辽宁省葫芦岛市绥中县2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省葫芦岛市绥中县2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 7B. 9C. 18D. 12
2. 下列给出的四组线段中，能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2， 2, 3C. 6，8，14D. 5，12，13
3. 下列计算中，正确的是( )
A. 3+ 2= 5
B. 3+ 3=3 3
C. 3 2- 2=2 2
D. 18- 82= 9- 4=3-2=1
4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列选项不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=DC，AD=BC
B. AB//DC，AD=BC
C. AO=CO，OB=OD
D. ∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB
5. 如图，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC的中点，CD=8，则OE=( )
A. 3B. 4C. 5D. 7
6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b-a|- a2的结果是( )
A. aB. -bC. bD. a-2b
7. 下列命题的逆命题是假命题的是( )
A. 同旁内角互补，两直线平行
B. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
C. 若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等
D. 全等三角形的对应边相等
8. 数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得∠D=60°，对角线AC长为16cm，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为( )
A. 8cmB. 4 2cmC. 16cmD. 16 2cm
9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为( )
A. 8B. 6C. 4D. 3
10. 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点P从点B出发，沿折线BC-CD方向移动，移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )
A. 直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B. 直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C. 直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D. 等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 若二次根式 x-2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
12. 已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系 c2-a2-b2+|a-b|=0，则△ABC的形状为______ ．
13. 写出比2大且比15小的整数______．
14. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是______．
15. 如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件______，使四边形ABCD是菱形．(只需添加一个即可)
16. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是______ 尺.
17. 如图，P是面积为10的平行四边形ABCD内任意一点，若△PAB的面积为2，则△PCD的面积为______ ．
18. 如图，在边长为3的正方形ABCD中，E是AB边上的点，且AE=2，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ的周长的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1)( 12+ 20)-( 3- 5)；
(2)(2 48-3 27)÷ 6．
20. (本小题8.0分)
已知a=3+2 2，b=3-2 2，分别求下列代数式的值：
(1)a2-b2；
(2)a2-2ab+b2．
21. (本小题6.0分)
如图，为预防新冠疫情，某小区人口的正上方A处装有红外线激光测温仪，测温仪离地面的距离AB=2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时(即BC=0.8米)，测温仪自动显示体温，求此时人头顶离测温仪的距离AD．
22. (本小题6.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD=12，DO=OB=5，AC=26，∠ADB=90°，求BC的长．
23. (本小题8.0分)
一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．
24. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，CE/​/BD交AD的延长线于点E，CE=AC．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AB=8，AD=6，求四边形BCED的周长．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE到点F，使得EF=DE，连接AF，CF．
(1)根据题意，补全图形：
(2)求证：四边形ADCF是菱形；
(3)若AB=6，∠BAC=30°，求菱形ADCF的面积．
26. (本小题12.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
答案和解析
1.答案：A
解析：解：根据最简二次根式的定义可知，
7是最简二次根式；
9=3，因此 9不是最简二次根式；
18=3 2，因此 18不是最简二次根式；
12= 22，因此 12不是最简二次根式；
故选：A．
根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可．
本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确判断的关键．
2.答案：D
解析：解：A、∵1+2=3，
∴不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、∵( 2)2+( 3)2=5，22=4，
∴( 2)2+( 3)2≠22，
∴不能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵6+8=14，
∴不能组成三角形，
故C不符合题意；
D、∵52+122=169，132=169，
∴52+122=132，
∴能组成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.答案：C
解析：解：A、 3与 2不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、3与 3不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、3 2- 2=2 2，故C符合题意；
D、 18- 82=3 2-2 22= 22，故D不符合题意；
故选：C．
利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.答案：B
解析：解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
B、根据一组对边平行而另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
D、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
故选：B．
根据平行四边形的判定方法即可判断．
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
5.答案：B
解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=8，OC=OA，
∵点E是BC的中点，
∴CE=EB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴2OE=AB=8，
∴OE=4，
故选：B．
根据平行四边形的性质得出OC=OA，进而利用三角形中位线定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质和三角形的中位线定理，关键是根据平行四边形的对角线互相平分解答．
6.答案：B
解析：解：有数轴可得出：a>0，b-a<0，
故|b-a|- a2=-(b-a)-a=-b．
故选：B．
首先利用数轴得出a>0，b-a<0，进而利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，得出各项的符号是解题关键．
7.答案：C
解析：解：A、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为：若两实数的绝对值相等，则这两个数也相等，错误，是假命题，符合题意；
D、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意，
故选：C．
分别写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
8.答案：C
解析：解：如图1，图2中，连接AC．

图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，
∵∠D=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD=DC=AC=16cm，
∴正方形ABCD的边长为16cm，
故选：C．
如图1，图2中，连接AC.在图1中，证△ADC是等边三角形，得出AD=DC=AC=16cm即可得到答案．
本题考查菱形的性质、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，属于中考常考题型．
9.答案：C
解析：解：由题意可得，ab=6a2+b2=16，
∴小正方形的面积=(a-b)2=a2+b2-2ab=16-12=4，
故选：C．
利用整体代入的思想求出(a-b)2的值即可．
本题考查勾股定理的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.答案：C
解析：
分析：
本题主要考查了菱形的性质，涉及到等腰三角形、等边三角形和直角三角形的识别．
把点P从点B出发，沿折线BC-CD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可．
解答：
解：∵∠B=60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，
当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；
当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；
当点P在CD上且位于CD的中点时，则△ABP为直角三角形；
当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，
故选：C．
11.答案：x≥2
解析：解：∵二次根式 x-2在实数范围内有意义，
∴x-2≥0，解得x≥2．
故答案为：x≥2．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
12.答案：等腰直角三角形．
解析：解：∵ c2-a2-b2+|a-b|=0，
∴c2-a2-b2=0，a-b=0，
∴c2=a2+b2，a=b，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
根据题意得出c2=a2+b2，a=b进而得出△ABC的形状．
直接利用绝对值以及算术平方根的性质，得出a，b，c之间的关系是解题关键．
13.答案：2和3
解析：
分析：
本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出 2和 15的大小是解答此题的关键．先估算出 2和 15的大小，再找出符合条件的整数即可．
解答：
解：∵1< 2<2，3< 15<4，
∴比 2大且比 15小的整数是2和3。．
故答案为2和3．
14.答案： 5
解析：解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，
∴OB= OA2+AB2= 22+12= 5．
∴以点O为圆心，OB为半径与正半轴交点P表示的数为 5．
故答案为： 5．
根据勾股定理可计算出OB的长度，即点P在数轴正半轴表示的数．
本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算OB的长度是解题关键．
15.答案：OA=OC
解析：解：OA=OC，
∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．
此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．
16.答案：4.2
解析：解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10-x)尺，
根据勾股定理得：x2+42=(10-x)2，
解得：x=4.2，
∴折断处离地面的高度是4.2尺．
故答案为：4.2．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10-x)尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
17.答案：3
解析：解：过点P作PE⊥AB，垂足为E，延长EP交CD于点F，

∴∠PEA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴∠PEA=∠PFC=90°，
∴△ABP的面积+△PCD的面积=12AB⋅PE+12CD⋅PF
=12AB(PE+PE)
=12AB⋅EF
=12▱ABCD的面积
=12×10
=5，
∵△PAB的面积为2，
∴△PCD的面积=5-2=3，
故答案为：3．
过点P作PE⊥AB，垂足为E，延长EP交CD于点F，根据垂直定义可得∠PEA=90°，再利用平行四边形的性质可得AB=CD，AB/​/CD，从而可得∠PEA=∠PFC=90°，然后根据三角形的面积公式可得△ABP的面积+△PCD的面积=12▱ABCD的面积=5，最后进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键、
18.答案：1+ 13
解析：解：，
连接BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴DE的长即为BQ+QE的最小值，
∵正方形ABCD边长为3，
∴AB=3，
∵AE=2，
∴DE= AD2+AE2= 32+22= 13，BE=AB-AE=1，
∴BQ+QE= 13，
∴△BEQ的周长为：BE+BQ+QE=1+ 13．
故答案为：1+ 13．
本题先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出DE的长，最后求出△BEQ的最小周长．
本题主要考查了最短路径的知识、勾股定理的知识、正方形的知识，有一定的难度．
19.答案：解：(1)原式=2 3+2 5- 3+ 5
= 3+3 5；
(2)原式=( 192- 243)÷ 6
= 32- 2436
=4 2-9 22
=- 22．
解析：(1)直接化简二次根式进而计算得出答案；
(2)直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
20.答案：解：(1)∵a=3+2 2，b=3-2 2，
∴a+b=(3+2 2)+(3-2 2)=6，a-b=(3+2 2)-(3-2 2)=4 2，
∴a2-b2=(a+b)(a-b)=6×4 2=24 2；
(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=(4 2)2=32．
解析：(1)根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出a+b，a-b，再根据平方差公式计算；
(2)根据完全平方公式计算．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
21.答案：解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=2.4米，BE=CD=1.8米，ED=BC=0.8米，
∴AE=AB-BE=2.4-1.8=0.6(米)．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：
AD= AE2+DE2=1.0(米)，
故此时人头顶离测温仪的距离AD为1米．
解析：过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
22.答案：解：在△AOD中，∠ADB=90°，AD=12，OD=5，
根据勾股定理，得
OA2=OD2+AD2=52+122=169，
∴OA=13．
∵AC=26，OA=13，
∴OA=OC，
又∵DO=OB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴AD=BC=12．
解析：根据勾股定理求得OA的长，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等就可求得BC的长．
此题综合运用了勾股定理、平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23.答案：解：如图，根据题意，得
OA=30×1.5=45(千米)，OB=40×1.5=60(千米)，AB=75千米．
∵452+602=752，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，即第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°，
∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．
解析：根据路程=速度×时间分别求得OA、OB的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形OAB是直角三角形，从而求解．
此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据条件得出第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°是解题的关键．
24.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE/​/BC，
∵CE/​/BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴CE=BD．
∵CE=AC，
∴AC=BD．
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，∠DAB=90°，
∴BD= AB2+AD2= 82+62=10，
由(1)得：四边形BCED是平行四边形，
∴DE=BC=6，CE=BD=10，
∴四边形BCED的周长为2(BC+BD)=2×(6+10)=32．
解析：(1)根据平行四边形的性质得到AE/​/BC，推出四边形BCED是平行四边形，得到CE=BD.根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理得BD= 13.根据平行四边形的周长公式即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
25.答案：(1)解：补全图形如图所示．

(2)证明：∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴DE/​/BC，
∵AD=DB，
∴AE=EC，∵ED=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥DF，
∴四边形ADCF是菱形．
(3)解：在Rt△ACB中，∵AB=6，∠BAC=30°，
∴BC=12AB=3，AC= 3BC=3 3，
∵AE=EC，AD=DB，
∴DE=12BC=1.5，
∴DF=2DE=3，
∴S菱形ADCF=12⋅AC⋅DF=12×3 3×3=92 3．
解析：(1)根据题意画出图形即可；
(2)首先证明AE=CE，DE=EF，推出四边形ADCF是平行四边形，再根据AC⊥DF，推出四边形ADCF是菱形；
(3)求出菱形的对角线的长即可解决问题．
本题考查菱形的判定和性质、三角形的中位线定理、解直角三角形、平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26.答案：(1)证明：∵DE⊥BC．
∴∠DFB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC/​/DE，
∵MN/​/AB，即CE/​/AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD．
(2)解：四边形BECD是菱形．
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE．
∵BD/​/CE，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴平行四边形BECD是菱形．
(3)解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC．
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
解析：本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质以及正方形的判定，掌握相关判定和性质是解题的关键．
(1)先证出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2)先证明四边形BECD是平行四边形，再证明CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
(3)证出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．