山东省烟台市芝罘区（五四制）2023届九年级下学期期中阶段检测数学试卷(含解析)

这是一份山东省烟台市芝罘区（五四制）2023届九年级下学期期中阶段检测数学试卷(含解析)，共23页。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
解析：解；，是无限不循环小数，它们是无理数，
是分数，0，，0和2均为整数，它们不是无理数，
那么无理数的个数是2个，
故选：B．
2. 如图所示的几何体为圆台，其主视图正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：根据题意得：其主视图正确的是

故选：C
3. 没有稳固的国防，就没有人民的安宁，2023年，中国国防预算约为15537亿元，将15537亿元用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：15537亿
故选：．
4. 如图，点B在点A的北偏西方向，点C在点B的正东方向，且点C到点B与点A到点B的距离相等，则点A相对于点C的位置是（ ）

A. 北偏东B. 北偏东C. 南偏西D. 南偏西
【答案】D
解析：解：如图，

∵点B在点A的北偏西方向，
∴，
∵点C在点B的正东方向，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A相对于点C的位置是南偏西，
故选：D．
5. 某校积极鼓励学生参加志愿者活动，下表列出了随机抽取的名学生一周参与志愿者活动的时间情况：
根据表中数据，下列说法中不正确的是（ ）
A. 表中的值为B. 这组数据的众数是
C. 这组数据的中位数是D. 这组数据的平均数是
【答案】C
解析：解：结合题意可知，
，
故A说法正确，不符合题意；
活动时间为的人数为人，
人数最多，故众数为，
故B说法正确，不符合题意；
将活动时间从小到大排列，第、为，
中位数为，
故C说法不正确，符合题意；
这组数据的平均数为：，
故D说法正确，不符合题意；
综上所述，
故选：C．
6. 如图，圆锥的母线长为，高是，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥的母线长为，高是，
圆锥底面圆的半径为：，
∴，
解得：．
即该圆锥侧面展开图的圆心角为．
故选：B．
7. 如图，弓形的跨度，高，则弓形所在圆的直径长为（ ）

A. 5B. 10C. D.
【答案】C
解析：解：设弓形所在圆的圆心是，圆的半径是，连接，，

由题意知、、共线，
，
，
高，
，
，
，
，
弓形所在圆的直径长．
故选：C．
8. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】C
解析：连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用“AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C．
9. 如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，3)，∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为( )
A. (，)B. (2，)C. (，)D. (，3﹣)
【答案】A
解析：解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=30°，点B的坐标为（0，），∴AC=OB=，∠CAB=30°，∴BC=AC•tan30°=×=3．∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD=30°，AD=．过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=30°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD=，∴AM=×cs30°=，∴MO=﹣3=，∴点D的坐标为（，）．故选A．
10. 已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若，、是抛物线上的两点，则有；④对于任意实数，关于的方程有两个不相等的实数根．以上说法正确的是( )

A. ①②③④B. ②③④C. ②④D. ②③
【答案】B
解析：解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴正半轴，
，
，故①错误；
抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，
，故②正确；
抛物线开口向下，
离对称轴越近的点，函数值越大，
，
，故③正确；
，
，
△
，，
，
，
，
，
关于的方程有两个不相等的实数根，故④正确．
说法正确的有②③④．
故选：B．
二．填空题（每题3分，共18分）
11. ﹣的绝对值是_____．
【答案】
解析：﹣的绝对值是|﹣|=
12. 如图，函数和的图象相交于点，则关于 x 的不等式 的解集为______．
【答案】
解析：解：由题意得：
把点A代入可得，
解得：，
∴点A坐标为，
由图象可得当关于x的不等式时，则需满足在点A的右侧，即的图象在的图象下方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
13. 如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为________．
【答案】
解析：解：设正方形的边长为2a，则圆的直径为2a，
故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为=，
故答案为．
14. 如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点P，与交于E、F两点，则四边形的面积是________．

【答案】6
解析：解：四边形是矩形，
轴，轴，
∵在反比例函数图象上，
，
设P点的坐标为，而点P在反比例函数图像上，则，
又∵矩形对角线的中点为P，
，，，
，
，
故答案为：6．
15. 如图，小明要从一条东西走向的河流北岸的A处去往河南岸的B处，因河流较宽，需在河面搭建一个与河两岸垂直的平板桥，已知A距离河北岸4.5米，B距离河南岸1.5米，河宽3米，且B处相对于A处的东西距离为8米．根据以上条件，从A处经过平板桥到达B处的最短路程是________．

【答案】
解析：解：设河北岸为直线，河南岸为直线，过点作于点，过点作于点，在上截取，连接交直线于点，过点作于点，连接和，则从处经过平板桥到达处的最短路程是，延长交于点，如图所示，

，，
，
，
为平行四边形，
．
根据题意得，，，，，
，
，
在中，．
最短路径．
故答案为：．
16. 如图，中，，点为的中点，动点从点出发沿运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图所示，则的长为________．

【答案】10
解析：解：由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12．
点是的中点，
当点运动到点时，，
，
，
，
故答案为：10．
三．解答题（共8题，满分72分）
17. 先化简、再求值：，其中．
【答案】，．
解析：解：
，
∵，
∴，
∴原式．
18. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接、．求证：．

【答案】见解析
解析：证明：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
19. 我校开设了无人机、交响乐团、诗歌鉴赏、木工制作四门校本课程，分别记为A、B、C、D．为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的 ， ；
（2）D对应扇形的圆心角为 度；
（3）甲、乙两位同学参加校本课程学习，若每人从A、B、C三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
【答案】（1）80，
（2）36 （3）甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的概率为
【小问1解析】
解：，
∴，
故答案为：80，；
【小问2解析】
解：D对应扇形的圆心角为：，
故答案为：36；
【小问3解析】
解：画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的的情况有3种，
∴甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的概率为．
20. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．
【答案】58m
解析：解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则．
又∵，
∴四边形ACHG是矩形．
∴．
由题意，得．
在中，，
∴（m）﹒
∵是的外角，
∴．
∴．
∴m．
在中，
∴(m)．
∴．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
21. 某校在开展“健康中国”读书征文评比活动中，对优秀征文予以评奖，并颁发奖品，奖品有甲、乙、丙三种类型．已知个丙种奖品的价格是个甲种奖品价格的倍，个乙种奖品的价格比个甲种奖品的价格多元．用元分别去购买甲、乙、丙三种奖品，购买到甲和丙两种奖品的总数量是乙种奖品数量的倍．
（1）求个甲、乙、丙三种奖品的价格分别是多少元？
（2）该校计划：购买甲、乙、丙三种奖品共个，其中购买甲种奖品的数量是丙种奖品的倍，且甲种奖品的数量不少于乙、丙两种奖品的数量之和．求该校完成购买计划最多要花费多少元？
【答案】（1）个甲、乙、丙三种奖品的价格分别是元、元、元；（2）该校完成购买计划最多要花费元
解析：解：（1）设个甲种奖品的价格为元，则个丙种奖品的价格为元，个乙种奖品的价格为元，
依题意，得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，，
故：个甲、乙、丙三种奖品的价格分别是元、元、元；
（2）设购买丙种奖品个，则购买甲种奖品个，购买乙种奖品个，
由题意有：，
，
设该校购买奖品的费用为元，则，
随的增大而减小，
时，取最大值，且．
故：该校完成购买计划最多要花费元．
22. 如图，在中，，，．用直尺和圆规按下列步骤作图：
①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交边BC，AB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线BP，交边AC于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径画，交射线BP于点F，G（点G在线段OB上），连接CF，CG．
（1）求证：AB是的切线；
（2）求的半径长；
（3）求的值．
【答案】（1）见解析 （2）3
（3）
【小问1解析】
解：过点O作于，如图，
由题意知，BF平分
又
AB是的切线；
【小问2解析】
设OC=OH=x，
在中，
中，
的半径长为3；
【小问3解析】
是的直径
中，
．
23. 阅读下列材料：
如图1，点A、D、E在直线l上，且，
则：，
又，
故．
像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．

请根据以上阅读解决下列问题：
（1）如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
（2）如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离．
（3）如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）15
【小问1解析】
解：∵，
∴．
∵，，
∴，．
∴．
在与中，
，
∴；
【小问2解析】
解：过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，

∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
即点C到的距离为；
【小问3解析】
解：以点D为端点，作线段，交延长线于点M，
则．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．

24. 如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点B和点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条形的点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，的面积有最大值4，此时
（3）P点坐标为或）或）
【小问1解析】
解：当时，，
，
当时，
，
将B、C点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为．
【小问2解析】
过E点作轴交于点G，

设，则，
当时，的面积有最大值4，此时．
【小问3解析】
存在点P，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，
①当为平行四边形的对角线时，，
解得
②当为平行四边形的对角线时，，
③当为平行四边形的对角线时，，
解得，
综上所述：P点坐标为或）或）．
参与志愿者活动时间（h）
1
2
3
参与志愿者活动的人数（人）
x
8
2
校本课程
频数
频率
A：无人机
36
B：交响乐团
C：诗歌鉴赏
16
b
D：木工制作
8
合计
a
1