6.
2.(忽视隐含条件)随着经济的发展,私家车成为居民的标配.某小区为了适应这一变化,在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位.现有3位私家车车主要使用这一备用车位.现规定3位私家车车主随机停车,任意两辆车都不相邻,则共有不同停车种数为( )
A.144B.24C.72D.60
解析：选D.由题可知7个车位停3辆车,则会产生4个空位,故可先摆好4个空车位,4个空车位之间共有5个空隙可供3辆车选择停车.
因此,任意两辆车都不相邻的停车种数共有A53=5×4×3=60.
3.(结论1)(多选题)下列结果正确的是( )
A.C72-C62=C63B.A87=8A76
C.An+1n+1-Ann=AnnD.C100=C1010
解析：选BD.由结论1,2知B正确,C错误,又C72=C61+C62,所以C72-C62=C61+C62-C62=C61,故选项A错误,又因为C100=1,C1010=1,所以选项D正确.
4.(教材提升)在平面直角坐标系xOy上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有( )
A.25个B.36个
C.100个D.225个
解析：选D.要构成矩形,从x=n(n=0,1,2,3,4,5)中选两条直线作为两边,共有C62=15种选法;
同理从y=n(n=0,1,2,3,4,5)中选两条直线作为两边也有15种选法.共有15×15=225种选法,即矩形共有225个.
题型一 两个计数原理的应用
[典例1](1)仅有甲、乙、丙三人参加四项体育比赛,所有比赛均无并列名次,则不同的夺冠情况共有________种( )
A.4×3×2×1B.43
C.34D.6
解析：选C.每项比赛的冠军都有3种可能性,因为有四项比赛,故分四步,所有冠军获得者有3×3×3×3=34.
(2)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 022是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )
A.18个B.15个
C.12个D.9个
解析：选B.四位数之和为6且四位数中含2的共有4种情况:(0,0,2,4),(0,1,2,3),(1,1,2,2),(0,2,2,2).数字为0,0,2,4且首位为2的“六合数”有2 004,2 040,2 400,共3个;同理,数字为0,1,2,3且首位为2的“六合数”有6个;数字为1,1,2,2且首位为2的“六合数”有3个;数字为0,2,2,2且首位为2的“六合数”有3个.所以共有15个.
(3)已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角.那么这样的直线的条数是__________.
解析：设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ,则tan θ=-ab>0.不妨设a>0,则bx≥2.由题意可得Cx2C8-x1A33=90,
即x(x-1)(8-x)2×6=90,得x=3,故8-x=5,即男、女学生的人数分别是3,5.
组合问题的两类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
“含”,则先将这些元素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型
解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,用间接法处理.
1.(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有( )
A.12种B.24种
C.36种D.48种
解析：选B.因为丙、丁要在一起,先把丙、丁捆绑,看作一个元素,连同乙、戊看成三个元素排列,有3!种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意到丙、丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有3!×2×2=24种不同的排列方式.
2.(2022·长沙模拟)现有5个小朋友站成一排照相,如果甲、乙两人必须相邻,而丙、丁两人不能相邻,那么不同的站法共有( )
A.12种B.16种
C.24种D.36种
【解题指南】先将甲、乙捆绑在一起,再将甲、乙与第五个小朋友排列,然后将丙、丁插入三个空,根据分步乘法计数原理,即可求解.
解析：选C.根据题意,先将甲、乙捆绑在一起,内部有A22种排列;再将甲、乙与第五个小朋友排列有A22种方法;然后将丙、丁插入三个空,有A32种方法;最后根据分步乘法计数原理,可得共有方法A22A22A32=24种.
3.(2022·黄冈模拟)4位同学坐成一排看比赛节目,随机安排一位同学去购买饮料,留下的同学继续坐下收看,若留下的同学不坐自己原来的位置(4把椅子)且考虑留下同学的随机性,则总的坐法种数为( )
A.44B.36C.28D.15
解析：选A.设4位同学分别是甲、乙、丙、丁,随机安排一位同学去购买饮料有C41种情况,不妨设选中丁去购买饮料,若甲坐丁的位置,则乙、丙有3种坐法,若甲坐乙、丙中之一的椅子,则乙、丙有4种坐法,所以总的坐法种数为C41(3+4×2)=44.
4.在象棋比赛中,参赛的任意两位选手都比赛一场,其中胜者得2分,负者得0分,平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分,132分,133分,134分,但其中只有一名学生的统计结果是正确的,则参赛选手共有( )
A.11位B.12位
C.13位D.14位
解析：选B.设参赛选手共有n位,则总比赛场次为Cn2,即n(n-1)2场,且n∈N*,n≥2,
由题意知,任意一场比赛结束,选手的总得分为2分,故所有选手总得分为n(n-1)分且为偶数,
所以当n(n-1)=132,得n=12;当n(n-1)=134,n无整数解.所以n=12.
【加练备选】
有甲、乙2位女生和4位男生共6位同学排成一排,甲同学不能站在最左边,4位男生中恰有3位相邻的排法有__________种.
解析：将4位男生中相邻的3位捆绑看作一个整体,有A43=24种排法,
若相邻的3位站在最左边,则满足题意的排法有A21A22=4种排法,
若乙站在最左边,则满足题意的排法有A22=2种排法,
若剩余的1位男生站在最左边,则满足题意的排法有A21A22=4种排法,
所以满足题意的排法数共有24×(4+2+4)=240种.
答案:240
题型三 分组分配、均分与不均分问题
[典例4](1)(2023·哈尔滨模拟)某中学招聘了8名教师,平均分配给两个校区,其中2名语文教师不能分配在同一个校区,另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区,则不同的分配方案共有( )
A.18种B.24种
C.36种D.48种
解析：选C.由题意知,第一步将2名语文老师分到两个校区,有2种方法,第二步将3名数学老师分成2组,一组1人另一组2人,有C31种分法,然后再分到两个校区,共有C31A22种方法,第三步只需将其他3人分成2组,一组1人另一组2人,由于每个校区各4人,故分组后两人所去的校区就已确定,共有C31种方法,根据分步乘法计数原理共有2C31C31A22=36种.
(2)某研究机构采访了“一带一路”沿线20国的青年,让他们用一个关键词表达对中国的印象,使用频率前12的关键词为高铁、移动支付、网购、共享单车、一带一路、无人机、大熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村.其中使用频率排前4的关键词“高铁、移动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”.若将这12个关键词平均分成3组,且各组都包含“新四大发明”关键词.则不同的分法种数为( )
A.1 680B.3 360
C.6 720D.10 080
解析：选B.先将“新四大发明”分成1,1,2三组,有C41C31C22A22=6种不同的分法,
再将余下的8个分成3,3,2三组,有C83C53C22A22=280种不同的分法,最后配成三组,所以共有6×280×2=3 360种不同的分法.
(3)(2023·成都模拟)有甲、乙、丙三项任务,甲、乙各需1人承担,丙需2人承担且至少1人是男生,现有2男2女共4名学生承担这三项任务,不同的安排方法种数是__________.(用具体数字作答)
解析：①丙选择一名男生和一名女生:C21C21A22=8.②丙选择两名男生:C22A22=2.
所以不同的安排方法种数是:10种.
答案:10
分组、分配问题是排列与组合的综合问题,解题思想是先分组后分配
(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:
①完全均匀分组,每组元素的个数都相等;
②部分均匀分组,应注意不要重复;
③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种:
①相同元素的分配问题,常用“挡板法”;
②不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配;
③有限制条件的分配问题,采用分类求解.
提醒对于部分均分问题,若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!
1.(2023·广州模拟)小张接到4项工作,要在下周一、周二、周三这3天中完成,每天至少完成1项,且周一只能完成其中1项工作,则不同的安排方式有( )
A.12种B.18种
C.24种D.36种
解析：选C.先从4项工作中选1项安排在周一完成,再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三,所以不同的安排方式有C41C32A22=24种.
2.为提高新农村的教育水平,某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动,每人只能去一个地方,每地至少派一人,则不同的选派方案共有( )
A.18种B.12种
C.72种D.36种
解析：选D.将4名教师分成3组有C42种方法,再将3个组的教师分到甲、乙、丙三地共有C42A33=6×6=36(种)方法.
3.(2023·武汉模拟)某地区安排A,B,C,D,E,F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动,每个地区至少安排一人,至多安排三人,且A,B两人安排在同一个社区,C,D两人不安排在同一个社区,则不同的分配方法总数为( )
A.72B.84C.90D.96
解析：选B.第一种分配方式为每个社区各两人,则CE一组,DF一组,或CF一组,DE一组,有2种分组方式,再三组人,三个社区进行排列,则分配方式共有2A33=12种;
第二种分配方式为一个社区1人,一个社区2人,一个社区3人,当AB两人一组去一个社区,则剩下的4人,1人为一组,3人为一组,则必有C或D为一组,有C21C33种分配方法,再三个社区,三组人,进行排列,有C21C33A33=12种分配方法;
当AB加上另一人三人去一个社区,若选择的是C或D,则有C21种选择,再将剩余3人分为两组,有C31C22种分配方法,将三个社区,三组人,进行排列,有C21C31C22A33=36种分配方法;若选择的不是C或D,即从E或F中选择1人和AB一起,有C21种分配方法,再将CD和剩余的1人共3人分为两组,有2种分配方法,将三个社区,三组人,进行排列,有2C21A33=24种分配方法,综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式.
名称
定义
排列
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
公式
Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) = n!(n-m)!
Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!
性质
0!= 1,Ann=n!
Cnm=Cnn-m,
Cn+1m= Cnm+Cnm-1
教材改编
结论应用
易错易混
1,4
3
2