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上海市高二数学下学期期末模拟试卷01（测试范围：选修一+选修二）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修）
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这是一份上海市高二数学下学期期末模拟试卷01（测试范围：选修一+选修二）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修），共18页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．在空间直角坐标系中，点，2，关于平面的对称点的坐标为 ，2， ．
【分析】在空间直角坐标系中，点，，关于平面的对称点坐标为，，．
【解答】解：根据关于平面的对称点性质得：
在空间直角坐标系中，点，2，关于平面的对称点坐标为，2，．
故答案为：，2，．
【点评】本题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为 20 ．
【分析】根据第三项与第五项的系数相等，建立方程求出，然后进行计算即可．
【解答】解：第三项与第五项的系数相等，
，得，
则的展开式中的常数项为．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据系数相等建立方程求出的值是解决本题的关键，是基础题．
3．已知数列的前项和为，则 4 ．
【分析】根据进行求解．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：4．
【点评】本题考查由递推式求数列的通项，属于基础题．
4．中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等．学校图书馆计划将这四试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有 36 种（用数字作答）．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①在四本书中选出2本，分配给三人中的1人，②剩下的2本安排给其余2人，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①在四本书中选出2本，分配给三人中的1人，有种分法，
②剩下的2本安排给其余2人，有种分法，
则有种借阅方式，
故答案为：36．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
5．直线、、为常数，且，则直线倾斜角 （结果用反正切表示）．
【分析】直接利用直线的斜率和直线的倾斜角求出反三角的函数的值．
【解答】解：直线、、为常数，且，
则直线的斜率，即，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和倾斜角的关系，反三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
6．曲线在点处的切线方程为 ．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．
【解答】解：由，得．
，
则曲线在点处的切线方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
7．如图8只小猫围绕在的单位正方形的交叉点上，随机选取两只，它们之间距离为1的概率是 ．
【分析】先求出从8只小猫中随机选取两只和两只之间距离为1的方法总数，再由古典概率可得出答案．
【解答】解：从8只小猫中随机选取两只，共有种方法，
它们之间距离为1的情况有：，，，，，，，，
共8种，所以从8只小猫中随机选取两只，它们之间距离为1的概率是：．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．已知随机变量服从正态分布，且，则 0.12 ．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：随机变量服从正态分布，且，
则，
．
故答案为：0.12．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
9．已知双曲线的右顶点为，点，都在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的渐近线方程为 ．
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求出，即得答案．
【解答】解：依题意，点，设点，，则，，
显然，即，
由直线，的斜率之积为，得，
解得，所以双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
10．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 4 ．
【分析】过点作垂直准线于点，则，当且仅当，，三点共线，且该直线与轴平行时，等号成立，得解．
【解答】解：由题意知，，曲线的圆心，圆的半径为，
由抛物线的定义，点是圆上的动点，过点作垂直准线于点，则，
而，当且仅当，，三点共线，且该直线与轴平行时，等号成立，
所以的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查抛物线的定义与几何性质，圆中的最值问题，考查数形结合思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11．已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 ．
【分析】两个曲线一个是指数函数，一个是圆，根据三角形原理，当圆心与指数函数图像上某点连线与该点切线垂直时，可以得到两曲线上距离最近的点．
【解答】解：如图所示，
对于指数函数，，设，，则点切线斜率为，
又圆心为，，
所以直线斜率为，
令，得，
即，到圆心距离为，
所以最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两曲线上点间的最近距离，属中档题．
12．对任意，函数满足，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则 或 ．
【分析】对任意，函数满足，，解得，由，可得，代入化为：，根据数列的前15项和为，解得，可得，，．代入，解得．根据数列满足，及其数列的前项和的极限存在，可得得．
【解答】解：对任意，函数满足，
则，解得，
，
，化为：，
数列的前15项和为，
，
解得，
，，．
，
解得，或．
时，数列满足，
，
数列的前项和的极限存在，，解得．
时，数列满足，
，
数列的前项和的极限存在，，解得．
故答案为：或．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数列极限，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则直线的斜率为
A．3B．C．D．
【分析】利用点在抛物线上，求解，得到抛物线的焦点坐标，然后求解直线的斜率．
【解答】解：点在抛物线上，可得，解得，所以抛物线的焦点坐标，
直线的斜率为．
故选：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
14．2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则
A．事件与相互独立B．事件与为互斥事件
C．D．
【分析】利用排列组合的知识可分别求得4名志愿者分配到三座体育馆的方案数以及事件，，，，对应的方案数，根据古典概型概率公式可求得每个事件对应的概率，结合独立事件、互斥事件的定义，条件概率的运算方法，依次判断各个选项即可．
【解答】解：将4名志愿者分配到三座体育馆，每座体育馆至少派1名志愿者，
共有 种安排方案，
志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心，
各有种方案，
；
志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心，有种方案，
；
志愿者甲派往黄龙体育中心且乙派往杭州奥体中心，有种方案，
；
对于，（A）（B），事件与不相互独立，故错误；
对于，，事件与不是互斥事件，故错误；
对于，，故错误；
对于，，故正确．
故选：．
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的判定，考查条件概率的求法，属中档题．
15．已知函数为偶函数，其图像在点，（1）处的切线方程为，记的导函数为，则
A．B．C．D．2
【分析】根据已知条件，推得为奇函数，再结合导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：函数为偶函数，
则为奇函数，即，
图像在点，（1）处的切线方程为，
则（1），
故（1）．
故选：．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
16．对于无穷数列和正整数，若对一切正整数成立，则称具有性质．设无穷数列的前项和为，有两个命题：①若是等比数列且对一切正整数，数列都具有性质，则具有性质（1）；②若是等差数列且存在无数个正整数，使得数列不具有性质，则的公差．那么
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题
【分析】通过分析两种不同情况下数列时和的大小关系，分析数列是否具有性质，即可得出结论．
【解答】解：由题意，对命题①，设数列的公比为，因为数列具有性质（3），
所以对任意，即，因此数列严格增，故①是真命题．
对命题②，设等差数列的首项为．对每个使得数列不具有性质的正整数，
即存在正整数，使得，则，从而，
因为是定值，所以当无限增大时，可得到成立，故②是真命题．
综上所述，①、②都是真命题，只有项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查等差数列与等比数列、数列与不等式的综合应用等知识，属于中档题．
三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）．
17．已知在直三棱柱中，是直角．
（1）求证：平面平面；
（2）设异面直线与所成角的大小为，直线与平面所成角的大小为．比较和的大小，并说明理由．
【分析】（1）通过线线垂直可得线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）为异面直线与所成的角，是直线与平面所成的角，可得，可得结论．
【解答】解：（1）证明：在直三棱柱中，平面，
平面，，
是直角．，又，
平面，平面，
平面平面；
（2），理由如下：
，为异面直线与所成的角，即，
平面，平面，
，，，
平面，，
平面，在平面内的射影为，
是直线与平面所成的角，，
，，又，
，，，
．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查角的大小的比较，考查空间角的求法，属中档题．
18．已知数列的前项和为，若数列为等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）令，设数列公差为，列式计算求出，，可得，，再根据与关系求出；
（2）由（1）代入求出，利用分组求和和裂项相消法求得结果．
【解答】解：（1）由题意，可令，则数列为等差数列，
故，，
设等差数列的公差为，
则，
解得，
，
，，
则当时，，
当时，，
当时，也符合上式，
，．
（2）由（1），可得
，
则
．
【点评】本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，分类讨论，转化与化归思想，分组求和法，裂项相消法，等差数列的通项公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19．直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式可利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示2020年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示．一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人” 岁岁）和“非年轻人” 岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”．
（1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关：
（2）某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：
方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔 不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；
方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．
参考数据：
其中，，．
【分析】（1）根据列联表及离散型随机变量的期望与方差即可求解；
（2）分别比较方案一与方案二的期望与方差的大小，从而可得解．
【解答】解：（1）由图1可知，“年轻人“所占比例为，“非年轻人“所占比例为，
又由图2可知，“经常使用直播销售用户“所占比例为，
“不经常使用直播销售用户“所占比例为，
完成列联表如下：
，
有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关；
（2）若按方案一，设获利万元，则，，0，
的分布列为：
，
；
若按方案二，设获利万元，则，，0，
的分布列为：
，
，
又，，
从获利的均值来看，方案二线上直播销售获得的利润更多些，
但是方案二的方差要比方案一的方差大得多，
从稳定方面看方案一线下销售更稳点，
从获得角度考虑，应该选择方案二，
从规避风险的角度考虑，应该选方案一．
【点评】本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的期望与方差，属基础题．
20．已知椭圆的离心率为，、为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上的动点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当取最大值时，求△的面积；
（3）已知为正常数，过动点作圆的切线、，记直线、的斜率分别为、，是否存在，使得为定值？若存在，求出及的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得，解得，，，即可得出答案．
（2）设，，由椭圆的定义可得，则，由基本不等式可得当且仅当时，取得最小值，取得最大值，即点为短轴的一个顶点，再计算，即可得出答案．
（3）设，，则直线的直线方程为，又是圆的切线，则，同理可得，进而可得，为方程的两个根，由韦达定理可得答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
解得，，，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，
由椭圆的定义可得，
又，
，
因为（当且仅当时，取等号），
所以，即，
所以，
所以，
所以当且仅当时，取得最小值，取得最大值，
即点为短轴的一个顶点，
所以．
（3）设，，则直线的直线方程为，
又是圆的切线，
所以，
即，
同理可得，
所以，为方程的两个根，
所以，
因为，为动点，
所以，不存在定值．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
（1）若为实数，函数，是“跃点”函数，求的取值范围；
（2）若为非零实数，函数，是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求的值；
（3）若为实数，函数，是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求的取值范围．
【分析】（1）函数的导函数，若函数是“跃点“函数，则方程有解，即有解，进而可得答案．
（2）函数的导函数．若该函数是“2跃点“函数，则方程①有解，进而可得答案．
（3）函数的导函数为，若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，即有一个不同的实数根，即可得出答案．
【解答】解：（1）函数的导函数，
若函数是“跃点“函数，则方程有解，
即有解，
又，，
所以，，
所以，．
（2）函数的导函数．
若该函数是“2跃点“函数，
则方程①有解，
即有解，
所以有解，
当时，方程成立，
所以是方程的一个实数根，
当时，②，
当时，方程②有两个相等的实数根2，
此时方程①的根为1，2，2，
所以函数有两个不同的“2跃点“，
当时，方程②无解，
此时方程①的根为1，则函数有一个“2跃点”，
当时，方程②有两个不相等的实数根，
若函数有两个不同的“2跃点”，则其中一个实数根为1，
则，解得，
综上所述，的值为或．
（3）函数的导函数为，
若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，
则方程，即有一个不同的实数根，
设，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
又时，；时，，
所以当时，取得极小值（2），
所以，
所以，
所以的取值范围为，．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
100
20
120
不经常使用直播销售用户
60
20
80
合计
160
40
200
300
0
500
0
一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．在空间直角坐标系中，点，2，关于平面的对称点的坐标为 ，2， ．
【分析】在空间直角坐标系中，点，，关于平面的对称点坐标为，，．
【解答】解：根据关于平面的对称点性质得：
在空间直角坐标系中，点，2，关于平面的对称点坐标为，2，．
故答案为：，2，．
【点评】本题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．为正整数）的二项展开式中，若第三项与第五项的系数相等，则展开式中的常数项为 20 ．
【分析】根据第三项与第五项的系数相等，建立方程求出，然后进行计算即可．
【解答】解：第三项与第五项的系数相等，
，得，
则的展开式中的常数项为．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据系数相等建立方程求出的值是解决本题的关键，是基础题．
3．已知数列的前项和为，则 4 ．
【分析】根据进行求解．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：4．
【点评】本题考查由递推式求数列的通项，属于基础题．
4．中国古典数学的代表作有《算数书》《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》等．学校图书馆计划将这四试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。本书借给3名学生阅读，要求每人至少读一本，则不同的借阅方式有 36 种（用数字作答）．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①在四本书中选出2本，分配给三人中的1人，②剩下的2本安排给其余2人，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①在四本书中选出2本，分配给三人中的1人，有种分法，
②剩下的2本安排给其余2人，有种分法，
则有种借阅方式，
故答案为：36．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
5．直线、、为常数，且，则直线倾斜角 （结果用反正切表示）．
【分析】直接利用直线的斜率和直线的倾斜角求出反三角的函数的值．
【解答】解：直线、、为常数，且，
则直线的斜率，即，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和倾斜角的关系，反三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
6．曲线在点处的切线方程为 ．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．
【解答】解：由，得．
，
则曲线在点处的切线方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
7．如图8只小猫围绕在的单位正方形的交叉点上，随机选取两只，它们之间距离为1的概率是 ．
【分析】先求出从8只小猫中随机选取两只和两只之间距离为1的方法总数，再由古典概率可得出答案．
【解答】解：从8只小猫中随机选取两只，共有种方法，
它们之间距离为1的情况有：，，，，，，，，
共8种，所以从8只小猫中随机选取两只，它们之间距离为1的概率是：．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．已知随机变量服从正态分布，且，则 0.12 ．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：随机变量服从正态分布，且，
则，
．
故答案为：0.12．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
9．已知双曲线的右顶点为，点，都在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的渐近线方程为 ．
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求出，即得答案．
【解答】解：依题意，点，设点，，则，，
显然，即，
由直线，的斜率之积为，得，
解得，所以双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
10．已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为 4 ．
【分析】过点作垂直准线于点，则，当且仅当，，三点共线，且该直线与轴平行时，等号成立，得解．
【解答】解：由题意知，，曲线的圆心，圆的半径为，
由抛物线的定义，点是圆上的动点，过点作垂直准线于点，则，
而，当且仅当，，三点共线，且该直线与轴平行时，等号成立，
所以的最小值为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查抛物线的定义与几何性质，圆中的最值问题，考查数形结合思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11．已知点是函数图像上任意一点，点是曲线上一点，则、两点之间距离的最小值是 ．
【分析】两个曲线一个是指数函数，一个是圆，根据三角形原理，当圆心与指数函数图像上某点连线与该点切线垂直时，可以得到两曲线上距离最近的点．
【解答】解：如图所示，
对于指数函数，，设，，则点切线斜率为，
又圆心为，，
所以直线斜率为，
令，得，
即，到圆心距离为，
所以最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两曲线上点间的最近距离，属中档题．
12．对任意，函数满足，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则 或 ．
【分析】对任意，函数满足，，解得，由，可得，代入化为：，根据数列的前15项和为，解得，可得，，．代入，解得．根据数列满足，及其数列的前项和的极限存在，可得得．
【解答】解：对任意，函数满足，
则，解得，
，
，化为：，
数列的前15项和为，
，
解得，
，，．
，
解得，或．
时，数列满足，
，
数列的前项和的极限存在，，解得．
时，数列满足，
，
数列的前项和的极限存在，，解得．
故答案为：或．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数列极限，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则直线的斜率为
A．3B．C．D．
【分析】利用点在抛物线上，求解，得到抛物线的焦点坐标，然后求解直线的斜率．
【解答】解：点在抛物线上，可得，解得，所以抛物线的焦点坐标，
直线的斜率为．
故选：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
14．2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则
A．事件与相互独立B．事件与为互斥事件
C．D．
【分析】利用排列组合的知识可分别求得4名志愿者分配到三座体育馆的方案数以及事件，，，，对应的方案数，根据古典概型概率公式可求得每个事件对应的概率，结合独立事件、互斥事件的定义，条件概率的运算方法，依次判断各个选项即可．
【解答】解：将4名志愿者分配到三座体育馆，每座体育馆至少派1名志愿者，
共有 种安排方案，
志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心，
各有种方案，
；
志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心，有种方案，
；
志愿者甲派往黄龙体育中心且乙派往杭州奥体中心，有种方案，
；
对于，（A）（B），事件与不相互独立，故错误；
对于，，事件与不是互斥事件，故错误；
对于，，故错误；
对于，，故正确．
故选：．
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的判定，考查条件概率的求法，属中档题．
15．已知函数为偶函数，其图像在点，（1）处的切线方程为，记的导函数为，则
A．B．C．D．2
【分析】根据已知条件，推得为奇函数，再结合导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：函数为偶函数，
则为奇函数，即，
图像在点，（1）处的切线方程为，
则（1），
故（1）．
故选：．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
16．对于无穷数列和正整数，若对一切正整数成立，则称具有性质．设无穷数列的前项和为，有两个命题：①若是等比数列且对一切正整数，数列都具有性质，则具有性质（1）；②若是等差数列且存在无数个正整数，使得数列不具有性质，则的公差．那么
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题
【分析】通过分析两种不同情况下数列时和的大小关系，分析数列是否具有性质，即可得出结论．
【解答】解：由题意，对命题①，设数列的公比为，因为数列具有性质（3），
所以对任意，即，因此数列严格增，故①是真命题．
对命题②，设等差数列的首项为．对每个使得数列不具有性质的正整数，
即存在正整数，使得，则，从而，
因为是定值，所以当无限增大时，可得到成立，故②是真命题．
综上所述，①、②都是真命题，只有项符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查等差数列与等比数列、数列与不等式的综合应用等知识，属于中档题．
三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）．
17．已知在直三棱柱中，是直角．
（1）求证：平面平面；
（2）设异面直线与所成角的大小为，直线与平面所成角的大小为．比较和的大小，并说明理由．
【分析】（1）通过线线垂直可得线面垂直，进而利用面面垂直的判定定理可得平面平面；
（2）为异面直线与所成的角，是直线与平面所成的角，可得，可得结论．
【解答】解：（1）证明：在直三棱柱中，平面，
平面，，
是直角．，又，
平面，平面，
平面平面；
（2），理由如下：
，为异面直线与所成的角，即，
平面，平面，
，，，
平面，，
平面，在平面内的射影为，
是直线与平面所成的角，，
，，又，
，，，
．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查角的大小的比较，考查空间角的求法，属中档题．
18．已知数列的前项和为，若数列为等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）令，设数列公差为，列式计算求出，，可得，，再根据与关系求出；
（2）由（1）代入求出，利用分组求和和裂项相消法求得结果．
【解答】解：（1）由题意，可令，则数列为等差数列，
故，，
设等差数列的公差为，
则，
解得，
，
，，
则当时，，
当时，，
当时，也符合上式，
，．
（2）由（1），可得
，
则
．
【点评】本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，分类讨论，转化与化归思想，分组求和法，裂项相消法，等差数列的通项公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19．直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式可利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收．某贫困地区有统计数据显示2020年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示．一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人” 岁岁）和“非年轻人” 岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，则“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”．
（1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关：
（2）某投资公司在2021年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：
方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔 不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；
方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．
参考数据：
其中，，．
【分析】（1）根据列联表及离散型随机变量的期望与方差即可求解；
（2）分别比较方案一与方案二的期望与方差的大小，从而可得解．
【解答】解：（1）由图1可知，“年轻人“所占比例为，“非年轻人“所占比例为，
又由图2可知，“经常使用直播销售用户“所占比例为，
“不经常使用直播销售用户“所占比例为，
完成列联表如下：
，
有的把握认为经常使用网络直播销售与年龄有关；
（2）若按方案一，设获利万元，则，，0，
的分布列为：
，
；
若按方案二，设获利万元，则，，0，
的分布列为：
，
，
又，，
从获利的均值来看，方案二线上直播销售获得的利润更多些，
但是方案二的方差要比方案一的方差大得多，
从稳定方面看方案一线下销售更稳点，
从获得角度考虑，应该选择方案二，
从规避风险的角度考虑，应该选方案一．
【点评】本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的期望与方差，属基础题．
20．已知椭圆的离心率为，、为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上的动点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当取最大值时，求△的面积；
（3）已知为正常数，过动点作圆的切线、，记直线、的斜率分别为、，是否存在，使得为定值？若存在，求出及的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得，解得，，，即可得出答案．
（2）设，，由椭圆的定义可得，则，由基本不等式可得当且仅当时，取得最小值，取得最大值，即点为短轴的一个顶点，再计算，即可得出答案．
（3）设，，则直线的直线方程为，又是圆的切线，则，同理可得，进而可得，为方程的两个根，由韦达定理可得答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
解得，，，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，
由椭圆的定义可得，
又，
，
因为（当且仅当时，取等号），
所以，即，
所以，
所以，
所以当且仅当时，取得最小值，取得最大值，
即点为短轴的一个顶点，
所以．
（3）设，，则直线的直线方程为，
又是圆的切线，
所以，
即，
同理可得，
所以，为方程的两个根，
所以，
因为，为动点，
所以，不存在定值．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
（1）若为实数，函数，是“跃点”函数，求的取值范围；
（2）若为非零实数，函数，是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求的值；
（3）若为实数，函数，是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求的取值范围．
【分析】（1）函数的导函数，若函数是“跃点“函数，则方程有解，即有解，进而可得答案．
（2）函数的导函数．若该函数是“2跃点“函数，则方程①有解，进而可得答案．
（3）函数的导函数为，若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，即有一个不同的实数根，即可得出答案．
【解答】解：（1）函数的导函数，
若函数是“跃点“函数，则方程有解，
即有解，
又，，
所以，，
所以，．
（2）函数的导函数．
若该函数是“2跃点“函数，
则方程①有解，
即有解，
所以有解，
当时，方程成立，
所以是方程的一个实数根，
当时，②，
当时，方程②有两个相等的实数根2，
此时方程①的根为1，2，2，
所以函数有两个不同的“2跃点“，
当时，方程②无解，
此时方程①的根为1，则函数有一个“2跃点”，
当时，方程②有两个不相等的实数根，
若函数有两个不同的“2跃点”，则其中一个实数根为1，
则，解得，
综上所述，的值为或．
（3）函数的导函数为，
若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，
则方程，即有一个不同的实数根，
设，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
又时，；时，，
所以当时，取得极小值（2），
所以，
所以，
所以的取值范围为，．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
100
20
120
不经常使用直播销售用户
60
20
80
合计
160
40
200
300
0
500
0
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