高考数学第一轮复习复习第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第1节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程（讲义），共20页。
[课程标准要求]
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围是[0°,180°).
2.斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α(α≠90°),则斜率k=tan α.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则直线l的斜率k=y2-y1x2-x1.
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,其方向向量为P1P2→=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1)·(1,y2-y1x2-x1),因此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为(1,k).
3.直线方程的五种形式
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,不是距离,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.在使用截距式时,应先判断,截距是否为0,若不确定,则需分类讨论.
(2)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在,当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当不确定直线的斜率是否存在时,可设直线的方程为x=ty+b.
1.(选择性必修第一册P58 T7改编)若直线经过两点A(5,-m),B(-m,2m-1),且倾斜角为π4,则m的值为( C )
A.2B.3
C.-1D.-32
解析:由题意可知kAB=2m-1+m-m-5=tan π4=1,解得m=-1.
2.过点(1,0)且与直线y=12x-1倾斜程度相同的直线方程是( A )
A.y=12x-12B.y=12x+12
C.y=-2x+2D.y=-12x+12
解析:依题意所求直线方程的斜率为k=12,因此所求的直线方程为y-0=12(x-1),
即y=12x-12.
3.直线x3-y4=1在两坐标轴上的截距之和为( B )
A.1B.-1C.7D.-7
解析:直线在x轴上截距为3,在y轴上截距为-4,因此截距之和为-1.
4.若直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,试写出满足条件的a,b,c一组有序数对(a,b,c) .(只写出一组即可,不必考虑所有情况)
解析:易知直线的斜率存在,则直线方程可化为y=-abx-cb,
由题意知-ab0,所以ab>0,bck1>k2B.k1-k2>0
C.k3>k2>k1D.k1·k20,dcD.b0,a0,-ba-1c>0,
所以a>c.
12.已知直线经过A(a,0),B(0,b)和C(1,3)三个点,且a,b均为正整数,则此直线的一般式方程为 .(只要写出符合条件的一条直线方程即可)
解析:因为直线经过A(a,0),B(0,b),
所以直线的截距式方程为xa+yb=1.
又因为C(1,3)在直线上,所以1a+3b=1,
整理得a=bb-3=1+3b-3.
又因为a,b均为正整数,所以b=4或6.
所以当b=4时,a=4;当b=6时,a=2.
所以直线方程为x4+y4=1或x2+y6=1,
即x+y-4=0或3x+y-6=0.
答案:x+y-4=0(或3x+y-6=0)
13.已知正方形的一条对角线所在直线的斜率为3,则其一条边所在直线的斜率是 .
解析:以正方形ABCD的顶点A为坐标原点,建立如图所示的坐标系,根据题意,对角线AC的斜率为3,设其倾斜角为α,tan α=3,则正方形的边AB,AD的倾斜角分别为α-π4,α+π4,
又tan (α-π4)=tanα-11+tanα=12,
tan (α+π4)=tanα+11-tanα=-2,
所以一条边所在直线的斜率为12或-2.
答案:12或-2
14.(多选题)已知直线xsin α+ycs α+1=0(α∈R),则下列命题正确的是( BD )
A.直线的倾斜角是π-α
B.无论α如何变化,直线不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
解析:根据直线倾斜角的范围为[0,π),而π-α∈R,所以A不正确;当x=y=0时,xsin α+ycs α+1=1≠0,所以直线必不过原点,B正确;当α=π2时,直线斜率不存在,C不正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积为S=12|1-sinα|·|1-csα|=1|sin2α|≥1,所以D正确.名称
方程
适用范围
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不含直线x=x0
斜截式
y=kx+b
不含垂直于x轴的直线
两点式
y-y1y2-y1=x-x1x2-x1
不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=
y1(y1=y2)
截距式
xa+yb=1
不含垂直于坐标轴
和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0,A2+B2≠0
平面内所有
直线都适用
知识点、方法
题号
直线的倾斜角与斜率
1,5,9,12,14
直线方程
2,6,7,8,11,12
直线方程的综合应用
3,4,10,14