2024年内蒙古兴安盟乌兰浩特市第五中学中考数学模拟试卷

这是一份2024年内蒙古兴安盟乌兰浩特市第五中学中考数学模拟试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A．﹣22B．|﹣2|C．﹣（﹣2）D．（﹣2）2
2．（4分）2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术下载一个4.8M的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为（ ）
A．0.96×10﹣4B．9.6×10﹣3C．9.6×10﹣5D．96×10﹣6
3．（4分）由两块大小不同的正方体搭成如图所示的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC点D，点E为AB的中点，连接DE，若AD＝4，tan∠DAC＝，则DE的长为（ ）
A．B．2C．3D．
6．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x的一元一次不等式kx﹣2＜x﹣b的解集为（ ）
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A．x＞4B．x＜4C．x＞2D．x＜2
7．（4分）在三张透明纸上，分别有∠AOB、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（ ）
①图1，∠AOB的角平分线；
②图2，过点P垂直于直线l的垂线；
③图3，点M与点N的对称中心．
A．①B．①②C．②③D．①②③
8．（4分）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
9．（4分）如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与水平方向的夹角为α（0°＜α＜90°），地下停车场层高CD＝3米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（ ）
A．3B．C．3sinαD．3csa
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且A（﹣6，0），S矩形OABC＝24．反比例函数的图象与边AB，BC交于点D，E，连接DE，DC，则当△DCE的面积最大时，k的值为（ ）
A．﹣24B．﹣12C．﹣6D．﹣4
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 ．
12．（4分）解不等式组：的解集是 ．
13．（4分）分式方程的解是 ．
14．（4分）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝ ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数，的图象上，且整式x2﹣ax+1是一个完全平方式，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB，PQ，已知点A的纵坐标为﹣2．
（1）点A的坐标为 ；
（2）若点B的横坐标为2，四边形APQB的面积为8，则线段AB所在直线的函数表达式为 ．
三、解答题
16．（6分）计算：cs30°+tan45°﹣tan60°•cs245°．
17．（6分）已知，且3a﹣2c＝﹣8，求2c﹣3b+4a的值．
18．（6分）2023年9月26日正式开园的合肥园博园汇聚了31个国内展园和7个国际展园，展示了中国传统园林和世界各地的园林艺术．自开园以来，受到广大市民和全国游客的热烈欢迎，成为又一打卡地．据统计某日A入口比B入口入园游客多1.2万人．第二天A入口人园游客增加了10%，B入口人园游客减少了10%，当天A、B入口人园游客总人数增加了3%，试求第二天A、B入口入园游客的人数各是多少万人？
19．（6分）观察以下等式：
第1个等式：23﹣3×1×2＝13+1
第2个等式：33﹣3×2×3＝23+1
第3个等式：43﹣3×3×4＝33+1
第4个等式：53﹣3×4×5＝43+1
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
20．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点△ABC和格点O（格点为网格线的交点）．
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
21．（6分）如图，在等腰△ABC中，以腰AC为直径的⊙O交底边BC于点D，过点D的切线交AB于E．
（1）求证：∠AED＝90°；
（2）若AE＝2，DE＝4，求⊙O的半径．
22．（6分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有 人，表中的m＝ ，扇形统计图中α的度数是 ；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
23．（6分）如图，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题：
（1）求证：△AFD≌△DCE；
（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．求证：EF•DF＝GF•CF．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△DFE的顶点E，F在x轴上，DF⊥EF且OF＝DF＝EF，x轴上有两点A（﹣1，0），B（﹣3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B两点，且与y轴正半轴交于点C，，点F（2，0），将△DFE沿x轴向左平移，平移距离为m（m＞0）．
（1）求a、b、c的值；
（2）当点D首次落在抛物线上，求m的值；
（3）当抛物线落在△DFE内的部分，满足y随x的增大而增大时，请直接写出m的取值范围．
25．（6分）【活动探究】在数学课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E，F分别是BC，CD边上一点，若∠EAF＝60°，试猜想△AEF的形状，不用证明．
【尝试实践】小美受此启发，她尝试将“∠EAF＝60°”改为“∠AFE＝60°”，通过测量验证发现猜想仍然成立，并进一步思考证法：如图2，过点F作FH∥AC，求证△AHF≌△FCE⋯⋯
请你按照小美的思路进一步思考，并解答这个问题．
【拓展应用】小玲在老师问题上进一步改编：如图3，过C作CG⊥AB于点G，当EF的中点M经过CG时，请直接写出EF的长度．
2024年内蒙古兴安盟乌兰浩特五中中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A．﹣22B．|﹣2|C．﹣（﹣2）D．（﹣2）2
【分析】根据有理数的乘方，绝对值的性质，相反数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣22＝﹣4，是负数，故本选项正确；
B、|﹣2|＝2是正数，故本选项错误；
C、﹣（﹣2）＝2是正数，故本选项错误；
D、（﹣2）2＝4，是正数，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了正数和负数，主要利用了绝对值的性质，相反数的定义，有理数的乘方，熟记概念与性质是解题的关键，要注意﹣22与（﹣2）2的区别．
2．（4分）2019年被称为中国的5G元年，如果运用5G技术下载一个4.8M的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为（ ）
A．0.96×10﹣4B．9.6×10﹣3C．9.6×10﹣5D．96×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000096＝9.6×10﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）由两块大小不同的正方体搭成如图所示的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看可得到一个正方形右上角有一个正方形，故选C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1，故A正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”．
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC点D，点E为AB的中点，连接DE，若AD＝4，tan∠DAC＝，则DE的长为（ ）
A．B．2C．3D．
【分析】解直角三角形求得AC的长，根据条件可知DE是△ABC的中位线，所以利用中位线定理可知DE的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，tan∠DAC＝，
∴＝，
∵AD＝4，
∴CD＝2，
∴AC＝＝2，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
又E是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝，
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的性质及中位线定理，解直角三角形求出AC是解题的关键．
6．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x的一元一次不等式kx﹣2＜x﹣b的解集为（ ）
A．x＞4B．x＜4C．x＞2D．x＜2
【分析】先利用解析式y＝x+2确定M点坐标，然后结合函数图象写出y＝kx+b在y＝x+2下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：把M（m，4）代入y＝x+2，得m+2＝4，
解得m＝2，
则M（2，4），
∵kx﹣2＜x﹣b，
∴kx+b＜x+2，
由图象得关于x的不等式kx+b＜x+2的解集为x＞2．
即关于x的一元一次不等式kx﹣2＜x﹣b的解集为x＞2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．（4分）在三张透明纸上，分别有∠AOB、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（ ）
①图1，∠AOB的角平分线；
②图2，过点P垂直于直线l的垂线；
③图3，点M与点N的对称中心．
A．①B．①②C．②③D．①②③
【分析】由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断①；根据垂直的性质可判断②；根据成中心对称的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分可判断③．
【解答】解：①经过点O进行折叠，使OA与OB重合，折痕纪委角平分线，故①能通过折叠透明纸实现；
②经过点P折叠，使折痕两边的直线l重合，折痕即为过点P垂直于直线l的垂线，故②能通过折叠透明纸实现；
③经过点N，M折叠，展开，展开，然后再折叠使点N，M重合，两次折痕的交点即为点N，M的对称中心，故③能通过折叠透明纸实现．
故选：D．
【点评】此题考查了角平分线的对称性，垂线的性质，中心对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
8．（4分）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出∠ABC的度数．
【解答】解：如图，
∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，
∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°，
∵BC∥AD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出∠BAD的度数是解题关键．
9．（4分）如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与水平方向的夹角为α（0°＜α＜90°），地下停车场层高CD＝3米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（ ）
A．3B．C．3sinαD．3csa
【分析】首先过C作CE⊥AD，垂足为E，可求得∠DCE的度数，然后在Rt△CDE中，由三角函数的性质即可得CE＝CD•cs20°，继而求得答案．
【解答】解：过C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵斜坡AD与水平方向的夹角为α，
∴∠BAD＝α，
∴∠DCE＝α，
在Rt△CDE中，CE＝CD•csα＝3csα（米），
故在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是3csα米．
故选：D．
【点评】此题考查了坡度坡角问题，解题的关键是根据题意构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且A（﹣6，0），S矩形OABC＝24．反比例函数的图象与边AB，BC交于点D，E，连接DE，DC，则当△DCE的面积最大时，k的值为（ ）
A．﹣24B．﹣12C．﹣6D．﹣4
【分析】根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
【解答】解：∵A（﹣6，0），S矩形OABC＝24，
∴OA＝6，
∴OC＝4，
∴C（0，4），
∴D（﹣6，），E（，4），
∴CE＝﹣，BD＝4+，
∴S△DCE＝CE•BD＝•（﹣）（+4）＝﹣k2﹣k＝﹣（k+12）2+3，
∴当k＝﹣12时，△ADE的面积最大．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，表示出△DCE的面积是解本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是 40°或100° ．
【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．
【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；
当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；
综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．
故答案为：40°或100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
12．（4分）解不等式组：的解集是 x＜﹣4 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜﹣4，
解不等式②得：x＜﹣2，
∴原不等式组的解集为：x＜﹣4，
故答案为：x＜﹣4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
13．（4分）分式方程的解是 x＝﹣2 ．
【分析】方程两边都乘x（x﹣3）得出2（x﹣3）＝5x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘x（x﹣3），得2（x﹣3）＝5x，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x（x﹣3）≠0，
所以x＝﹣2是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
14．（4分）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB′于点P．若BC＝12，则MP+MN＝ 6 ．
【分析】先把图补全，由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，证明GN是△ABC的中位线，得GN＝6，可得答案．
【解答】解：如图2，延长NM交AB于点G，
由折叠得：AM＝MD，MN⊥AD，AD⊥BC，
∴GN∥BC，
∴AG＝BG，
∴GN是△ABC的中位线，
∴GN＝BC＝×12＝6，
∵PM＝GM，
∴MP+MN＝GM+MN＝GN＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明GN是△ABC的中位线是解本题的关键．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数，的图象上，且整式x2﹣ax+1是一个完全平方式，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB，PQ，已知点A的纵坐标为﹣2．
（1）点A的坐标为 （﹣1，﹣2） ；
（2）若点B的横坐标为2，四边形APQB的面积为8，则线段AB所在直线的函数表达式为 y＝x+ ．
【分析】（1）根据完全平方式得a＝2，进而可得，再将y＝﹣2代入即可求解；
（2）依题意可设点B的坐标为，利用S△ABC﹣S△PCQ＝S四边形APQB可求得b＝10，进而可得B（2，10），设线段AB所在直线的函数表达式为y＝k1x+b1，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）由图得：a＞0，
∵整式x2﹣ax+1是一个完全平方式，
∴a＝2×1×1＝2，
∴y1＝（x＜0），
将y＝﹣2代入y1＝（x＜0）得﹣2＝（x＜0），
解得：x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）；
（2）依题意可设点B的坐标为，
由（1）得：A（﹣1，﹣2），
∵AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，
∴AP＝2，，BQ＝2，CQ＝1，
∴AC＝AP+CP＝2+＝，BC＝BQ+CQ＝3，
∵四边形APQB的面积为8，
∴×3×﹣××1＝8，
解得：b＝10，
∴B（2，5），
设线段AB所在直线的函数表达式为y＝k1x+b1，
将A（﹣1，﹣2）和B（2，5）代入得：
，
解得：，
∴线段AB所在直线的函数表达式为y＝x+，
故答案为：y＝x+．
【点评】本题考查了求反比例函数的解析式及一次函数的解析式、完全平方式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
三、解答题
16．（6分）计算：cs30°+tan45°﹣tan60°•cs245°．
【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝+1﹣×（）2
＝+1+×
＝+1﹣
＝1．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
17．（6分）已知，且3a﹣2c＝﹣8，求2c﹣3b+4a的值．
【分析】设a＝2k，b＝3k，c＝5k，根据3a﹣2c＝﹣8，求出k＝2，即可得a＝4，b＝6，c＝10，然后代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k，
∵3a﹣2c＝﹣8，
∴6k﹣10k＝﹣8，
解得k＝2，
∴a＝4，b＝6，c＝10，
∴2c﹣3b+4a＝20﹣18+16＝18．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．
18．（6分）2023年9月26日正式开园的合肥园博园汇聚了31个国内展园和7个国际展园，展示了中国传统园林和世界各地的园林艺术．自开园以来，受到广大市民和全国游客的热烈欢迎，成为又一打卡地．据统计某日A入口比B入口入园游客多1.2万人．第二天A入口人园游客增加了10%，B入口人园游客减少了10%，当天A、B入口人园游客总人数增加了3%，试求第二天A、B入口入园游客的人数各是多少万人？
【分析】设某日A入口入园游客有x万人，B入口入园游客有（x﹣1.2）万人，则第二天A入口人园游客有（1+10%）x，B入口人园游客有（1﹣10%）（x﹣1.2），根据当天A、B入口人园游客总人数增加了3%，列出方程求解即可．
【解答】解：设某日A入口入园游客有x万人，B入口入园游客有（x﹣1.2）万人，则第二天A入口人园游客有（1+10%）x，B入口人园游客有（1﹣10%）（x﹣1.2），
根据题意得：（1+10%）x+（1﹣10%）（x﹣1.2）＝（1+3%）[x+（x﹣1.2）]，
整理得：2x﹣1.08＝2.06x﹣1.236，
解得：x＝2.6，
则（1+10%）×2.6＝2.86（万人），（1﹣10%）×（2.6﹣1.2）＝1.26（万人），
答：第二天A入口入园人数为2.86万人，B入口入园人数为1.26万人．
【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找到等量关系是关键．
19．（6分）观察以下等式：
第1个等式：23﹣3×1×2＝13+1
第2个等式：33﹣3×2×3＝23+1
第3个等式：43﹣3×3×4＝33+1
第4个等式：53﹣3×4×5＝43+1
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： 63﹣3×5×6＝53+1 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）根据等式的规律写出第5个等式即可；
（2）写出规律的通项公式即可．
【解答】解：（1）∵第1个等式：23﹣3×1×2＝13+1，
第2个等式：33﹣3×2×3＝23+1，
第3个等式：43﹣3×3×4＝33+1，
第4个等式：53﹣3×4×5＝43+1，
∴第5个等式：63﹣3×5×6＝53+1，
故答案为：63﹣3×5×6＝53+1；
（2）猜想的第n个等式为：（n+1）3﹣3×（n+1）×n﹣1＝n3；证明如下：
（n+1）3﹣3×（n+1）×n﹣1
＝n3+3n2+3n+1﹣3n2﹣3n﹣1
＝n3．
【点评】本题考查了数字的变化规律，发现规律是解答本题的关键．
20．（6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点△ABC和格点O（格点为网格线的交点）．
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
【分析】（1）以点O为对称点得到旋转后的点，连接即可；
（2）先根据平移的方式得到点，连接即可．
【解答】解：（1）以点O为对称点得到旋转后的点，然后再连接，如图所示：
；
（2）按照平移的方式，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三个点，连接即可，如图所示：
．
【点评】本题考查了画旋转图形、平移作图：正确得到图形是解题的关键．
21．（6分）如图，在等腰△ABC中，以腰AC为直径的⊙O交底边BC于点D，过点D的切线交AB于E．
（1）求证：∠AED＝90°；
（2）若AE＝2，DE＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，利用直径所对的圆周角是90°，等腰三角形的三线合一的性质，垂直的意义和平行线的性质，圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质，证明△AED∽△ADC可得解答即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，则OD⊥DE，
∵OD＝OC，
∴∠1＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠1＝∠B，
∴OD∥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠AED＝90°；
（2）解：如图，连接AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠1+∠ADO＝90°，
∵DE⊥OD，
∴∠2+∠ADO＝90°，
∴∠2＝∠1＝∠C，
又∵∠AED＝∠ADC＝90°，
∴△AED∽△ADC，
∴，
∴，
故⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了圆的切线判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22．（6分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有 20 人，表中的m＝ 6 ，扇形统计图中α的度数是 54° ；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
【分析】（1）由A、B、D、E四组的人数除以所占百分比得出这次被调查身高的志愿者人数，即可解决问题；
（2）画树状图，求得有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次被调查身高的志愿者有：（3+2+5+4）÷（1﹣30%）＝20（人），
∴m＝20×30%＝6，
扇形统计图中α的度数是：360°×＝54°，
故答案为：20，6，54°；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，
∴P（刚好抽中两名女志愿者）＝＝．
【点评】本题考查了树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（6分）如图，为探究一类矩形ABCD的性质，小明在BC边上取一点E，连接DE，经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上，据此解决下列问题：
（1）求证：△AFD≌△DCE；
（2）如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．求证：EF•DF＝GF•CF．
【分析】（1）利用矩形的性质和翻折的性质可得AF＝CD，从而利用AAS证明结论；
（2）利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明△GEF∽△DCF，由相似三角形的性质得，从而解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC＝45°，
∴∠DEC＝90°﹣∠EDC＝45°，
∵将△ABE沿AE折叠至△AFE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF，∠AFD＝∠B＝90°，
∴AF＝AB＝DC，
在△AFD与△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（AAS）；
（2）证明：∵△AFD≌△DCE，
∴AD＝DE，AF＝DF＝DC＝CE，
∴∠DCF＝∠DFC＝（180°﹣∠EDC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，
由折叠知：△ABE≌△AFE，
∴∠BEA＝∠FEA＝（180°﹣∠DEC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，
即∠GEF＝∠EFG＝∠DCF＝∠DFC，
∴△GEF∽△DCF，
∴，
∴EF•DF＝GF•CF．
【点评】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，翻折的性质以及全等三角形的判定与性质，是解题的关键．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△DFE的顶点E，F在x轴上，DF⊥EF且OF＝DF＝EF，x轴上有两点A（﹣1，0），B（﹣3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B两点，且与y轴正半轴交于点C，，点F（2，0），将△DFE沿x轴向左平移，平移距离为m（m＞0）．
（1）求a、b、c的值；
（2）当点D首次落在抛物线上，求m的值；
（3）当抛物线落在△DFE内的部分，满足y随x的增大而增大时，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）由A（﹣1，0），＝3，求得OC＝3OA＝3，则C（0，3），将A（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，列方程组并且解该方程组，求得a、b、c的值分别为1、4、3；
（2）因为点E，F在x轴上，DF⊥EF，F（2，0），所以DF⊥x轴，OF＝DF＝EF＝2，由平移得D（2﹣m，2），再由（2﹣m）2+4（2﹣m）+3＝2，求得符合题意的m值为4﹣；
（3）当点D首次落在抛物线上，m＝4﹣，由A（﹣1，0），B（﹣3，0），求得AB＝EF＝2，所以当点F与点B重合时，则点E于点A重合，由2﹣m＝﹣3，求得m＝5，即可求得m的取值范围是4﹣＜m＜5．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），＝3，
∴OA＝1，
∴OC＝3OA＝3，
∴C（0，3），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴a、b、c的值分别为1、4、3．
（2）由（1）得抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，
∵E，F在x轴上，DF⊥EF，F（2，0），
∴DF⊥x轴，OF＝DF＝EF＝2，
由平移得D（2﹣m，2），
当点D首次落在抛物线上，则（2﹣m）2+4（2﹣m）+3＝2，
解得m1＝4﹣，m2＝4+（不符合题意，舍去），
∴m的值为4﹣．
（3）m的取值范围是值4﹣＜m＜5，
理由：由（2）得当点D首次落在抛物线上，m＝4﹣，
∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），
∴AB＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∴AB＝EF，
∴当点F与点B重合时，则点E于点A重合，
∵2﹣m＝﹣3，
∴m＝5，
∴当抛物线落在△DFE内的部分，满足y随x的增大而增大时，m的取值范围是4﹣＜m＜5．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、平移的性质、一次方程组及一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
25．（6分）【活动探究】在数学课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E，F分别是BC，CD边上一点，若∠EAF＝60°，试猜想△AEF的形状，不用证明．
【尝试实践】小美受此启发，她尝试将“∠EAF＝60°”改为“∠AFE＝60°”，通过测量验证发现猜想仍然成立，并进一步思考证法：如图2，过点F作FH∥AC，求证△AHF≌△FCE⋯⋯
请你按照小美的思路进一步思考，并解答这个问题．
【拓展应用】小玲在老师问题上进一步改编：如图3，过C作CG⊥AB于点G，当EF的中点M经过CG时，请直接写出EF的长度．
【分析】尝试实践：过点F作FH∥AC，利用ASA证明△AHF≌△FCE，即可得到结论；
拓展应用：过点E作EH⊥CG于点H，则有△ABE≌△ACF，即可得到CF＝EH，设BE＝CF＝EH＝x，根据△CHE∽△CGB，求出BE＝2，然后点A作AN⊥BC于点N，然后根据勾股定理和等边三角形的性质解题即可．
【解答】解：【活动探究】△AEF是等边三角形．
理由：∵菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝AC，，
又∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形；
【尝试实践】过点F作FH∥AC，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴，
∵FH∥AC，
∴∠DHF＝∠DAC＝∠ACD＝∠HFD＝60°，
∴△DHF是等边三角形，∠AHF＝∠CFH＝120°＝∠BCF，
∴DH＝DF，
又∵AD＝CD
∴AH＝CF，
又∵∠AHF＝∠CFH＝120°，
∴∠EFC+∠AFH＝∠AFH+∠FAH＝60°，
∴∠EFC＝∠FAH，
∴△AHF≌△FCE（ASA），
∴AF＝EF，
∴△AEF是等边三角形；
【拓展应用】过点E作EH⊥CG于点H，
∵CG⊥AB，
∴∠BGC＝∠EHC＝90°，
又∵ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠BGC＝∠GCF＝90°＝∠EHC，
又∵M是EF的中点，
∴EM＝MF，
又∵∠EMH＝∠FMC，
∴CF＝EH，
由（1）可得△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF，
又∵CG⊥AB，
∴，
设BE＝CF＝EH＝x，
∵∠BGC＝∠EHC＝90°，∠BCG＝∠ECH，
∴△CHE∽△CGB，
∴，即，
解得：x＝2，即BE＝2，
过点A作AN⊥BC于点N，
则，，
∴EN＝BN﹣BE＝3﹣2＝1，
∴，
又∵△AEF是等边三角形，
∴．
【点评】本题属于四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/8 12:21:25；用户：初中数学；邮箱：nmgjh@xyh.cm；学号：21229544组别
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A
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