高考数学第一轮复习复习培优课(四)　隐圆问题（讲义）

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利用圆的定义或圆的几何性质确定圆
[典例1] (2022·河南许昌三模)已知M,N为圆C:x2+y2-2x-4y=0上两点,且|MN|=4,点P在直线l:x-y+3=0上,则|PM→+PN→|的最小值为( )
A.22-2B.22
C.22+2D.22-5
解析:设线段MN的中点为D,圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),半径为 5.C到直线MN的距离为(5)2-(42) 2=1,所以|CD|=1,故点D的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆,设点D的轨迹为圆C′,圆C′上的点到直线l的最短距离为t=|1-2+3|2-1=2-1,所以|PM→+PN→|=|2PD→|=2|PD→|≥2t=22-2.故选A.
在平面内到定点的距离等于常数,则这个点的轨迹是一个圆.解决这类问题只要抓住两个关键词:定点,定长.然后再化归为圆中的有关问题去解即可.
[拓展演练1] 设A是圆(x+1)2+y2=9上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=4,则点P到点Q(5,8)距离的最小值为( )
A.4B.5C.6D.15
解析:由圆(x+1)2+y2=9,可知圆心C(-1,0),半径为3,又|PA|=4,
所以|PC|2=|PA|2+32=25,即点P的轨迹方程为(x+1)2+y2=25.
故点P到点Q(5,8)距离的最小值为(5+1)2+82-5=5.故选B.
阿波罗尼斯圆
[典例2] 已知圆心C在直线y=2x-4上的圆的半径为1,点A(0,3),若圆C上存在点M,使得|MA|=2|MO|(O为坐标原点),则圆心C的横坐标 a的最大值是( )
A.45B.85C.125D.165
解析:因为圆C的圆心在直线y=2x-4上,
所以圆C的方程设为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.
设M(x,y),由|MA|=2|MO|,
可得x2+(y-3)2=2x2+y2,
化简可得x2+(y+1)2=4,点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
由题意点M(x,y)在圆C上,
则圆C和圆D有公共点,
即|2-1|≤|CD|≤2+1,
所以1≤(a-0)2+(2a-4+1)2≤3,
即5a2-12a+8≥0,且5a2-12a≤0,
由5a2-12a+8≥0,可得a∈R,
由5a2-12a≤0,
可得0≤a≤125,圆心C的横坐标a的取值范围为[0,125].故选C.
(1)在平面上给定两点A,B,设点P在同一平面上且满足|PA||PB|=λ,当λ>0且λ≠1时,点P的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆.λ=1时点P的轨迹是线段AB的中垂线.
(2)如图,A,B为两已知点,P,Q分别为线段AB的定比为λ(λ≠1)的内外分点,则以PQ为直径的圆O上任意点到A,B两点的距离之比为λ,|AB|=a.
性质1.当λ>1时,点B在圆O内,点A在圆O外;
当00),故所有满足PA→·PB→-2λ+1=0的点P在以O为圆心,2λ为半径的圆上.
过点O作OM⊥AC,垂足为点M,由题意知线段AC与圆x2+y2=2λ有两个交点,
所以|OM|