2024年四川省广元市旺苍县中考三模数学试题

这是一份2024年四川省广元市旺苍县中考三模数学试题，共28页。
3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔答题．
第Ⅰ卷 选择题 （共30分）
一、单选题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）
1. 在、、、这四个数中，最小的数是（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【详解】解：，
最小的数是，
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘除法，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方逐一判断即可．
【详解】解：A、，正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。D、，原式计算错误，不符合题意．
故选：A．
3. 某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表：
则关于这20名学生本学期的用笔数量，下列说法错误的是( ) ．
A. 中位数是6支B. 平均数是6支C. 众数是6支D. 方差是5
【答案】D
【解析】
【详解】A.把这组数据从小到大排列,最中间的数是地10和11个数的平均数,则中位数是(6+6)÷2=6，故本选项正确;B. 平均数是(4×4+5×4+6×7+8×3+9×2)÷20=6(支)，故本选项错误；C. 6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6支，故本选项错误；方差是:[4(4−6)²+4(5−6)²+7(6−6)²+3(8−6)²+2(9−6)²]=2.5，故本选项错误；
故选D.
4. 下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方体、长方体、三棱柱及四棱锥的展开图依次进行判断即可．
【详解】A、6个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图；
B、6个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图；
C、三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图；
D、一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥的展开图；故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】题目主要考查常见几何体的平面展开图，熟练掌握各种几何体的展开图是解题关键．
5. 某工队抢修一段240米的铁路，施工队实际每天比原计划多修6米，结果提前4天结束了维修工作，则原计划每天修多少米？设原计划每天修x米，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间-实际所用的时间=4．
【详解】解：设原计划每天修x米，原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．
所列方程为：．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
6. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A. x1+x2＞0B. x1•x2＜0C. x1≠x2D. 方程必有一正根
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1＋x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意．
【详解】解：A、根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意；
B、根据根与系数的关系可得出x1x2＝−m2≤0，结论B不一定正确，符合题意；
C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意；
D、由x1•x2＝−m2≤0，结合两根之和大于0可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7. 已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）

A. CP∥OBB. CP＝2QCC. ∠AOP＝∠BOPD. CD⊥OP
【答案】A
【解析】
【分析】由作图知OC＝OD，CD＝CP＝DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．
【详解】由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，
故C正确，不符合题意；
由作图（1）（2）可知：OC＝OD，CP＝DP，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CD⊥OP，
故D正确，不符合题意；
由作图（2）可知：CD＝CP＝PD，
∴△CDP是等边三角形，
∵CD⊥OP，
∴CP＝2CQ，
故B正确，不符合题意；
∵∠AOP＝∠BOP，
当OC＝CP时，∠AOP＝∠CPO，
∴∠CPO＝∠BOP，
∴CP∥OB，
故A错误，符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图，属于中考常考题型．
8. 如图，为的直径，C为半圆的中点，D为上的一点，且两点分别在的异侧，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平分弧即平分弧所对的圆心角即可得出∠AOC，再根据同弧所对圆周角是圆心角的一半即可得出∠ADC．
【详解】解：连接OC，
∵AB为直径，C为半圆的中点，
∴,
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，圆周角定理．理解同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题关键．
9. 如图，点C、D是以为直径的半圆的三等分点．的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，交于点E，根据点C、D是以为直径的半圆的三等分点，以及半径相等可证得是等边三角形，再证明，可得，即图中阴影部分的面积为扇形的面积，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】连接，交于点E，
∵点C、D是以为直径的半圆的三等分点，
，
，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
∴图中阴影部分的面积为扇形的面积，
∵的长为，
∴的周长为，
半径为2，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握以以上知识点是解题的关键．
10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③； ④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与抛物线的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据抛物线的开口放下，与轴的交点以及对称轴，即可判断①结论；根据二次函数与轴的交点情况，即可判断②结论；利用对称轴可得，再根据时，，即可判断③结论；利用时，的值最大，即可判断④结论；根据抛物线的轴对称性，即可判断⑤结论．
【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴，且对称轴在轴右侧，
，，、异号，
，
，①结论错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
，②结论错误；
对称轴为直线，
，
，
由图象可知，当时，，
则，即，
，③结论正确；
当时，的值最大，
当时，，
，
，④结论正确；
方程有四个根，
方程有两个根，方程有两个根，
由抛物线的轴对称性可知，关于对称轴对称的两个根的和为2，
这四个根的和为4，⑤结论错误；
故选：B
第II卷 非选择题 （共120分）
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上,每小题4分，共24分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 据教育部预测，到年我国中学毕业人数将达到人，用科学记数法表示为_____人．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，得到的点数与2，4作为三角形三边的长，能构成等腰三角形的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，投掷这个骰子一次有6种结果，利用构成三角形的条件，其中能与2、4构成等腰三角形的只有一种情况，根据概率公式计算可得．
【详解】解：骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6，
其中能与2、4构成等腰三角形的只有4，
∴能构成等腰三角形的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，事件A发生的概率为且0≤P（A）≤1．
14. 如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】作M、N两点，连接CM，DN，根据题意可得CM∥AB，从而 可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的 逆定理证明是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图所示，作M、N点，连接CM、DN，
由题意得：CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，
由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴∠APD的正切值为：3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于 A、B两点上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，在反比例函数第三象限的图象上存在一点P，使点P到直线的距离最短，则点P的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次根式的运算，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据反比例函数确定点A、B坐标，利用待定系数法求出次函数解析式，过点点P作直线，当直线与反比例函数只有一个交点时，点P到直线的距离最短，联立求解将问题转化为一元二次方程，利用判别式，构建方程求解即可．
【详解】解：反比例函数过点A、B，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
，，
一次函数过点A、B，
，
解得，
一次函数解析式为，
过点P作直线，
当直线与反比例函数只有一个交点时，点P到直线的距离最短，设直线的解析式为，
点P为直线与反比例函数的交点，
，即，
，
即，解得（不合题意，舍去）或，
，解得，
当时，，
点P的坐标为．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝2，D是AB边上的动点，连接CD，将△BCD绕点C沿顺时针旋转至△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值＝_____．

【答案】．
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质求出AB的长、的度数，再根据旋转的性质，设，然后根据三角形的面积公式求出面积的表达式，最后利用二次函数的性质即可得出答案．
【详解】过点C作于点H
设，则
由旋转的性质得
作于点F
在中，
由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、旋转的性质、二次函数的性质等知识点，利用旋转的性质和直角三角形的性质求出EF的长是解题关键．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：原式
=
18. 先化简，再求值： ；其中x是方程根．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先将分式除法化为乘法，再约分化简，然后利用因式分解法解一元二次方程，确定的值，再代入计算即可．
【详解】解：

，
，
或，
，
，
原式．
19. 在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）20
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，
（1）利用矩形的性质得到，结合已知证明平行四边形，再利用即可证明菱形；
（2）根据矩形和菱形的性质求出，再利用面积公式计算；
解题的关键是掌握菱形的判定方法，灵活运用菱形的性质．
【小问1详解】
∵平行四边形矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
∵平行四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的面积为．
20. 某校为了加强同学们的安全意识，随机抽取部分同学进行了一次安全知识测试，按照测试成绩分为优秀、良好、合格和不合格四个等级，绘制了如下不完整的统计图．
（1）参加测试的学生人数为 ，并将条形统计图补充完整．
（2）该校有名学生，请估计全校安全意识较强测试成绩能达到良好以上等级的学生有 人；
（3）成绩为优秀的甲、乙两位同学被选中与其他学生一起参加安全宣讲活动，该活动随机分为，，三组求甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
【答案】（1）人，见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比可得抽查的人数，用抽取的总人数减去其他三厢的人数即为合格人数，再补全统计图即可；
（2）良好以上占比是，再利用样本代表总体的方法得出答案；
（3）直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率．
【小问1详解】
抽取的学生数：人；
合格的人数为：人，

故答案为：人；
【小问2详解】
良好以上占比是，
所以全校安全意识较强测试成绩能达到良好以上等级的学生人数约：人，
故答案为：人；
【小问3详解】
如图：

可得一共有种可能，甲、乙两人恰好分在同一组有种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率为．
【点睛】本题主要考查了树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图的应用，由图形获取正确信息是解题关键．
21. 如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度（结果保留根号）；
（2）求的长度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）无人机的高度AC=；（2）AB的长度为243m．
【解析】
【分析】（1）在Rt△CDA中，利用正切函数即可求解；
（2）先证明四边形ABFC为矩形，在Rt△BFE中，求得EFm，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：CD=8(m)，
在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，
∴，
∴AC=120(m)，
答：无人机的高度AC=；
（2）根据题意得：DE=8(m)，
则CE= DE+CD=520(m)，
过点B作BF⊥CE于点F，
则四边形ABFC为矩形，
∴AB=FC，BF=AC=，
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°，
∴，
∴EF=(m)，
∴AB=FC=CE-EF=520-276.8243(m)，
答：AB的长度为243m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
22. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，且与轴和轴分别交于点C、点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）点P在y轴上，且，请求出点P的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，函数与不等式，一次函数与几何的综合．
（1）把点代入反比例函数，求解m值，即可得到反比例函数解析式；把，两点代入一次函数，得到关于a，b的方程，求解即可得到一次函数解析式；
（2）根据求不等式的解集，即求当反比例函数图象在一次函数图象的下方时，x的取值范围，结合图象和题意即可求解；
（3）由一次函数解析式可求出C点坐标，从而由，可求出的值，进而得出的值．再根据P在y轴上，结合三角形面积公式，即可求出的长，即得出P点坐标．
【小问1详解】
将代入，得，
∴反比例函数为，
将，代入，得
，解得．
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
∵当反比例函数的图象在一次函数图象的下方时，成立，
由图象可知当时，函数的图象在函数图象的下方，
∴不等式的解集是；
【小问3详解】
在中，当时，，
∴．
∴
∴，
∵P在y轴上，
∴，即
∴．
∴或．
23. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，已知2盆盆景与1盆花卉的利润共300元，1盆盆景与3盆花卉的利润共200元．
（1）求1盆盆景和1盆花卉的利润各为多少元？
（2）调研发现：盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后利润分别为W1，W2（单位：元）．
①求W1，W2关于x的函数关系式；
②当x取何值时，第二期培植盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少元？
【答案】（1）140元，20元
（2）①W1＝﹣6x2+40x+7000；W2＝﹣20x+1000
②5，8050
【解析】
【分析】（1）设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，由题意得二元一次方程组，求解即可；
（2）①由（1）知1盆盆景的利润为140元，（140﹣2x）为盆景增加x盆后每盆的利润，第二期有盆景（50+x）盆，两者相乘即为W1，由（1）知1盆花卉的利润为20元，第二期花卉有（50﹣x）盆，两者相乘即为W2；
②由W＝W1+W2得出关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设1盆盆景和1盆花卉的利润分别为x元和y元，由题意得：
，
解得：，
答：1盆盆景的利润为140元，1盆花卉的利润为20元；
【小问2详解】
解：由题意可知，第二期有盆景（50+x）盆．
由题意得：
①W1＝（140﹣2x）（50+x）＝﹣6x2+40x+7000；
W2＝20（50﹣x）＝﹣20x+1000；
②W＝W3+W2
＝﹣2x4+40x+7000+（﹣20x+1000）
＝﹣2x2+20x+8000
＝﹣2（x﹣5）2+8050，
∵a＝﹣4＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝5时，W取得最大值，Wmax＝8050，
∴当x＝5时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，一次函数与二次函数的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24. 如图，已知是的直径，交于点D，E是的中点，与交于点E，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，与圆有关的计算，涉及圆切线的证明，锐角三角函数等知识点，本题正确作出辅助线，熟练掌握好圆切线的判定与性质以及能熟练解直角三角形是解题的关键．
（1）连接，通过E是弧的中点，求证即可求证是的切线；
（2）利用，求出的长，再通过求证∠即可推出，再利用勾股定理即可计算出的长．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵是圆的直径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：在中，，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
25. 综合与实践
问题情境
在综合实践活动课上，老师以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形纸片中，M是的中点，E是边上任意一点，将沿折叠，点A落到点F处，连接并延长，交所在直线于点G．
分析探究
（1）如图1，当所在直线经过点M时，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
解决问题
（2）如图2，连接，当点E与边的中点M重合时，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在矩形的对角线上，判断与的数量关系，并说明理由．
（3）图2中，若，直接写出和的长．
【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3），．
【解析】
【分析】(1)根据矩形的性质证明，再证明，根据边相等逐步推出；
(2)根据矩形的性质和折叠的性质证明，再根据HL证明，得到FG=DG，推出；
(3)根据勾股定理求出BC和CF的长度，过点F作BC的垂线FH，先证明∽，再根据相似求对应边的长度．
【详解】解：（1）
理由如下：∵ 四边形是矩形，
．
．
是边的中点，
．
又，
．
．
，
．
．
（2），
理由如下：如答图，连接，
∵四边形是矩形，
．
．
由折叠可知，
．
，
，
，
又，
，
．
．
．
是边的中点，
．
．
又，
，
．
（3）∵AB=4，
∴ BF=AB=4，
∴，
过点F作BC的垂线FH，如图，
∵ ，
∴ ∽
∴
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定定理、勾股定理、相似三角形，掌握相关的性质和定理是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
（3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
【答案】（1）
（2）
（3）面积的最大值为2
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可；
（3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：把代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
【小问3详解】
解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合．用笔数（支）
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