高考数学复习核心专题突破(四)　微专题7　研究直线、平面的位置关系（导学案）

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核心专题突破(四)
微专题7 研究直线、平面的位置关系
【课程标准】
1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.
必备知识 精归纳 1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.
注:①一条直线l有无穷多个方向向量(非零向量),这些方向向量之间互相平行.
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
点睛求法向量的方法:设向量a,b是平面α内两个不共线向量,向量n是平面α的法向量,则求法向量的方程组为n·a=0n·b=0.
2. 空间位置关系的向量表示
点睛在用向量法证明线面平行时要说明直线不在平面内.
【常用结论】
1.若v是直线的方向向量,则λv(λ≠0)也是直线的方向向量;
2.若向量n是平面的法向量,则μn(μ≠0)也是平面的法向量.
基础小题 固根基
1.(教材变式)已知A1,0,0,B0,1,0,C0,0,1,则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A.-1,1,1B.1,-1,1
C.-33,-33,-33D.33,33,-33
解析：选C.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则=-1,1,0,=-1,0,1,
所以,化简得-x+y=0-x+z=0,则x=y=z.C选项符合题意.
2.(教材改编)已知m=(-2,2,5),n=(3,-2,2)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系为( )
A.平行B.垂直
C.相交但不垂直D.重合
解析：选B.因为m=(-2,2,5),n=(3,-2,2),所以m·n=-2×3+2×-2+5×2=0,
故m⊥n,所以α⊥β.
3.(忽视线在平面内)若直线l的方向向量为a=1,0,2,平面α的法向量为n=-2,1,1,则( )
A.l∥αB.l⊥α
C.l⊂α或l∥αD.l 与α斜交
解析：选C.因为a=1,0,2,n=-2,1,1, 所以a·n=0,即a⊥n,
所以l∥α或l⊂α.
4.(多选题)(结论1)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论中,正确的是( )
A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2)
B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)
C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
解析：选AC.由题意,B1,0,0,B11,0,1,C1,1,0,D0,1,0,D10,1,1,
因为=-1,1,1,所以向量(-2,2,2)为直线BD1的一个方向向量,故A正确,B不正确;
设平面B1CD1的法向量为n=x,y,z,则,
由=0,-1,1,=-1,0,1得-y+z=0-x+z=0,令x=1得n=1,1,1,则C正确;
设平面B1CD的法向量为m=a,b,c,
则,由=0,-1,1,=-1,0,0,得-b+c=0-a=0,
令b=1得m=0,1,1,则D不正确.
5.(多选题)(结论2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是( )
A.(8,-2,4)B.(-4,1,-2)
C.(2,-2,1)D.(1,2,-2)
解析：选AB.设正方体的棱长为2,则易得A2,0,0,E2,2,1,F1,0,2,
则=0,2,1,=-1,0,2,
设平面AEF的法向量为n=x,y,z,则,即2y+z=0-x+2z=0,
令z=4得平面AEF的一个法向量为n1=8,-2,4,
令z=-2得平面AEF的一个法向量为n2=-4,1,-2,
令z=1得平面AEF的一个法向量为n3=2,-12,1.
6.(找不到直线的方向向量)(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中,平面α的一个法向量n=(2,2,1),直线l的方向向量为m,则下列说法正确的是( )
A.x轴一定与平面α相交
B.平面α一定经过点O
C.若m=(-1,-1,-12),则l⊥α
D.若m=(-1,0,2),则l∥α
解析：选AC.不妨设x轴的一个方向向量为a=1,0,0,则a·n=1,0,0·(2,2,1)=2≠0,故x轴一定与平面α相交,A正确;
平面α不一定经过点O,B错误;
因为(2,2,1)=-2(-1,-1,-12),
即n=-2m,
故l⊥α,C正确;
因为m·n=(-1,0,2)·(2,2,1)=-2+2=0,所以m⊥n,所以l∥α或l⊂α,故D错误.
题型一 利用空间向量证明平行问题
角度1 线线平行
[典例1]已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=3,点S,P分别在棱CC1,AA1上,且CS=12SC1,AP=2PA1,点R,Q分别为AB,D1C1的中点.求证:直线PQ∥直线RS.
【证明】以点D为原点,分别以,与的方向为x,y与z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
则D0,0,0,A3,0,0,C0,4,0,B3,4,0,
D10,0,3,A13,0,3,C10,4,3,B13,4,3,
连接PQ,RS,由题意知P3,0,2,Q0,2,3,
S0,4,1,R3,2,0,所以=-3,2,1,=-3,2,1.
所以=,又PQ,RS不共线,所以PQ∥RS.
【方法提炼】
有关线线平行的解题策略
1.将证线线平行转化为证两直线的方向向量共线.设a,b是两条不重合的直线,它们的方向向量分别为a,b,则a∥b⇔a=λbλ∈R,λ≠0.
2.向量法证线线平行的方法:
(1)基底运算法;
(2)坐标运算法.
角度2 线面平行
[典例2](2023·泰安模拟)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,点E和F分别为BC和A1C的中点.
求证:EF∥平面A1B1BA.
【证明】由AB=AC,E为BC的中点,
知AE⊥BC,而AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1,
过E作平行于BB1的垂线并以其为z轴,以EC,EA所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=3,BE=5,所以AE=2,所以E(0,0,0),C(5,0,0),A(0,2,0),B(-5,0,0),
B1(-5,0,27),A1(0,2,7),F52,1,72.
所以=52,1,72,=(-5,-2,0),=(0,0,7).
设平面A1B1BA的一个法向量为n=(x,y,z),
则,
若x=-2,则n=(-2,5,0),
而·n=52×(-2)+1×5+72×0=0,
所以⊥n,又EF⊄平面A1B1BA,
所以EF∥平面A1B1BA.
【方法提炼】
运用向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量定理:设a,b为平面α内不共线的两个向量,证明存在两个实数x,y,使得l=xa+yb,则l∥α(l⊄α).
(2)转化为证明直线和平面内的某一直线平行.
(3)转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(此方法最常用).
角度3 面面平行
[典例3](1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点.
①求异面直线MN和AB所成角的大小;
②求证:平面MNP∥平面CC1D1D.
解析：①由题意,不妨设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,
所以M(1,0,1),N(1,1,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
=0,1,-1,=0,2,0,则
cs==0×0+1×2+-1×002+12+-12×02+22+02=222=22.
设异面直线MN和AB所成角为θ,则
cs θ==22,
所以异面直线MN和AB所成角为45°.
②由①知,M1,0,1,N1,1,0,P1,2,1,
D0,0,0,A2,0,0,=2,0,0,=0,2,0,=0,1,-1,
由题意可知,DA⊥平面CC1D1D ,
所以平面CC1D1D的一个法向量为n=1,0,0.
设平面MNP的法向量为m=x,y,z,则,即2y=0y-z=0,
令x=1,则y=0,z=0,所以m=1,0,0,
由n=m,得平面MNP∥平面CC1D1D.
(2)如图所示,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长1,侧棱长4,AA1的中点为E,CC1的中点为F.
求证:平面BDE∥平面B1D1F.
【证明】以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,
则B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,2),B1(1,0,4),
D1(0,1,4),F(1,1,2),
因为==0,-1,2,所以DE∥FB1,
因为DE∥FB1,DE⊄平面B1D1F,FB1⊂平面B1D1F,
所以DE∥平面B1D1F,同理BD∥平面B1D1F,
因为BD⊂平面BDE,DE⊂平面BDE,BD∩DE=D,所以平面BDE∥平面B1D1F.
【方法提炼】
运用向量证面面平行的方法
方法一:证两平面的法向量平行(常用此方法).
方法二:用向量法证明两平面内有两条相交直线分别平行.
方法三:用向量法证明一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面.
【对点训练】
1.(2022·保定模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=4,E是BB1的中点,F是A1C1的中点,若点G在直线CC1上,且BG∥平面AEF,则A1G=( )
A.22B.5C.210D.11
解析：选A.如图,以C为原点,过C作垂直于CB的直线为x轴,CB,CC1所在直线分别为y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz,
则A(3,1,0),A1(3,1,4),E(0,2,2),
F32,12,4,B(0,2,0).
由题可设G(0,0,a),则=(-3,1,2),
=-32,-12,4,=(0,-2,a).
设平面AEF的法向量m=(x,y,z),
则,
令x=3,则y=95,z=35,得m=3,95,35.
由·m=-2×95+3a5=0,得a=6,所以G(0,0,6),则=(-3,-1,2),
=(-3)2+(-1)2+22=22.
2.如图,已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证:平面AMN∥平面EFBD.
【证明】由正方体的棱长为4,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(4,0,0),M(2,0,4),N4,2,4,B4,4,0,E0,2,4,F2,4,4,
=-2,0,4,=0,2,4,
=0,2,4,=-2,0,4,
设平面AMN的法向量为m=x,y,z,则即-2x+4z=02y+4z=0,
令z=1,解得x=2,y=-2,所以m=2,-2,1,
设平面EFBD的法向量为n=a,b,c,则即2b+4c=0-2a+4c=0,
令c=1,解得a=2,b=-2,所以n=2,-2,1,所以m∥n,
所以平面AMN∥平面EFBD.
【加练备选】
如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=22.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.
【证明】因为BC⊥CD,AD⊥平面BCD,故以C为原点,CD所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,过点C作DA的平行线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设D(a,0,0) ,0