山东省聊城一中2023-2024学年下学期期中考试高一数学试题

这是一份山东省聊城一中2023-2024学年下学期期中考试高一数学试题，共8页。
时间：120分钟分值：150分
第Ⅰ卷（58分）
一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中；只有一个选项符合题目要求．
1．若复数是纯虚数，则的共轪复数（ ）
A．B．C．D．1
2．如图所示的中，点是线段上犁近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．C．D．
3．如下图；正方形的边长为．它是水平放罝的一个平面图形的直观图，则图形的周长是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是两个不共线的向量，．若与是共线向量，实数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．在等腰中，平分且与相交于点，则向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．下列命题正确的是（ ）
A．若是两条直线，是两个平面，且，则是异面直线试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。B．四边形可以确定一个甲面
C．已知两条相交直线，且平面，则与的位置关系是相交
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
7．已知点在所在平面内，且，，则点依次是的（ ）
A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心
8．如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，求的余弦值．（ ）
二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（多选）中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，透明望料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，其中正确的命题的是（ ）
A．没有水的部分始终呈棱柱形；B．水面所在四边形的面积为定值；
C．棱始终与水面所在平面平行；D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．
11．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ）
A．的周长为B．三个内角满足
C．外接圆的直径为D．的中线的长为
三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知点，向旦，点是线段的三等分点，求点的坐标________．
13．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在这四条线段中，有________对异面直线？
14．如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则________．
四、解答题本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．
16．（15分）在复平面内，点对应的复数分别是（其中是虚数单位），设向量对应的复数为．
（1）求复数；
（2）求；
（3）若，且是纯虚数，求实数的值．
17．（15分）如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：
（1）轮船D与观测点B的距离；
（2）救援船到达D点所需要的时间．
18．（17分）在等腰梯形中，，动点分别在线段和上（不包含端点），和交于点，且．
（1）用向量,表示向量；
（2）求的取值范围；
（3）是否存在点，使得．若存在，求；若不存在，说明理由．
19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点，当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．
2023-2024学年第二学期期中考试高一数学试题参考答案
一、单选题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B
二、多选题9．BC 10．ACD 11．ABC
三、填空题12．或 13．3 14．2
四、解答题
15．解：（由于是的中点，所以圆杜的高，且圆柱的底面半径为
圆锥的体积为，
圆柱的体积为，
所以剩下几何体的体积为．
剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积，
即．（3部分面积分值分别为2、2、3分）
16．解：（1）因为点对应的复数分别是，所以，
所以，故．
（2）因为，所以
．
（3）因为，所以，
由是纯虚数，可知且，解得．
17．解：（1）由在的北偏东，在的北偏西，
，
由正弦定理得，
又，
代入上式得：（海里），
答：轮船与观测点的距离为海里；
（2）中，海里，海里，，
，
，解得海里，（小时），
答：救援船到达D所需的时间为1小时．
18．解（1）因为，
所以．
又．
（2），
因为，
所以
．
因为动点分别在线段和上゙且不包含端点，所以，
所以，
所以的取值范围是．
（3）设，其中，则
，
因为，
由平面向量基本定理，得
解得，
由，得，故，
所以，解得，或．因为，所以．
19．解：（1）由已知中，即，故，
由正弦定理可得，故直角三角形，即；
（2）由（1）可得，所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：
，设，
由，得，
整理得，则；
（3）点为的费马点，则，
设，
则由，得：
由余弦定理得，
，
，
故由，得．
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立．
又，即有，解得或（舍去）．故实数的最小值为．