高考数学第一轮复习复习第1节　函数的概念及其表示（讲义）

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第1节 函数的概念及其表示
[课程标准要求]
1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
1.函数的有关概念
(1)集合A,B及其对应关系f:A→B构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是C⊆B.
(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x∈[0,2]与函数f(x)=2x2,x∈[-2,0].
2.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.
3.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
1.若集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f:A→B的是( D )
解析:A中的对应不满足函数的存在性,即存在x∈A,但B中没有与之对应的y;B,C均不满足函数的唯一性,只有D正确.
2.(必修第一册P72习题T2改编)下列四组函数中表示同一个函数的是( C )
A.f(x)=x-1·x-1与g(x)=(x-1)2
B.f(x)=x与g(x)=x2x
C.f(x)=x2与g(x)=|x|
D.f(x)=1,x∈R与g(x)=x0
解析:A选项中函数f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不是同一个函数;C选项中函数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,是同一个函数;D选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不是同一个函数.
3.(2022·河南南阳三测)函数f(x)=2x-2,x≤1,lg2(x-1),x>1,则f(f(52))等于( A )
A.-12 B.-1C.-5D.12
解析:f(x)=2x-2,x≤1,lg2(x-1),x>1,
所以f(52)=lg232,
f(f(52))=f(lg232)=2lg232-2=32-2
=-12.
4.(2020·北京卷)函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是 .
解析:函数f(x)=1x+1+ln x的自变量满足x+1≠0,x>0,所以x>0且x≠-1,
即定义域为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
5.函数f(x)=x-1x在区间[2,4]上的值域为 .
解析:f(x)=x-1x在区间[2,4]上单调递增,
又f(2)=32,f(4)=154,
故f(x)的值域为[32,154].
答案:[32,154]
函数的定义域
1.(2023·湖北武汉模拟)函数f(x)=1ln(x+1)+4-x2的定义域为( B )
A.[-2,0)∪(0,2]B.(-1,0)∪(0,2]
C.[-2,2] D.(-1,2]
解析:要使函数有意义,
则需x+1>0,x+1≠1,4-x2≥0,解得-11,2+36x,x≤1,则f(f(12))等于( )
A.3B.4C.-3D.38
解析:f(12)=2+3612=8,
f(f(12))=f(8)=lg128=-3.故选C.
求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时,要先确定所求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.
(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
分段函数与方程
[例2] (2022·山东济南二模)已知函数f(x)=2x-1,x≤0,x12,x>0,若f(m)=3,则m的值为( )
A.3B.2C.9D.2或9
解析:因为函数f(x)=2x-1,x≤0,x12,x>0,f(m)=3,
所以2m-1=3,m≤0或m12=3,m>0,解得m=9.故选C.
根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时,应根据分段函数各段的定义域分类讨论,结合各段的函数解析式求解,要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域.
分段函数与不等式
[例3] 函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+f(x-12)>1的x的取值范围是 .
解析:当x>12时,
f(x)+f(x-12)=2x+2x-12>2x>2>1;
当02x>1;
当x≤0时,f(x)+f(x-12)=x+1+(x-12)+1=2x+32,
所以f(x)+f(x-12)>1⇒2x+32>1⇒x>-14,即-14