高考数学第一轮复习复习培优课(五)　直线与圆锥曲线的位置关系（讲义）

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直线与圆锥曲线的位置关系的判断
[典例1] 已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2),讨论过点P的直线l的斜率的情况,使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点.
解:①当l垂直于x轴时,直线l与双曲线C相切,有一个公共点.
②当l与x轴不垂直时,设直线l的方程为
y-2=k(x-1),
与双曲线C的方程联立,消去y,
得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0.
当k2=2,即k=2或-2时,方程有一个解.
当k2≠2时,Δ=48-32k.
令Δ=0,可得k=32;令Δ>0,可得k0⇔直线与圆锥曲线C相交;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切;
Δ0,x1+x2>0,x1·x2>0,左支二次项系数不为0,Δ>0,x1+x20.
[拓展演练1] (1)过点(0,1)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有( )
A.1条B.2条
C.3条D.无数条
(2)已知椭圆x25+y24=1,直线mx+y+m-1=0,那么直线与椭圆的位置关系是( )
A.相交B.相离
C.相切D.不确定
解析:(1)①当直线斜率不存在时,方程为x=0,与抛物线y2=8x只有一个公共点;
②当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,由y=kx+1,y2=8x消去y,
得k2x2+(2k-8)x+1=0,
若k=0,此时方程为y=1,与抛物线y2=8x只有一个公共点;
若k≠0,由Δ=(2k-8)2-4k2=0,解得k=2,故直线方程为y=2x+1,
所以存在3条直线y=1,x=0,y=2x+1满足过点(0,1)与抛物线y2=8x只有一个公共点.故选C.
(2)由mx+y+m-1=0可知m(x+1)+y-1=0,即直线恒过定点(-1,1),
由于(-1)25+124=9200成立),由根与系数的关系,得
x1+x2=-83k21+4k2,x1x2=12k2-41+4k2.
由弦长公式有
|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2·(-83k21+4k2)2-48k2-161+4k2
=1+k2·41+k21+4k2=3,
解得k=±24.
则直线AB的方程为y=24x+64或
y=-24x-64.
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=1+k2|x1-x2|=
1+k2·(x1+x2)2-4x1x2或|AB|=1+1k2·|y1-y2|=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2.
[拓展演练2] (1)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x,过其左焦点F(-3,0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A,B两点,则截得的弦长|AB|等于( )
A.7B.8C.9D.10
(2)已知顶点在原点,关于y轴对称的抛物线与直线x-2y=1交于P,Q两点,若|PQ|=15,则抛物线的方程为( )
A.x2=-4y
B.x2=12y
C.x2=-4y或x2=12y
D.以上都不是
解析:(1)因为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x,所以ba=2,即b=2a.因为左焦点F(-3,0),所以c=3,所以c2=a2+b2=3a2=3,所以a2=1,b2=2,所以双曲线C的方程为x2-y22=1.易知直线l的方程为y=2(x+3),设A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=2(x+3),x2-y22=1
消去y,可得x2+43x+7=0,
所以x1+x2=-43,x1x2=7,
所以|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+4×48-28=10.故选D.
(2)设抛物线的方程为x2=2ay,则抛物线与直线x-2y=1联立消去y,得x2-ax+a=0,
所以x1+x2=a,x1x2=a,
则|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=a2-4a,
所以|PQ|=1+k2|x1-x2|=1+14·a2-4a=15,所以a2-4a-12=0,
解得a=-2或a=6,
所以x2=-4y或x2=12y.故选C.
中点弦问题
[典例3] 过椭圆x216+y24=1内一点P(3,1),且被点P平分的弦所在直线的方程是( )
A.4x+3y-13=0B.3x+4y-13=0
C.4x-3y+5=0D.3x-4y+5=0
解析:设所求直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由于A,B两点均在椭圆上,故x1216+y124=1,x2216+y224=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)16+(y1+y2)(y1-y2)4=0.
因为P(3,1)是A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,
所以x1+x2=6,y1+y2=2,
故kAB=y1-y2x1-x2=-34,
所以直线AB的方程为y-1=-34(x-3),
即3x+4y-13=0.故选B.
处理中点弦问题常用的求解方法
易错警示:涉及双曲线的中点弦问题,要注意检验所求直线方程与双曲线是否有交点.
[拓展演练3]
1.已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,若线段AB的中点为(3,2),则直线AB的方程为 .
解析:由题意知,直线AB的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),则由y12=4x1,y22=4x2可知
(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
结合AB的中点为(3,2)可知k=1.
因此所求方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.
答案:x-y+1=0
2.探究M(1,1),Q(1,12)两点是否可以为双曲线x24-y22=1的弦的中点,若可以,求出直线方程;若不能,说明理由.
解:假设M为弦AB的中点,设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2且x12-2y12=4,x22-2y22=4.两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-2(y1+y2)(y1-y2)=0,
所以y1-y2x1-x2=x1+x22(y1+y2)=12.
因此直线AB的方程为y-1=12(x-1),
即x-2y+1=0,
由方程组x-2y+1=0,x24-y22=1
消去y,得x2-2x-9=0,
Δ=40>0,说明所求直线存在.
故直线AB的方程为x-2y+1=0.因此点M可以为双曲线的弦的中点.
假设点Q(1,12)为弦CD的中点,设交点坐标为C(x3,y3),D(x4,y4),则x3+x4=2,y3+y4=1,将两点代入双曲线方程,两式相减得(x3+x4)(x3-x4)-2(y3+y4)(y3-y4)=0,
所以y3-y4x3-x4=x3+x42(y3+y4)=1,
所以直线CD的方程为y-12=x-1,
即2x-2y-1=0,
由方程组2x-2y-1=0,x24-y22=1
消去y,得2x2-4x+9=0,
根据Δ′=-560,
即4k2-k2b2+1>0 (k≠0).(*)
又线段MN恰被直线x=-12平分,
所以xM+xN=2bk4k2+1=2×(-12),
所以bk=4k2+1-2.
代入(*)式可解得-320),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,
设为Q,则Q(m2,n2),
则kAB=0-nm-0=-nm,kOQ=n2m2=nm.
由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ=-b2a2=-12,即(-nm)·nm=-12,以下同法一.
答案:x+2y-22=0
5.设F1,F2分别是双曲线Γ:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2的直线l:x-my-t=0(m,t∈R)与Γ的右支交于M,N两点,Γ过点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为7.
(1)求双曲线Γ的方程;
(2)当|MF1|=|F2F1|时,求实数m的值;
(3)设点M关于坐标原点O的对称点为P,当MF2→=12F2N→时,求△PMN面积S的值.
解:(1)由Γ过点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为7,得4a2-9b2=1,b2+(a2+b2)=7,
解得a2=1,b2=3,
则所求的双曲线Γ的方程为x2-y23=1.
(2)由(1)得直线l:x-my-t=0过点F2(2,0),
所以t=2.
由|MF1|=|F2F1|=4,得等腰三角形F1MF2底边MF2上的高的长度为MF12-(MF1-22) 2=15.
又F1到直线l:x-my-2=0的距离等于等腰三角形F1MF2底边上的高,则|-2-0-2|m2+1=15,即m2=115,则m=±1515.
(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),由x2-y23=1,x-my-2=0,
消去x,得(3m2-1)y2+12my+9=0,
因为有两个交点,所以Δ>0,且m2≠13,
则y1+y2=12m1-3m2,y1y2=-91-3m2.
又MF2→=12F2N→,即y2=-2y1,
则-y1=12m1-3m2,2y12=91-3m2,
即2(-12m1-3m2) 2=91-3m2,则m2=135,
又M关于坐标原点O的对称点为P,
则S=2S△OMN=2|y1-y2|=2(y1+y2)2-4y1y2=2(12m1-3m2) 2-4(-91-3m2)=
12m2+11-3m2=9354,
即所求的△PMN面积为9354.
知识点、方法
题号
位置关系、弦长
1,3
弦中点
2,4
综合应用
5