高考数学复习核心专题突破(二)　微专题4　高考中的解三角形问题（导学案）

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核心专题突破(二)
微专题4 高考中的解三角形问题
【题型一】边、角、周长和面积的计算问题
[典例1](2023·十堰模拟)已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A(ccs B+bcs C)-csin B=csin C+bsin B,
(1)求角A;
(2)若AD平分∠BAC交线段BC于点D,且AD=2,BD=2CD,求△ABC的周长.
解析：(1)由余弦定理的推论得ccs B+bcs C=c·a2+c2-b22ac+b·a2+b2-c22ab=a,
因为sin A(ccs B+bcs C)-csin B=csin C+bsin B,
所以asin A-csin B=csin C+bsin B,由正弦定理得a2-bc=c2+b2,
即c2+b2-a2=-bc,
由余弦定理的推论得cs A=b2+c2-a22bc=-12,
因为00,所以sin A=1-cs2A=179,S△ABC=12bcsin A=1718bc=172,则bc=9,
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccs A,即2=b2+c2-16,所以b2+c2=18,
所以(b-c)2=b2+c2-2bc=18-2×9=0,
所以b=c,所以bc=b2=9,解得b=3,
所以b=c=3.
(2)设OC=λOA,λ>0,则S△OBCS△ABC=OCAC=OCOA+OC=λλ+1,所以S△OBC=λλ+1·172,
因为AD∥BC,则△OBC∽△ODA.
所以S△OBCS△ODA=(OCOA)2=λ2,
所以S△OBC=λ2·2173,
所以λλ+1·172=λ2·2173,
解得λ=12或-32(舍)或0(舍),
所以OC=13AC=1,
在△ABC中,由余弦定理得cs C=a2+b2-c22ab=26,在△OBC中,由余弦定理得OB2=OC2+BC2-2OC·BCcs C=3-23=73,
则OB=213,cs∠CBO=BC2+OB2-OC22BC·OB=54242,又AD∥BC,则∠D=∠CBO,
所以cs D=cs ∠CBO=54242.
【题型二】解三角形实际应用问题
[典例2](2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(3≈1.732)( )

A.346B.373C.446D.473
解析：选B.作CM⊥BB',BN⊥AA',CQ⊥AA',其中M,N,Q为相应的垂足,由题意得,BM=100,∠BCM=15°,∠ABN=45°,即CM=100tan15°=B'C',所以BN=B'A'=100tan15°·sin45°sin 75°=
100cs15°sin45°sin 15°sin 75°=502sin15°=1003+100≈273,
所以AN=BN=273,AQ=AA'-CC'=AN+QN=AN+(BB'-CC')=273+100=373.
【方法提炼】
解三角形应用题的求解思路
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角形的模型;
(3)求解:利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;
(4)检验:检验上述所求得的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.
【对点训练】
某观察站B在城A的南偏西20°的方向,由城A出发的一条公路走向是南偏东40°,在B处测得公路上距B31 km的C处有一人正沿公路向城A走去,走了20 km之后到达D处,此时B,D间的距离为21 km,则城A与观察站B之间的距离为( )
A.24 kmB.243 km
C.19 kmD.20 km
解析：选A.由题意得,在△BCD中,BC=31,CD=20,BD=21,由余弦定理得cs∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·CD=212+202-3122×21×20=-17,
因为∠BDC+∠ADB=π,
所以cs∠ADB=17,所以0