还剩12页未读，
继续阅读
所属成套资源：高考数学经典好题第一轮复习（导学案）
成套系列资料，整套一键下载
高考数学复习第十一章 第三节 随机事件的概率与古典概型（导学案）
展开
这是一份高考数学复习第十一章 第三节 随机事件的概率与古典概型（导学案），共15页。
1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.
3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.
4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.
5.会用频率估计概率.
1.有限样本空间与随机事件
(1)样本点:随机试验的每个可能的基本结果.
(2)样本空间:全体样本点的集合,一般用Ω表示.
(3)有限样本空间:样本空间Ω={w1,w2,…,wn}.
(4)随机事件(事件):样本空间Ω的子集.
(5)基本事件:只包含一个样本点的事件.
2.事件的关系与运算
3.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__基本事件__的和.
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:1≥P(A)≥0.
(2)P(Ω)=1,P(∅)=0.
(3)如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
(4)如果事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
(5)如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).
(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
5.频率估计概率
在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).称频率的这个性质为频率的稳定性.可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
6.古典概型
(1)古典概型及其特点
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概型.
(2)古典概型的概率公式P(A)=kn=n(A)n(Ω).
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
1.(教材变式)下列说法错误的是( )
A.任一事件的概率总在[0,1]内
B.不可能事件的概率一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.概率是随机的,在试验前不能确定
解析：选D.任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,概率是客观存在的,是一个确定值.
2.(样本点理解错误)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为
( )
A.5B.6C.7D.8
解析：选D.因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)}.共8个.
3.(互斥、对立的理解)若干个人站成排,其中是互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：选A.排头只能有一人,因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥,而B,C,D中,甲、乙站位不一定在同一位置,可以同时发生,因此它们都不互斥.
4.(教材变式)甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体,他们分别在两个网站查看这家健身房的评价.甲在网站A查到共有840人参与评价,其中好评率为95%,乙在网站B查到共有1 260人参与评价,其中好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息,则这家健身房的总好评率为( )
A.88%B.89%C.91%D.92%
解析：选B.由已知可得这家健身房的总好评率为840×95%+1 260×85%840+1 260=89%.
5.(教材提升)有一副去掉了大小王的扑克牌(每副扑克牌有4种花色,每种花色13张牌),充分洗牌后,从中随机抽取一张,则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为
( )
A.152B.827C.413D.1752
解析：选C.依题意,样本空间包含样本点为52,事件抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16,所以抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为1652=413.
6.(列举结果有遗漏)将一枚骰子先后抛两次,则向上的点数之积为12的概率为__________.(结果用最简分数表示)
解析：由题意,将一枚骰子先后抛两次,所有可能的情况有6×6=36种,其中向上的点数之积为12的情况有2×6,3×4,4×3,6×2共4种情况,故向上的点数之积为12的概率为436=19.
答案:19
题型一 随机事件的频率与概率
[典例1](1)某班要选一名学生做代表,每个学生当选的概率是相同的,若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的13,则这个班的女生人数占全班人数的百分比是__________.
解析：设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a,因为a+13a=1,所以a=34,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%.
答案:75%
(2)(2022·重庆模拟)假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
据此估计,该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为__________.
解析：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一.它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10个,因此所求的概率为1020=12.
答案:12
(3)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
求:①至多2人排队等候的概率;
②至少3人排队等候的概率.
解析：记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.
①记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,
所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
②方法一:记“至少3人排队等候”为事件H,
则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
方法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
1.随机事件的频率与概率问题的常见类型及解题策略
(1)补全或列出频率分布表:可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率.
(2)由频率估计概率:可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率.
(3)由频率估计某部分的数值:可由频率估计概率,再由概率估算某部分的数值.
2.随机模拟试验估计概率三点注意
(1)当试验的样本点等可能时,样本点总数即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个样本点;
(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数;
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
1.(多选题)下列说法不正确的是( )
A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为35,则比赛5场,甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效的可能性为76%
解析：选ABC.概率只是说明事件发生的可能性大小,其发生具有随机性,则A,B是错的.频率受试验次数的影响,不稳定,与概率的值不一定相等,则C错误,D正确.
2.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271
932 812 458 569 683
431 257 393 027 556
488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
解析：选B.由题意知模拟三次投篮的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393,共5组随机数,所以所求概率为520=14=0.25.
3.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有5个车次正点率为0.97,有10个车次的正点率为0.98,有5个车次正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.
解析：因为总车次:5+10+5=20,
所以平均正点率:5×0.97+10×0.98+5×0.9920=0.98,
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.
答案:0.98
题型二 互斥事件、对立事件
[典例2](1)(多选题)下面结论正确的是( )
A.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B互为对立事件
B.若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与B是相互独立事件
C.若事件A与B是互斥事件,则A与B也是互斥事件
D.若事件A与B是相互独立事件,则A与B也是相互独立事件
解析：选BD.对于A选项,要使A,B为对立事件,除P(A)+P(B)=1还需满足P(AB)=0,即A,B不能同时发生,所以错误.
对于B选项,根据相互独立事件的知识可知,正确.
对于C选项,A包含于B,所以A与B不是互斥事件,所以错误.
对于D选项,根据相互独立事件的知识可知,正确.
(2)设A,B,C为三个随机事件,其中A与B是互斥事件,B与C互为对立事件,P(A)=14,P(C)=23,则P(A∪B)=__________.
解析：因为B与C互为对立事件,P(C)=23,所以P(B)=1-P(C)=13,又因为A与B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=14+13=712.
答案:712
(3)一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中不放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为715,取得两个绿球的概率为115,则取得两个同颜色的球的概率为________;至少取得一个红球的概率为__________.
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两个互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P=715+115=815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件,则至少取得一个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1-115=1415.
答案:815 1415
1.求简单的互斥事件、对立事件的概率的方法
解此类问题,首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出所给的两个事件是互斥事件还是对立事件,再选择相应的概率公式进行计算.
2.求复杂的互斥事件概率的两种方法
(1)直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.
(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法会较简便.
1.(2023·厦门模拟)若A,B是随机事件,则下列说法正确的是( )
A.P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.P(A∩B)=P(A)P(B)
C.若A,B是对立事件,则A,B互斥
D.若A,B是互斥事件,则A,B对立
解析：选C.因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),所以选项A错误;
因为当A,B互斥时,P(A∩B)=0,而P(A)P(B)不一定为0,所以选项B错误;
因为两个对立事件一定互斥,但两个互斥事件不一定对立,所以选项C正确,选项D错误.
2.某城市2022年的空气质量状况如表所示:
其中污染指数T≤50时,空气质量状况为优;50解析：从题表中可以看出,空气质量为优的概率为110,空气质量为良的概率为16+13=12.所以空气质量状况达到良或优的概率为110+12=35.
答案:35
3.某河流A与河流B是水库C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水库C就不缺水.根据经验知道河流A,B不缺水的概率分别是0.7和0.9,同时不缺水的概率是0.65.则水库C不缺水的概率为__________.
解析：记“河流A不缺水”为事件A,
记“河流B不缺水”为事件B,
记“水库C不缺水”为事件C,
则P(A)=0.7,P(B)=0.9,P(AB)=0.65,
故P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.9-0.65=0.95.
即水库C不缺水的概率为0.95.
答案:0.95
【加练备选】
若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是__________.
解析：由题意0即0<2-a<10<4a-5<13a-3≤1,解得54答案:(54,43]
题型三 古典概型
[典例3](1)在一个长度为n(n∈N*)的数字序列中,当且仅当相邻元素差的绝对值经过排序后正好是从1到(n-1),则认定该数字序列存在“有趣的跳跃”,如果一组数经过排序后存在“有趣的跳跃”,则称这组数为“有趣的跳跃数组”.例如,因为1,3,2差的绝对值分别为2,1,所以1,3,2存在“有趣的跳跃”,1,3,2这组数为“有趣的跳跃数组”.现从1,2,3,…,6这六个数中一次任取3个数,则这3个数是“有趣的跳跃数组”的概率为( )
A.15B.1120C.12D.720
【解题指南】首先求出基本事件总数,然后列出“有趣的跳跃数组”,最后利用古典概型的概率公式计算可得.
解析：选C.从6个数中任取3个共有C63=20组,这3个数是“有趣的跳跃数组”有132,243,354,465,124,235,346,134,245,356,共10组,所以概率P=1020=12.
(2)从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点,则这4个点在同一个平面的概率为__________.
解析：如图,选正方体6个侧面上的顶点,共有6种共面的情况;
过中心O的平面共有6个平面,每个平面含9个点中的5个,则共有6C54种;
所有可能情况有C94种,
所以这4个点在同一个平面的概率为6+6C54C94=36126=27.
答案:27
(3)(2023·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶,故有成语“五音不全”,中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶,排成一个两个音阶的音序,则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为( )
A.12B.710C.920D.1120
解析：选B.设从这五个音阶中任取两个音阶,排成一个两个音阶的音序,这个音序中宫和羽至少有一个为事件A,则A表示这个音序中不含宫和羽这两个音序,
所以P(A)=1-P(A)=1-A32A52=1-3×25×4=710.
1.确定基本事件数的方法
(1)列举法:适用于包含基本事件数较少的古典概型问题,解题时按照某一标准将所有的基本事件一一列举出来,做到不重不漏;
(2)列表法(坐标法):适用于从多个元素中选定2个元素的试验;
(3)树状图:适用于有顺序的问题或复杂问题中对基本事件的探求;
(4)排列组合法:适用于基本事件数较多,且可以用排列组合数表示的问题.
2.古典概型的概率求解步骤
(1)仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深对题意的理解;
(2)判断本试验的结果中,每个样本点发生是否等可能,设出事件A;
(3)分别求出事件和样本空间包含的样本点个数,代入公式求解.
1.(2022·茂名模拟)甲、乙、丙三人是某商场的安保人员,根据值班需要甲连续工作2天后休息一天,乙连续工作3天后休息一天,丙连续工作4天后休息一天,已知3月31日这一天三人均休息,则4月份三人在同一天工作的概率为( )
A.13B.25C.1130D.310
解析：选B.甲工作的日期为1,2,4,5,7,8,10,…,29.
乙工作的日期为1,2,3,5,6,7,9,10,…,30.
丙工作的日期为1,2,3,4,6,7,8,9,…,29.
在同一天工作的日期为1,2,7,11,13,14,17,19,22,23,26,29,
所以三人同一天工作的概率为P=1230=25.
2.(2023·淮安模拟)从编号分别为1,2,3,4,5的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则三个小球编号中最小号码不小于2的概率为__________.
解析：从编号分别为1,2,3,4,5的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,共有C53=10种取法,其中三个小球编号中最小号码不小于2的有C43=4种取法,由古典概型概率公式可得所求概率为410=25.
答案:25
3.(2023·泰州模拟)老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背出其中的4篇,则该同学能及格的概率是__________.
解析：由题意可知,该同学能及格,只需抽取的3篇文章里至少有2篇是会背诵的,所以抽取的3篇里面有2篇会背诵的概率为C42C21C63=35,抽取的3篇里有3篇会背诵的概率为C43C63=15,故该同学能及格的概率为35+15=45.
答案:45
【加练备选】
平面内有2n个点(n≥2)等分圆周,从2n个点中任取3个,可构成直角三角形的概率为311,连接这2n个点可构成正多边形,则此正多边形的边数为( )
A.6B.8C.12D.16
解析：选C.从2n个点中任取3个点,共有C2n3种,三个点要构成直角三角形,则有两个点为直径的端点,共有2n2=n条直径,还剩2n-2个点,
从2n-2个点中取一个点即可,则可构成直角三角形有n·C2n-21,所以可构成直角三角形的概率为n·C2n-21C2n3=311,解得n=6,所以共有2n=12个等分点,所以正多边形的边数为12.
定义
符号
包含关系
若事件A发生,则事件B一定发生
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A=B
并事件
(或和事件)
事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中
A∪B(或A+B)
交事件
(或积事件)
事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中
A∩B(或AB)
互斥
事件
如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件
A∩B=∅
互为
对立
如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=∅
P(A)+P(B)=1
教材改编
易错易混
1,4,5
2,3,6
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人
以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
污染指数T
30
60
100
概率
110
16
13
污染指数T
110
130
140
概率
730
215
130
1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合实例进行随机事件的并、交运算.
3.理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.
4.理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.
5.会用频率估计概率.
1.有限样本空间与随机事件
(1)样本点:随机试验的每个可能的基本结果.
(2)样本空间:全体样本点的集合,一般用Ω表示.
(3)有限样本空间:样本空间Ω={w1,w2,…,wn}.
(4)随机事件(事件):样本空间Ω的子集.
(5)基本事件:只包含一个样本点的事件.
2.事件的关系与运算
3.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__基本事件__的和.
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:1≥P(A)≥0.
(2)P(Ω)=1,P(∅)=0.
(3)如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
(4)如果事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
(5)如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).
(6)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
5.频率估计概率
在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).称频率的这个性质为频率的稳定性.可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
6.古典概型
(1)古典概型及其特点
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概型.
(2)古典概型的概率公式P(A)=kn=n(A)n(Ω).
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
1.(教材变式)下列说法错误的是( )
A.任一事件的概率总在[0,1]内
B.不可能事件的概率一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.概率是随机的,在试验前不能确定
解析：选D.任一事件的概率总在[0,1]内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,概率是客观存在的,是一个确定值.
2.(样本点理解错误)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为
( )
A.5B.6C.7D.8
解析：选D.因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)}.共8个.
3.(互斥、对立的理解)若干个人站成排,其中是互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
解析：选A.排头只能有一人,因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥,而B,C,D中,甲、乙站位不一定在同一位置,可以同时发生,因此它们都不互斥.
4.(教材变式)甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体,他们分别在两个网站查看这家健身房的评价.甲在网站A查到共有840人参与评价,其中好评率为95%,乙在网站B查到共有1 260人参与评价,其中好评率为85%.综合考虑这两个网站的信息,则这家健身房的总好评率为( )
A.88%B.89%C.91%D.92%
解析：选B.由已知可得这家健身房的总好评率为840×95%+1 260×85%840+1 260=89%.
5.(教材提升)有一副去掉了大小王的扑克牌(每副扑克牌有4种花色,每种花色13张牌),充分洗牌后,从中随机抽取一张,则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为
( )
A.152B.827C.413D.1752
解析：选C.依题意,样本空间包含样本点为52,事件抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16,所以抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为1652=413.
6.(列举结果有遗漏)将一枚骰子先后抛两次,则向上的点数之积为12的概率为__________.(结果用最简分数表示)
解析：由题意,将一枚骰子先后抛两次,所有可能的情况有6×6=36种,其中向上的点数之积为12的情况有2×6,3×4,4×3,6×2共4种情况,故向上的点数之积为12的概率为436=19.
答案:19
题型一 随机事件的频率与概率
[典例1](1)某班要选一名学生做代表,每个学生当选的概率是相同的,若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的13,则这个班的女生人数占全班人数的百分比是__________.
解析：设“选出代表是女生”的概率为a,则“选出代表是男生”的概率为13a,因为a+13a=1,所以a=34,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%.
答案:75%
(2)(2022·重庆模拟)假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
据此估计,该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为__________.
解析：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一.它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10个,因此所求的概率为1020=12.
答案:12
(3)经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
求:①至多2人排队等候的概率;
②至少3人排队等候的概率.
解析：记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.
①记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,
所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
②方法一:记“至少3人排队等候”为事件H,
则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
方法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
1.随机事件的频率与概率问题的常见类型及解题策略
(1)补全或列出频率分布表:可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率.
(2)由频率估计概率:可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率.
(3)由频率估计某部分的数值:可由频率估计概率,再由概率估算某部分的数值.
2.随机模拟试验估计概率三点注意
(1)当试验的样本点等可能时,样本点总数即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个样本点;
(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数;
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
1.(多选题)下列说法不正确的是( )
A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为35,则比赛5场,甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效的可能性为76%
解析：选ABC.概率只是说明事件发生的可能性大小,其发生具有随机性,则A,B是错的.频率受试验次数的影响,不稳定,与概率的值不一定相等,则C错误,D正确.
2.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271
932 812 458 569 683
431 257 393 027 556
488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
解析：选B.由题意知模拟三次投篮的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393,共5组随机数,所以所求概率为520=14=0.25.
3.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有5个车次正点率为0.97,有10个车次的正点率为0.98,有5个车次正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.
解析：因为总车次:5+10+5=20,
所以平均正点率:5×0.97+10×0.98+5×0.9920=0.98,
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.
答案:0.98
题型二 互斥事件、对立事件
[典例2](1)(多选题)下面结论正确的是( )
A.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B互为对立事件
B.若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与B是相互独立事件
C.若事件A与B是互斥事件,则A与B也是互斥事件
D.若事件A与B是相互独立事件,则A与B也是相互独立事件
解析：选BD.对于A选项,要使A,B为对立事件,除P(A)+P(B)=1还需满足P(AB)=0,即A,B不能同时发生,所以错误.
对于B选项,根据相互独立事件的知识可知,正确.
对于C选项,A包含于B,所以A与B不是互斥事件,所以错误.
对于D选项,根据相互独立事件的知识可知,正确.
(2)设A,B,C为三个随机事件,其中A与B是互斥事件,B与C互为对立事件,P(A)=14,P(C)=23,则P(A∪B)=__________.
解析：因为B与C互为对立事件,P(C)=23,所以P(B)=1-P(C)=13,又因为A与B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=14+13=712.
答案:712
(3)一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中不放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为715,取得两个绿球的概率为115,则取得两个同颜色的球的概率为________;至少取得一个红球的概率为__________.
解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两个互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色球的概率为P=715+115=815.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件,则至少取得一个红球的概率为P(A)=1-P(B)=1-115=1415.
答案:815 1415
1.求简单的互斥事件、对立事件的概率的方法
解此类问题,首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出所给的两个事件是互斥事件还是对立事件,再选择相应的概率公式进行计算.
2.求复杂的互斥事件概率的两种方法
(1)直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.
(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法会较简便.
1.(2023·厦门模拟)若A,B是随机事件,则下列说法正确的是( )
A.P(A∪B)=P(A)+P(B)
B.P(A∩B)=P(A)P(B)
C.若A,B是对立事件,则A,B互斥
D.若A,B是互斥事件,则A,B对立
解析：选C.因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),所以选项A错误;
因为当A,B互斥时,P(A∩B)=0,而P(A)P(B)不一定为0,所以选项B错误;
因为两个对立事件一定互斥,但两个互斥事件不一定对立,所以选项C正确,选项D错误.
2.某城市2022年的空气质量状况如表所示:
其中污染指数T≤50时,空气质量状况为优;50
答案:35
3.某河流A与河流B是水库C的主要水源,只要河流A,B之一不缺水,水库C就不缺水.根据经验知道河流A,B不缺水的概率分别是0.7和0.9,同时不缺水的概率是0.65.则水库C不缺水的概率为__________.
解析：记“河流A不缺水”为事件A,
记“河流B不缺水”为事件B,
记“水库C不缺水”为事件C,
则P(A)=0.7,P(B)=0.9,P(AB)=0.65,
故P(C)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.9-0.65=0.95.
即水库C不缺水的概率为0.95.
答案:0.95
【加练备选】
若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是__________.
解析：由题意0
题型三 古典概型
[典例3](1)在一个长度为n(n∈N*)的数字序列中,当且仅当相邻元素差的绝对值经过排序后正好是从1到(n-1),则认定该数字序列存在“有趣的跳跃”,如果一组数经过排序后存在“有趣的跳跃”,则称这组数为“有趣的跳跃数组”.例如,因为1,3,2差的绝对值分别为2,1,所以1,3,2存在“有趣的跳跃”,1,3,2这组数为“有趣的跳跃数组”.现从1,2,3,…,6这六个数中一次任取3个数,则这3个数是“有趣的跳跃数组”的概率为( )
A.15B.1120C.12D.720
【解题指南】首先求出基本事件总数,然后列出“有趣的跳跃数组”,最后利用古典概型的概率公式计算可得.
解析：选C.从6个数中任取3个共有C63=20组,这3个数是“有趣的跳跃数组”有132,243,354,465,124,235,346,134,245,356,共10组,所以概率P=1020=12.
(2)从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点,则这4个点在同一个平面的概率为__________.
解析：如图,选正方体6个侧面上的顶点,共有6种共面的情况;
过中心O的平面共有6个平面,每个平面含9个点中的5个,则共有6C54种;
所有可能情况有C94种,
所以这4个点在同一个平面的概率为6+6C54C94=36126=27.
答案:27
(3)(2023·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶,故有成语“五音不全”,中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶,排成一个两个音阶的音序,则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为( )
A.12B.710C.920D.1120
解析：选B.设从这五个音阶中任取两个音阶,排成一个两个音阶的音序,这个音序中宫和羽至少有一个为事件A,则A表示这个音序中不含宫和羽这两个音序,
所以P(A)=1-P(A)=1-A32A52=1-3×25×4=710.
1.确定基本事件数的方法
(1)列举法:适用于包含基本事件数较少的古典概型问题,解题时按照某一标准将所有的基本事件一一列举出来,做到不重不漏;
(2)列表法(坐标法):适用于从多个元素中选定2个元素的试验;
(3)树状图:适用于有顺序的问题或复杂问题中对基本事件的探求;
(4)排列组合法:适用于基本事件数较多,且可以用排列组合数表示的问题.
2.古典概型的概率求解步骤
(1)仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深对题意的理解;
(2)判断本试验的结果中,每个样本点发生是否等可能,设出事件A;
(3)分别求出事件和样本空间包含的样本点个数,代入公式求解.
1.(2022·茂名模拟)甲、乙、丙三人是某商场的安保人员,根据值班需要甲连续工作2天后休息一天,乙连续工作3天后休息一天,丙连续工作4天后休息一天,已知3月31日这一天三人均休息,则4月份三人在同一天工作的概率为( )
A.13B.25C.1130D.310
解析：选B.甲工作的日期为1,2,4,5,7,8,10,…,29.
乙工作的日期为1,2,3,5,6,7,9,10,…,30.
丙工作的日期为1,2,3,4,6,7,8,9,…,29.
在同一天工作的日期为1,2,7,11,13,14,17,19,22,23,26,29,
所以三人同一天工作的概率为P=1230=25.
2.(2023·淮安模拟)从编号分别为1,2,3,4,5的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则三个小球编号中最小号码不小于2的概率为__________.
解析：从编号分别为1,2,3,4,5的五个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,共有C53=10种取法,其中三个小球编号中最小号码不小于2的有C43=4种取法,由古典概型概率公式可得所求概率为410=25.
答案:25
3.(2023·泰州模拟)老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背出其中的4篇,则该同学能及格的概率是__________.
解析：由题意可知,该同学能及格,只需抽取的3篇文章里至少有2篇是会背诵的,所以抽取的3篇里面有2篇会背诵的概率为C42C21C63=35,抽取的3篇里有3篇会背诵的概率为C43C63=15,故该同学能及格的概率为35+15=45.
答案:45
【加练备选】
平面内有2n个点(n≥2)等分圆周,从2n个点中任取3个,可构成直角三角形的概率为311,连接这2n个点可构成正多边形,则此正多边形的边数为( )
A.6B.8C.12D.16
解析：选C.从2n个点中任取3个点,共有C2n3种,三个点要构成直角三角形,则有两个点为直径的端点,共有2n2=n条直径,还剩2n-2个点,
从2n-2个点中取一个点即可,则可构成直角三角形有n·C2n-21,所以可构成直角三角形的概率为n·C2n-21C2n3=311,解得n=6,所以共有2n=12个等分点,所以正多边形的边数为12.
定义
符号
包含关系
若事件A发生,则事件B一定发生
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A=B
并事件
(或和事件)
事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中
A∪B(或A+B)
交事件
(或积事件)
事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中
A∩B(或AB)
互斥
事件
如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件
A∩B=∅
互为
对立
如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=∅
P(A)+P(B)=1
教材改编
易错易混
1,4,5
2,3,6
93
28
12
45
85
69
68
34
31
25
73
93
02
75
56
48
87
30
11
35
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人
以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
污染指数T
30
60
100
概率
110
16
13
污染指数T
110
130
140
概率
730
215
130
相关学案
高考数学复习第七章 第三节 等比数列（导学案）： 这是一份高考数学复习第七章 第三节 等比数列（导学案），共15页。学案主要包含了课程标准，必备知识·精归纳，基础小题·固根基，方法提炼，对点训练，一题多变，备选例题，备选题型等内容，欢迎下载使用。
【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——32 随机事件的概率、古典概型 （原卷版 解析版）： 这是一份【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——32 随机事件的概率、古典概型 （原卷版 解析版），文件包含备考2023高考数学重难点专题特训学案全国通用32随机事件的概率古典概型解析版docx、备考2023高考数学重难点专题特训学案全国通用32随机事件的概率古典概型原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共13页， 欢迎下载使用。
(新高考)高考数学一轮复习学案10.4《随机事件的概率与古典概型》(含详解)： 这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案10.4《随机事件的概率与古典概型》(含详解)，共17页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。
