高考数学复习第九章　第四节　圆与圆的位置关系及圆的综合问题（导学案）

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第四节 圆与圆的位置关系及圆的综合问题
【课程标准】
1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【必备知识 精归纳】
圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r),则
点睛(1)上面是几何法判断两圆的位置关系,利用两圆的圆心距与两圆的半径和或差的绝对值之间的关系判断;
(2)代数法判断两圆的位置关系,联立两圆组成方程组,依据解的情况判断两圆的位置关系.
【常用结论】
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②,
1.若两圆相交,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 ③,方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.
2.若两圆相切,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 ③,方程③表示圆C1与C2的公共切线所在直线的方程.
3.过已知两圆C1和C2的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(不含圆C2),其中λ为参数且λ≠-1.
4.直线与圆相交时,弦心距d,半径r,弦长的一半12l满足关系式r2=d2+(12l)2.
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)圆C1:x2+y2-2y=0与圆C2:x2+y2-23x-6=0的位置关系为( )
A.外离B.外切
C.相交D.内切
解析：选D.圆C1:x2+y2-2y=0的圆心为C1(0,1),半径为r1=1.
圆C2:x2+y2-23x-6=0的圆心为C2(3,0),半径为r2=3,
所以|C1C2|=(3)2+1=2.
又r2-r1=2,
所以|C1C2|=r2-r1=2,
所以圆C1与圆C2内切.
2.(考虑不全面)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a=( )
A.±213B.±25
C.0D.±25或0
解析：选D.圆C1:x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆C2:(x+4)2+(y-a)2=25的圆心为(-4,a),半径为5.
若两圆相切,分两种情况讨论:
当两圆外切时,有(-4)2+a2=(1+5)2,解得a=±25;
当两圆内切时,有(-4)2+a2=(1-5)2,解得a=0.
综上可得,实数a的值为0或±25.
3.(教材提升)圆x2+y2+4x-2y=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于A,B两点,则相交弦AB的垂直平分线的方程为( )
A.6x-2y+3=0B.x+3y-1=0
C.2x-2y+3=0D.x-3y-1=0
解析：选B.由题意,得两圆的圆心分别为M(-2,1),N(1,0),两圆相交弦的垂直平分线是通过圆心M,N的直线.由直线方程的两点式,得直线MN的方程为y-10-1=x+21+2,整理得x+3y-1=0.
4.(结论1)若圆x2+y2+4x-4y-1=0与圆x2+y2+2x-13=0相交于P,Q两点,则直线PQ的方程为 .
解析：两个圆的方程两端相减,可得2x-4y+12=0,即x-2y+6=0.
答案:x-2y+6=0
5.(结论4)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦长为 .
解析：由x2+y2-4=0,x2+y2-4x+4y-12=0,得两圆公共弦所在直线方程为x-y+2=0.
又圆x2+y2=4的圆心到直线x-y+2=0的距离为22=2.
由勾股定理得弦长的一半为4-2=2,所以所求弦长为22.
答案:22
6.(考虑不周全)如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是 .
解析：圆C的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=4,圆心坐标为(a,a),半径为2.
依题意得0