2024年内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区中考二模数学试题

这是一份2024年内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区中考二模数学试题，共27页。试卷主要包含了本试卷满分120分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题纸的规定位置．
2．考生要将答案写在答题纸上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，本试卷和答题纸一并交回．
3．本试卷满分120分．考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1. 如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ）
A. 1.5B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上的点表示数的方法得到点M表示的数大于-3且小于-2，然后分别进行判断即可．
【详解】解：∵点M表示的数大于-3且小于-2．
∴A、B、D三选项错误，C选项正确．
故选C．
【点睛】本题考查了数轴：数轴有三要素，原点左边的点表示负数，右边的点表示正数．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式，合并同类项，二次根式的性质，比例的计算，解答即可．
本题考查了完全平方公式，合并同类项，二次根式的性质，比例的计算，熟练掌握公式和性质是解题的关键．
【详解】A. ，错误，不符合题意； 试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。B ，错误，不符合题意；
C. 不是同类项，无法计算，错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意，
故选Ｄ．
3. 如图，直线l//m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°
【答案】A
【解析】
【详解】如图，过点B作BD//l，
∵直线l//m，
∴BD//l//m．
∵∠1=25°，
∴∠4=∠1=25°．
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°．
∴∠2=∠3=20°．
故选A．
4. 不透明袋中装有除颜色外完全相同的个白球、个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【详解】共有个球，其中红球b个
从中任意摸出一球，摸出红球的概率是．
故选A ．
【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．
5. 如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
【详解】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键．
6. 在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是，，，，这4人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查方差的知识，解答本题需掌握方差的意义； 根据题意得到甲、乙两人成绩的方差分别为：，，，； 然后再结合方差的意义并比较方差即可得到结论．
【详解】∵，，，
∴，
根据方差越小，越稳定，
故选乙，
故选B．
7. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
【详解】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．原图是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项合题意；
C．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．原图既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
8. 若，且有，及，则值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是．
【详解】解：根据，方程除以得，
故是方程的两个根，
根据根与系数关系定理，得，
故是．
故选：A．
9. 如图，已知菱形的边长为2，，E为AB的中点，F为CE的中点，与相交于点G，则的长等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，证明是等边三角形，取的中点M，连接，利用勾股定理，等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，解得即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】连接，
∵菱形的边长为2，，E为AB的中点，F为CE的中点，
∴是等边三角形，，，
∴，，，
取的中点M，连接，
则，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
10. 关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，结合，判定两点是对称点，故对应函数值相等，判定①正确；根据二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，当时，；当时，；当时，
，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；可以判断②正确；根据抛物线与x轴交于不同两点，，设的对称点为，根据题意，，结合，得，结合，得，从而判定成立，判定③正确，解答即可．
本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数与方程的关系，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为直线：，
∵，
∴两点是对称点，故对应函数值相等，
∴①正确；
∵二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，当时，；当时，；
当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个，
∴，
∴；
当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个，
∴，
∴；
∴②正确；
∵抛物线与x轴交于不同两点，，设的对称点为，根据题意，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴成立，
∴③正确，
故选D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：__________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解．观察原式，找到公因式，提出公因式后发现是完全平方式，利用完全平方公式继续分解可得．
【详解】解：
．
故答案为：．
12. 不等式组的所有整数解的和为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解求和即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键．
【详解】∵
∴解不等式①，得，解不等式,②，得，
∴不等式组的解集为，
故其整数解有，且，
故答案为：．
13. 如图，现有圆心角为的一个扇形纸片，该扇形的半径为．小红同学为了在“圣诞”节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度；圆锥的侧面积是__________．
【答案】 ①. ##18度 ②.
【解析】
【分析】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，根据题意，得，解得；根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，根据扇形面积公式，得，解答即可．
本题考查了扇形弧长，面积计算，圆锥侧展与扇形的关系，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】设被剪去扇形的圆心角为，则留下扇形的圆心角为，
根据题意，得，
解得；
根据圆锥的侧面积就是留下扇形的面积，
得，
故答案为：，．
14. 已知一次函数（a、b为常数），x与y的部分对应值如下表：
那么方程的解是________，不等式的解集是_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：方程的解是时函数的x的值．根据图表格中的数据即可得出此方程的解．
【详解】解：根据表格可得：当时，；当时，；
因而方程的解是；不等式的解集是；
故答案为：；．
15. 如图，已知，，．是的中点，与，分别相切于点D与点E．点F是与的一个交点，连并延长交的延长线于点G．则_______，_______．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】连接，根据与，分别相切于点D与点E．得到，结合，得到继而得到，结合得到，利用中位线定理，得到，连接，同理可证，，于是得到，根据圆的半径相等，得到，继而得到，，根据，得到，继而得到，得到，利用解答即可．
本题考查了切线性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握切线性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】连接，
∵与，分别相切于点D与点E．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵O 是 的中点，即
∴，
∴，
连接，同理可证，，
∴，
根据圆的半径相等，得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
16. 如图，在边长为的正方形中，E是边上一点，G是延长线上一点，，连接，交于点H，交于点F，连接，．若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，证明，过点Ｈ作，垂足分别为M，N，再证明，利用三角函数解答即可．
本题考查了正方形性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵在边长为的正方形中，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作，垂足分别为M，N，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形正方形，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．）
17. 计算求解：
（1）；
（2）解方程组：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，分母有理化计算即可．
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
，
整理，得即
故，
得，
解得；
把代入得，
故方程组的解为．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，分母有理化，解方程组，熟练掌握公式和解方程的基本方法是解题的关键．
18. 如图，在中，对角线，，，O为的中点，E为边上一点，直线交于点F，连结，．求证：

（1）；
（2）当取何值时，四边形为矩形．
【答案】（1）见解析 （2），四边形为矩形
【解析】
【分析】（1）根据得到，继而得到，证明；
（2）根据，，，结合四边形为矩形，
得到，继而得到，列比例式计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的性质，熟练掌握三角形全等的判定和相似的判定是解题的关键．
【小问1详解】
∵，O为的中点，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
【小问2详解】
∵，，，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得
故当时，四边形为矩形．
19. 如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是，然后，她沿着坡度是（即）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡的长度．（参考数据：，结果精确到米）

【答案】米．
【解析】
【分析】根据速度乘以时间得出的长度，通过坡度得到，作辅助线，通过平角减去其他角从而得到即可求出的长度．
本题考查了仰角，俯角，坡比的应用，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：作，
根据题意，米，
∵，
∴，
∵，
∴米，
∵，
∴
∴米，
答：的长度为米．
20. 某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）其中，八年级20名学生的成绩是：96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94．
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，92，92，93，94．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：_____，____，____；
（2）若该校九年级共1400人参加了此次航天科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的九年级学生人数．
（3）为了激发学生对航天科技的兴趣，学校决定派一个年级去内蒙古展览馆参观航天成果展，特为八年级和九年级的学生设计了一个转盘游戏，各年级分别派一名代表摸奖，获胜年级参观展览．具体规则如下：其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给八年级，否则票给九年级（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．
【答案】（1）：40；96，
（2）980人 （3）游戏公平，见解析
【解析】
【分析】（1）根据频数=样本容量×所占百分数，计算A，B的频数，后求得D的频数，再根据众数，中位数的定义计算解答．
（2）利用样本估计总体的思想计算即可．
（3）利用画树状图计算即可．本题考查了中位数，众数、样本估计，扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．
【小问1详解】
A的频数为： (人)，B的频数为： (人)，
C的频数为：6 (人)，
∴D的频数为（人），
∴，
故a为40；
96，80，96，91，99，96，90，100，89，82，85，96，87，96，84，81，90，82，86，94，出现次数最多是数据是96，
故b为96；
根据中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，即，
故答案为：40；96，．
【小问2详解】
根据题意，得：(人) ．
【小问3详解】
公平，
根据题意，画树状图如下：
一共有12种等可能性，恰好是偶数可能性有6种，
∴八年级获胜的概率是，九年级获胜的概率是．
概率相等，
故游戏公平．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
（1）分别求出和的值；
（2）结合图象直接写出的解集；
（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】（1），；（2）或； （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用三角形面积公式求得，得到，将A代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B代入解析式，即可解答
（2）根据函数图象结合解析式即可判断
（3）作点关于轴的对称点，直线与轴交于，得到 ，设直线的关系式为，把将 ，代入得到解析式，即可解答
【详解】（1）∵点，
∴，
∵，即，
∴，
∵点在第二象限，
∴ ，
将代入得：，
∴反比例函数的关系式为：，
把代入得：，
∴
因此，；
（2）由图象可以看出的解集为：或；
（3）如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于，
此时最大，
∵
∴
设直线的关系式为，将 ，代入得：
解得：，，
∴直线的关系式为，
当时，即，解得，
∴
【点睛】此题考查一次函数与反比例函数，解题关键在于把已知点代入解析式
22. 春节期间，根据习俗每家每户都会在门口挂灯笼和对联，某商店看准了商机，购进了一批红灯笼和对联进行销售，已知每幅对联的进价比每个红灯笼的进价少10元，且用480元购进对联的幅数是用同样金额购进红灯笼个数的6倍．
（1）求每幅对联和每个红灯笼的进价分别是多少？
（2）由于销售火爆，第一批销售完了以后，该商店用相同的价格再购进300副对联和200个红灯笼，已知对联售价为6元一幅，红灯笼售价为24元一个，销售一段时间后，对联卖出了总数的，红灯笼售出了总数的，为了清仓，该店老板对剩下的对联和红灯笼以相同的折扣数进行打折销售，并很快全部售出，求商店最低打几折可以使得这批货的总利润率不低于90%？
【答案】（1）每幅对联的进价为2元，每个红灯笼的进价为12元；（2）商店最低打5折可以使得这批货的总利润率不低于90%．
【解析】
【分析】（1）设每幅对联的进价为x元，则每个红灯笼的进价为（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合用480元购进对联的幅数是用同样金额购进红灯笼个数的6倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设剩下的对联和红灯笼打y折销售，根据总利润＝销售收入﹣成本结合总利润率不低于90%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】（1）设每幅对联的进价为x元，则每个红灯笼的进价为（x+10）元，
依题意，得：＝6×，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+10＝12．
答：每幅对联的进价为2元，每个红灯笼的进价为12元．
（2）设剩下的对联和红灯笼打y折销售，
依题意，得：300××6+200××24+300×（1﹣）×6×+200×（1﹣）×24×﹣300×2﹣200×12≥（300×2+200×12）×90%，
解得：y≥5．
答：商店最低打5折可以使得这批货的总利润率不低于90%．
【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23. 如图，在中，，点D是边中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求⊙的半径及的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）作，垂足为H，连接，先证明是的平分线，然后由切线的判定定理进行证明，即可得到结论成立；
（2）设，由勾股定理可求，设的半径为r，然后证明，结合勾股定理即可求出答案．
【小问1详解】
证明：如图，作，垂足为H，连接，
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴∠BDC=2∠FAC，
∴，即是的平分线，
∵O在上，与相切于点E，
∴，且是的半径，
∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，
∴是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：如（1）图，∵在中，，
∴可设，
∴，
则，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
∴，即，则，
在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，
由勾股定理得，又，
∴，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了三角函数，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明．
24. 如图1，点A的坐标为（4，0），抛物线过点A，点B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点C为直线下方的抛物线上一动点，过点C作交直线于点D，设点C的横坐标为h，当取最大值时，求h的值；
（3）如图2，点，连接，将抛物线的图象向上平移m个单位得到抛物线，当时，若抛物线与直线有两个交点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设交轴于点，由，先求出点的坐标，再求的解析式，把点的解析式代入求出点的坐标，最后把点、的坐标代入抛物线解析式求解；
（2）由点，轴，得点的纵坐标为，把点纵坐标代入直线解析式求出点的横坐标，用参数表示出的长，再配方求最大值．
（3）设平移后的抛物线解析式为，求出直线上横坐标为和的两点和点的坐标，当平移后的抛物线过点时有两个公共点，求出的最小值，当平移后的抛物线与直线有唯一公共点时，求出的值，从而求出的取值范围．
【小问1详解】
解：设交轴于点，
∵点坐标为，
∴
∵
∴，
∴
∴点的坐标为
设的解析式为，
∴
解得
∴的解析式为，
∵点的纵坐标为，
∴把代入得
∴点的坐标为
∵过点、
∴
解之得
∴抛物线的表达式为．
【小问2详解】
∵点C在抛物线上，点C的横坐标为h
∴
∵轴，
∴点的纵坐标为
把代入
得
∴点
∴
∵点C为直线下方的抛物线上一动点
∴
∴当时，的最大值为．
【小问3详解】
设的解析式为
∵直线过点、
∴
解之得
∴直线的解析式为
当时，，直线对应点为，
当时，，直线对应点为．
设抛物线的图象向上平移m（m>1）个单位得到抛物线为
当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个公共点，
当抛物线经过点时，有抛物线与线段两个公共点．如图
当抛物线与直线有唯一的公共点时
解之得
∴当时，若抛物线与直线AE有两个交点， m的取值范围为．
【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是掌握二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，数形结合，通过构建方程组，利用根的判别式解决问题．x
0
1
2
3
y
6
4
2
0
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90
b
38.7
九年级
90
c
100
38.1