高考数学第一轮复习复习第9节　直线与圆锥曲线中的最值与范围问题（讲义）

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最值问题
基本不等式法求最值
[例1] 已知平面内一动点M与两定点B1(0,-1),B2(0,1)的连线的斜率之积为-12.
(1)求动点M的轨迹E的方程;
(2)设直线l:y=x+m与轨迹E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,当m变化时,求△PAB面积的最大值.
解:(1)设M的坐标为(x,y),
依题意得y+1x·y-1x=-12,
化简得x22+y2=1(x≠0).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x22+y2=1,y=x+m,
消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0,
所以x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23,
且Δ=(4m)2-12(2m2-2)>0,
即-3设A,B中点为C,点C横坐标为xC=x1+x22=-2m3,yC=xC+m=m3,
所以线段AB的垂直平分线方程为
y-m3=-(x+2m3),所以点P的坐标为(-m3,0),
所以点P到AB的距离d=23m2.
由弦长公式得|AB|=2·(x1+x2)2-4x1x2=23·24-8m2,
所以S△PAB=12×23m2×23×24-8m2=229m2(3-m2)≤229·m2+3-m22=23.
当且仅当m2=32,即m=±62时,等号成立,
经检验m=±62符合题意.
所以△PAB面积的最大值为23.
利用基本不等式法求解直线与圆锥曲线的交点有关的最值问题时,主要是把待求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后将函数变形为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值.
构造目标函数求最值
[例2] (2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
解:(1)由题意知M(0,-4),F(0,p2),圆M的半径r=1,所以|MF|-r=4,
即p2+4-1=4,解得p=2.
(2)由(1)知,抛物线方程为x2=4y,
由题意可知直线AB的斜率存在,设A(x1,x124),B(x2,x224),直线AB的方程为y=kx+b,
联立得y=kx+b,x2=4y,消去y,得x2-4kx-4b=0,
则Δ=16k2+16b>0,(※)
x1+x2=4k,x1x2=-4b,
所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·
(x1+x2)2-4x1x2=41+k2·k2+b.
因为x2=4y,即y=x24,所以y′=x2,
则抛物线在点A处的切线斜率为x12,
在点A处的切线方程为y-x124=x12(x-x1),
即y=x12x-x124.
同理得抛物线在点B处的切线方程为y=x22x-x224,
联立得y=x12x-x124,y=x22x-x224,则x=x1+x22=2k,y=x1x24=-b,
即P(2k,-b).因为点P在圆M上,
所以4k2+(4-b)2=1,①
且-1≤2k≤1,-5≤-b≤-3,
即-12≤k≤12,3≤b≤5,满足(※)式.
设点P到直线AB的距离为d,则d=|2k2+2b|1+k2,
所以S△PAB=12|AB|·d=4(k2+b)3.
由①得,k2=1-(4-b)24=-b2+8b-154,
令t=k2+b,则t=-b2+12b-154,且3≤b ≤5.
因为t=-b2+12b-154在[3,5]上单调递增,所以当b=5时,t取得最大值,tmax=5,此时k=0,所以△PAB面积的最大值为205.
动直线与圆锥曲线相交形成的与交点有关的最值问题,若最值的关系式可以转化为某一变量的函数关系式,可以用函数最值的有关知识(二次函数的配方法,以及利用导数研究函数的单调性法等)求最值,在求最值时,要注意变量的取值范围对最值的影响.
[针对训练]
1.如图,已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线E上的点到准线的最小距离为1.
(1)求抛物线E的方程;
(2)过点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线E交于A,B两点,l2与抛物线E交于C,D两点,M,N分别为弦AB,CD的中点,求|MF|·|NF|的最小值.
解:(1)因为抛物线E上的点到准线的最小距离为1,所以p2=1,解得p=2,
所以抛物线E的方程为y2=4x.
(2)由(1)可知焦点F为(1,0),由已知可得AB⊥CD,所以直线AB,CD的斜率都存在且均不为0.
设直线AB的斜率为k(k≠0),则直线CD的斜率为-1k,
所以直线AB的方程为y=k(x-1),联立方程y=k(x-1),y2=4x,消去x,得ky2-4y-4k=0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,因为M(xM,yM)为弦AB的中点,所以yM=12(y1+y2)=2k.由yM=k(xM-1),得xM=yMk+1=2k2+1,所以点M(2k2+1,2k),同理可得N(2k2+1,-2k),所以|NF|=(2k2+1-1)2+(-2k)2=
2k2(k2+1),|MF|=(2k2+1-1) 2+(2k) 2=21+k2k2,
所以|MF||NF|=21+k2k2×2k2(k2+1)=4×1+k2|k|=4(1|k|+|k|)≥4×21|k|·|k|=8.
当且仅当1|k|=|k|,即k=±1时,等号成立,所以|MF||NF|的最小值为8.
2.已知抛物线C:y2=2px(p>0),A是C上位于第一象限内的动点,且A到点B(32p,0)的距离的最小值为22.直线AB与C交于另一点D,E是C上位于直线AB下方的动点.
(1)求p的值;
(2)当|AB|=22,求△ADE的面积取最大值时点E的坐标.
解:(1)设A(a22p,a) (a>0),
则|AB|=(a22p-32p) 2+a2
=a44p2-a22+9p24=14p2(a2-p2)2+2p2,
故当a2=p2时,|AB|min=2p=22,
故p=2.
(2)由(1)可得B(3,0)且A(1,2),
故直线AB的斜率为0-23-1=-1.
AB方程为x=-y+3,由x=-y+3,y2=4x消去x,
得y2+4y-12=0,故y=2或y=-6.
因为D在x轴下方,故yD=-6,所以xD=9,
故|AD|=(9-1)2+(-6-2)2=82,
设E(b24,b),其中-6又E到直线AB:x=-y+3的距离为d=b24+b-32,
故f(b)=b24+b-3=14(b+2)2-4的取值范围为[-4,0),
故b24+b-3的最大值为4,此时△ADE的面积最大,此时点E的坐标为(1,-2).
范围问题
[例3] 已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(2,3)为椭圆上一点,且|PF1|+|PF2|=8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx-4交椭圆C于A,B两点,且原点O在以线段AB为直径的圆的外部,试求实数k的取值范围.
解:(1)由题意可得4a2+9b2=1,2a=8,解得a2=16,b2=12,
所以椭圆C的标准方程为x216+y212=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由x216+y212=1,y=kx-4,
得(4k2+3)x2-32kx+16=0,
所以x1+x2=32k4k2+3,x1x2=164k2+3.
由Δ>0,得(-32k)2-4×16(4k2+3)>0,
解得k>12或k<-12.①
原点O在以线段AB为直径的圆的外部,
则OA→·OB→>0,
所以OA→·OB→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-4)·(kx2-4)=(k2+1)x1x2-4k(x1+x2)+16=
(k2+1)·164k2+3-4k·32k4k2+3+16=16(4-3k2)4k2+3>0,
解得-233由①②得实数k的取值范围是(-233,-12)∪(12,233).
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
[针对训练] 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为1,离心率为32.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过P(λ,0)的直线l与椭圆交于相异两点A,B,且AP→=2PB→,求实数λ的取值范围.
解:(1)由题意知2b=1,ca=32,a2=b2+c2,解得a=1,b=12,所以椭圆的标准方程为x2+y214=1.
(2)设B(x0,y0),A(x1,y1),
由AP→=2PB→得(λ-x1,-y1)=2(x0-λ,y0),
从而x1=3λ-2x0,y1=-2y0,
则A(3λ-2x0,-2y0),
因为点A在椭圆x2+4y2=1上,
故(3λ-2x0)2+4(-2y0)2=1,
即9λ2-12λx0+4(x02+4y02)-1=0,
又x02+4y02=1,
所以x0=3λ2+14λ,由椭圆定义知|x0|≤1,
故3λ2+14λ≤1,
两边平方解得λ∈-1,-13∪13,1,
又由题意知λ≠±1,
所以实数λ的取值范围是(-1,-13]∪[13,1).
[例1] (2022·陕西咸阳模拟)已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,且经过点A(0,2).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P,Q,设PQ中点为M,求三角形BOM面积的取值范围.
解:(1)由题意可得e=ca=2,又双曲线经过点A(0,2),则有4a2=1,所以a2=4,c2=8,
因为c2=a2+b2,故b2=c2-a2=4,
所以双曲线C的方程为y24-x24=1.
(2)设直线PQ的方程为x-2=my(m≠0),
与双曲线C方程联立,
x-2=my,y2-x2=4,消去x,得(1-m2)y2-4my-8=0.
设P,Q的纵坐标分别为y1,y2,则有
1-m2≠0,Δ=16m2+32(1-m2)>0,y1+y2=4m1-m2<0,y1y2=-81-m2>0,解得1设点M的纵坐标为y0,由题意知点M为PQ的中点,则y0=y1+y22=2m1-m2,
所以S△BOM=12·|OB|·|y0|=12×2×2m1-m2=2mm2-1.
设f(x)=2xx2-1,1则f′(x)=-2x2-2(x2-1)2<0在(1,2)上恒成立,
所以f(x)在(1,2)上单调递减,
则f(x)>f(2)=22,
故三角形BOM面积的取值范围为(22,+∞).
[例2] 已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,D(x0,y0)为AB的中点,且|AF|+|BF|=1+2x0.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若x1x2+y1y2=-1,求x0|AB|的最小值.
解:(1)根据抛物线的定义知,
|AF|+|BF|=x1+x2+p,x1+x2=2x0,
因为|AF|+|BF|=1+2x0,
所以p=1,
所以y2=2x.
(2)设直线l的方程为x=my+b,
代入抛物线的方程,得y2-2my-2b=0,
所以y1+y2=2m.
因为x1x2+y1y2=-1,
即y12y224+y1y2=-1,所以y1y2=-2.
|AB|=1+m2|y1-y2|
=1+m2·(y1+y2)2-4y1y2
=21+m2·m2+2,
x0=x1+x22=y12+y224=14[(y1+y2)2-2y1y2]=m2+1,
所以x0|AB|=m2+12m2+1·m2+2,
令t=m2+1,t∈[1,+∞],
则x0|AB|=t2t·t+1=121+1t≥24(当且仅当t=1时,等号成立).
即x0|AB|的最小值为24.
[选题明细表]
1.(2022·江苏盐城三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(22,1),渐近线方程为y=±12x,直线l是双曲线C右支的一条切线,且与C的渐近线交于A,B两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值.
解:(1)由题意可知8a2-1b2=1,ba=12,解得a=2,b=1,
所以双曲线C的方程为x24-y2=1.
(2)当直线l斜率不存在时,易知点M到y轴的距离为2;
当直线l斜率存在时,设l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x24-y2=1,y=kx+m,
消去y,得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0,
依题意Δ=64k2m2-16(4k2-1)(m2+1)=0,且4k2-1≠0,整理得m2=4k2-1
(k≠±12),且-8km4k2-1=-8km>0,则km<0.
联立y=±x2,y=kx+m,得x1=2m1-2k,x2=-2m1+2k,
则x1+x2=2m1-2k-2m1+2k=8mk1-4k2=-8km,
则xM=x1+x22=-4km,xM2=16k2m2=4+4m2>4,
则此时点M到y轴的距离大于2.
综上所述,点M到y轴的最小距离为2.
2.平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),直线x+y=1与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,a≠b)交于M,N两点,且以MN为直径的圆过原点,若双曲线的离心率不大于3,求双曲线实轴长的取值
范围.
解:由x+y=1,b2x2-a2y2=a2b2,消去y并整理,
得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0(a≠b),
则Δ=4a4+4(b2-a2)(a2+a2b2)=4a2b2(b2+1-a2)>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=2a2a2-b2,x1x2=a2+a2b2a2-b2,
因为以MN为直径的圆过原点,
所以OM→·ON→=x1x2+y1y2=0,
于是x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1=2(a2+a2b2)a2-b2-2a2a2-b2+1=2a2b2a2-b2+1=0,
从而有b2=a21-2a2,0整理得00,因此0则0<2a≤1.
所以双曲线实轴长的取值范围为(0,1].
3.(2022·青海西宁一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=22,点(-2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆内一点P(0,t)的直线l的斜率为k,且与椭圆C交于M,N两点,设直线OM,ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,若对任意k,存在实数λ,使得k1+k2=λk,求实数λ的取值范围.
解:(1)椭圆C的离心率e=a2-b2a=22,
所以a=2b,
又点(-2,1)在椭圆上,所以2a2+1b2=1,
解得a=2,b=2,
所以椭圆C的方程为x24+y22=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+t.
由x24+y22=1,y=kx+t,
消去y,得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=-4kt2k2+1,x1x2=2t2-42k2+1,
而k1+k2=y1x1+y2x2=kx1+tx1+kx2+tx2=2k+t(x1+x2)x1x2=-4kt2-2.
由k1+k2=λk,得-4kt2-2=λk,因为此等式对任意的k都成立,所以-4t2-2=λ,即t2=2-4λ.
由题意得点P(0,t)在椭圆内,故0≤t2<2,
即0≤2-4λ<2,解得λ≥2,
所以实数λ的取值范围为[2,+∞).
4.(2021·全国乙卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ→=9QF→,求直线OQ斜率的最大值.
解:(1)由抛物线的定义可知,焦点F到准线的距离为p,故p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由(1)知F(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则PQ→=(x2-x1,y2-y1),QF→=(1-x2,-y2),
因为PQ→=9QF→,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,
可得x1=10x2-9,y1=10y2,
又点P在抛物线C上,
所以y12=4x1,即(10y2)2=4(10x2-9),
化简得y22=25x2-925,
则点Q的轨迹方程为y2=25x-925.
设直线OQ的方程为y=kx,
易知当直线OQ与曲线y2=25x-925相切时,斜率可以取最大,联立y=kx与y2=25x-925并化简,
得k2x2-25x+925=0,
令Δ=(-25) 2-4k2·925=0,解得k=±13,
所以直线OQ斜率的最大值为13.
5.已知双曲线C的两焦点在坐标轴上,且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2,焦距为23,且点P(0,-1)到渐近线的距离为33.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A,B,交双曲线C的两条渐近线于点D,E(D在y轴左侧).记△ODE和△OAB的面积分别为S1,S2,求S1S2的取值范围.
解:(1)由2a=2,2c=23知a2=1,c2=3,
所以b2=2,
故双曲线C的方程为x2-y22=1或y2-x22=1.
由点P(0,-1)到渐近线的距离为33,
知双曲线方程为x2-y22=1.
(2)由题意,得直线l的斜率存在,
所以设l:y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由y=kx-1,y=2x,可得xD=1k-2.
由y=kx-1,y=-2x,可得xE=1k+2.
|DE|=1+k21k-2-1k+2=22·1+k2|k2-2|,
由y=kx-1,2x2-y2=2,
消去y,得(2-k2)x2+2kx-3=0,
所以x1+x2=-2k2-k2,x1x2=-32-k2,
所以|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·22·3-k2|2-k2|.
由△ODE和△OAB的高相等,
可得S1S2=|DE||AB|=13-k2,
由2-k2≠0,4k2+12(2-k2)>0,-32-k2<0,
得-26.(2022·山东潍坊三模)已知O为坐标原点,定点F(1,0),M是圆O:x2+y2=4内一动点,圆O与以线段FM为直径的圆内切.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若直线l与动点M的轨迹交于P,Q两点,以坐标原点O为圆心,1为半径的圆与直线l相切,求△POQ面积的最大值.
解:(1)设M(x,y),又F(1,0)在圆O:x2+y2=4内,且圆O与以线段FM为直径的圆内切,
所以以线段FM为直径的圆的圆心为(x+12,y2),
则12(x-1)2+y2=2-(x+1)24+y24,
即(x-1)2+y2=4-(x+1)2+y2,
则x2-2x+1+y2=4-x2+2x+1+y2,
所以x24+y23=1,
又M是圆O:x2+y2=4内一动点,故x≠±2,
故M的轨迹方程为x24+y23=1且x≠±2.
(2)由题意知O到直线l的距离为1,要使△POQ面积最大,只需|PQ|最大.
若直线l斜率不存在,直线l:x=±1,
此时yP=32,yQ=-32,
所以|PQ|=3,则△POQ面积为32;
若直线l的斜率存在,令直线l:y=kx+b,
因为|b|1+k2=1,所以b2=1+k2.
由x24+y23=1,y=kx+b,
消去y,得(4k2+3)x2+8kbx+4b2-12=0,
则xP+xQ=-8kb4k2+3,xPxQ=4b2-124k2+3,
所以|PQ|=1+k2·|xP-xQ|=1+k2·(xP+xQ)2-4xPxQ=
4(1+k2)(12k2+9-3b2)4k2+3=43·(1+k2)(3k2+2)4k2+3,
令t=4k2+3≥3,则|PQ|=3·-1t2+2t+3=3·-(1t-1) 2+4,而0<1t≤13,
所以|PQ|max=463,此时△POQ面积最大,最大值为263.综上,△POQ面积的最大值为263.
知识点、方法
题号
最值问题
1,4,6
范围问题
2,3,5