高考数学复习规范答题提升课——解析几何综合问题（导学案）

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规范答题提升课——解析几何综合问题
续表
[典例](12分)(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.
问题1:求解第(1)问的关键是什么?思路 对几何条件的翻译和转化,即把直线斜率之间的关系转化为坐标间的关系,转化的难点是运算和因式分解.
问题2:求解第(2)问的关键是什么?思路 借助图形求出直线的斜率和点的横坐标,体现面积转化为长度,长度转化为坐标的处理思路.
(1)因为点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a>1)上,
所以4a2-1a2-1=1,解得a2=2,
所以双曲线C的方程为x22-y2=1,2分
(基础得分点,求双曲线的标准方程)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),易知直线l的斜率存在,设l:y=kx+m,由y=kx+mx22-y2=1,得(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0,所以x1+x2=-4mk2k2-1,x1x2=2m2+22k2-1,3分
Δ=16m2k2-4(2m2+2)(2k2-1)>0⇒m2+1-2k2>0.
由kAP+kAQ=0得y1-1x1-2+y2-1x2-2=0,4分
即(x1-2)(kx2+m-1)+(x2-2)(kx1+m-1)=0,
即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,
所以2k×2m2+22k2-1+(m-1-2k)-4mk2k2-1-4(m-1)=0,化简得,8k2+4k-4+4m(k+1)=0,即(k+1)(2k-1+m)=0,所以k=-1或m=1-2k,5分
当m=1-2k时,直线l:y=kx+m=k(x-2)+1过点A(2,1),与题意不符,舍去,故k=-1.6分
(发展得分点,求直线的斜率)
(2)不妨设直线AP,AQ的倾斜角为α,βα