高考数学第一轮复习复习第2节　函数的单调性与最值（讲义）

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1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即“任意两数x1,x2∈I”,“任意”两字绝不能丢;二是有大小,即x1(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.
若函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连接,不要用“∪”.
2.函数的最值
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
1.函数单调性的等价定义
设任意x1,x2∈I(x1≠x2),则
(1)f(x1)-f(x2)x1-x2>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在I上单调递增.
(2)f(x1)-f(x2)x1-x2<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在I上单调递减.
2.函数f(x)=ax+bx的单调性
若a>0,b<0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上是增函数,若a<0,b>0,则函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数;若a>0,b>0,则函数在区间(-ba,0),(0,ba)上是减函数,在区间(-∞,-ba),(ba,+∞)上是增函数.
特别地,“对勾函数”y=x+ax(a>0)的单调递增区间为(-∞,-a),(a,+∞);单调递减区间是[-a,0),(0,a].
3.与函数运算有关的单调性结论
(1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
(2)k>0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;k<0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反.
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与1f(x)具有相反的单调性.
(4)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)·g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)·g(x)是减(增)函数.
(5)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减.
(6)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
1.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( D )
A.f(x)=-xB.f(x)=(23)x
C.f(x)=x2D.f(x)=3x
解析:法一(排除法) 取x1=-1,x2=0,对于A项有f(x1)=1,f(x2)=0,所以A项不符合题意;对于B项有f(x1)=32,f(x2)=1,所以B项不符合题意;对于C项有f(x1)=1,f(x2)=0,所以C项不符合题意.故选D.
法二(图象法) 如图,在平面直角坐标系中分别画出A,B,C,D四个选项中函数的大致图象,即可快速直观判断D项符合题意.
2.若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)A.(0,2)
B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0)
D.(2,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)a,所以a2-2a>0,所以a>2或a<0.故选B.
3.(多选题)(必修第一册P79例3改编)下列结论正确的有( BD )
A.函数y=1x的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)
B.函数y=1x-x在区间(0,+∞)上单调递减
C.若y=f(x)在区间I上单调递增,则函数y=kf(x)(k<0),y=1f(x)在区间I上都单调递减
D.若函数y=f(x)满足∀x1,x2∈I,x1≠x2,f(x1)-f(x2)x1-x2>0(<0),能判定f(x)在区间I上的单调性
解析:对于A,单调区间不能用“∪”连接,故单调递减区间应为(-∞,0)和(0,+∞),错误;
对于B,y=1x-x在(0,+∞)上是减函数,正确;
对于C,若y=f(x)在区间I上单调递增,则∀x1,x2∈I,且x10,由此可推出k[f(x2)-f(x1)]<0(k<0),即y=kf(x)在区间I上单调递减,y=1f(x)在区间I上不一定单调递减,如f(x)=x,I=[-1,1],所以y=1f(x)在区间I上不单调,且x=0时没有意义,C错误;
对于D,f(x1)-f(x2)x1-x2>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(单调递减),正确.
4.(2022·山东聊城检测)函数f(x)=9x2+x-1的最小值为 .
解析:因为f(x)的定义域为[1,+∞),
且y=9x2与y=x-1在[1,+∞)上均为增函数,
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(1)=9.
答案:9
5.函数f(x)=1x2-2x-3的单调增区间为 .
解析:由x2-2x-3>0得x<-1或x>3,
故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),
由函数y=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,
故f(x)的单调增区间是(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
确定函数的单调性(区间)
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为减函数的是( D )
A.y=-sin xB.y=x2-2x+3
C.y=ln(x+1)D.y=2 022-x2
解析:y=-sin x和y=x2-2x+3在(0,+∞)上不具备单调性;y=ln(x+1)在(0,+∞)上单调递增.
2.函数f(x)=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间为( D )
A.[1,+∞)B.(-∞,1]
C.(-1,1)D.(1,3)
解析:设t=-x2+2x+3,由-x2+2x+3>0可得-1由于y=ln t在t∈(0,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性:同增异减,可得要求函数f(x)=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间,
只需求t=-x2+2x+3(-13.函数f(x)=|4-x|(x-1)在下列哪个区间上单调递增( D )
A.(52,5) B.(3,4)
C.(-∞,3)D.(5,+∞)
解析:f(x)=|4-x|·(x-1)
=(4-x)(x-1),x≤4,(x-4)(x-1),x>4,
根据图象可知其单调递增区间为(-∞,52),(4,+∞),单调递减区间为(52,4).
4.(多选题)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是( AC )
A.y=ex-e-xB.y=|x2-2x|
C.y=x+cs xD.y=x2+x-2
解析:因为y=ex与y=-e-x为R上的增函数,
所以y=ex-e-x为R上的增函数,故A正确;
由y=|x2-2x|的图象(图略)知,故B不正确;
对于选项C,y′=1-sin x≥0,
所以y=x+cs x在R上为增函数,故C正确;
y=x2+x-2的定义域为(-∞,-2]∪[1,+∞),故D不正确.
(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.
(2)函数单调性的判断方法:定义法,图象法,利用已知函数的单调性,导数法.
(3)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
函数单调性的应用
利用单调性比较大小
[例1] (2022·四川成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数,对任意x1,x2∈(-∞,0),且x1≠x2,均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,若a=f(ln2),b=f(313),c=f(e13),则a,b,c的大小关系是( )
A.cC.a解析:因为对任意x1,x2∈(-∞,0),
均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,
所以此时函数在区间(-∞,0)上单调递减,
因为f(x)是偶函数,
所以当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,
又f(x)=x13在x∈(0,+∞)上单调递增,
所以1又0所以f(313)>f(e13)>f(ln 2),
即a利用单调性比较函数值大小时,应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上,利用单调性比较大小.
利用函数的单调性解不等式
[例2] (2022·安徽安庆二模)已知定义在区间[-1,3]上的函数f(x),满足f(1+x)=f(1-x),当x∈[1,3]时,f(x)=x-1-x3.则满足不等式f(2a+1)>f(a)的实数a的取值范围为 .
解析:由题意得f(x)的图象关于x=1对称,
故g(x)=f(x+1)的图象关于x=0对称,
因为x∈[1,3]时,f(x)=x-1-x3单调递减,
所以g(x)在[0,2]上单调递减,
由f(2a+1)>f(a)得g(2a)>g(a-1),
所以-2≤2a≤2,-2≤a-1≤2,|2a|<|a-1|,解得-1答案:(-1,13)
解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法为:若函数y=f(x)在区间I上是增函数,对任意x1,x2∈I,且f(x1)x2.但需要注意的是不要忘记函数的定义域.
由函数单调性求参数范围
[例3] (1)已知函数f(x)=ax2-x-14,x≤1,lgax-1,x>1是R上的单调函数,则实数a的取值范围为( )
A.[14,12)B.[14,12]
C.(0,12)D.[12,1)
(2)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=lg (x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.(-∞,2]
C.[2,+∞)D.[5,+∞)
解析:(1)①a>1时,f(x)=lgax-1在(1,+∞)上是增函数,所以f(x)在R上是增函数,
显然f(x)=ax2-x-14在(-∞,1]上不是增函数,
所以a>1的情况不存在;
②当0所以12a≥1,a-1-14≥-1,解得14≤a≤12.
综上可得,实数a的取值范围为[14,12].故选B.
(2)由x2-4x-5>0,得x<-1或x>5.令t=x2-4x-5,因为外层函数y=lg t是其定义域内的增函数,所以要使函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则需内层函数t=x2-4x-5在(a,+∞)上单调递增且恒大于0,则(a,+∞)⊆(5,+∞),即a≥5.所以a的取值范围是[5,+∞).故选D.
利用单调性求参数
(1)依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较.
(2)若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
(3)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
[针对训练]
1.已知函数f(x)的图象关于y轴对称,且函数在区间[0,+∞)上单调递增,则下列关系式成立的是( )
A.f(-72)B.f(-3)C.f(-3)D.f(4)解析:因为函数f(x)的图象关于y轴对称,
所以f(-3)=f(3),f(-72)=f(72),
又因为3<72<4且f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(3)所以f(-3)2.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]
解析:由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)单调递减,且f(-2)=f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x<0,所以-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3],选D.
3.若函数f(x)=ax,x>1,(4-a2)x+2,x≤1,对于R上的任意x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则实数a的取值范围是 .
解析:因为对于R上的任意x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则函数f(x)单调递增,
因为函数f(x)=ax,x>1,(4-a2)x+2,x≤1,
所以a>1,4-a2>0,4-a2+2≤a,即a>1,a<8,a≥4,所以4≤a<8.
答案:[4,8)
4.若函数f(x)=lga[(a-2)x]在(-∞,0)上是减函数,则a的取值范围是 .
解析:因为函数f(x)=lga[(a-2)x]在(-∞,0)上是减函数,所以x∈(-∞,0),
所以a-2<0,
即0因为f(x)在(-∞,0)上是减函数,所以a>1.
所以a的取值范围是(1,4).
答案:(1,4)
求函数的最值(值域)
[例4] (1)函数f(x)=(13)x-lg2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 ;
(2)已知函数f(x)=x2,x≤1,x+6x-6,x>1,则f(x)的最小值是 ;
(3)函数f(x)=2x2-x2+1的最小值为 .
解析:(1)由于y=(13)x在R上单调递减,y=lg2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.
(2)因为函数y=x2在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以当x≤1时,f(x)min=f(0)=0.当x>1时,y=x+6x≥26,当且仅当x=6时,等号成立,此时f(x)min=26-6.又26-6<0,所以f(x)min=26-6.
(3)令x2+1=t,t≥1,则x2=t2-1,
所以y=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥1).
因为y=2t2-t-2(t≥1)的对称轴为t=14,
所以ymin=2×12-1-2=-1,
所以函数f(x)的最小值为-1.
答案:(1)3 (2)26-6 (3)-1
求函数最值(值域)的五种常用方法及注意点
(1)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(2)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
(4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
注意:(1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.
(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.
[针对训练]
1.函数f(x)=x-1+2x的值域为( )
A.[-1,+∞)B.[0,+∞)
C.[1,+∞)D.[2,+∞)
解析:令x-1≥0,
解得x≥1,函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以f(x)∈[2,+∞),即函数f(x)的值域为[2,+∞).故选D.
2.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=a,a≤b,b,a>b.设函数f(x)=-x+3,g(x)=lg2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是 .
解析:在同一平面直角坐标系中作出函数f(x),g(x)图象,依题意,h(x)的图象如图实线部分所示.易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的最大值为h(2)=1.
答案:1
3.函数y=x2+21+x2的值域是 .
解析:y=x2+21+x2=(x2+1)+11+x2=1+x2+11+x2.
令t=1+x2(t≥1),则y=t+1t≥2t·1t=2(当且仅当t=1t,即t=1,即x=0时,取等号),因此函数的最小值为2.函数无最大值,即函数的值域是[2,+∞).
答案:[2,+∞)
[例1] 已知f(x)=4x-2x+2+m,x≤0,x+1x,x>0的最小值为2,则m的取值范围为( )
A.(-∞,3]B.(-∞,5]
C.[3,+∞)D.[5,+∞)
解析:f(x)=4x-2x+2+m,x≤0,x+1x,x>0,
当x>0时,f(x)=x+1x≥2,
当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立;
所以若f(x)=4x-2x+2+m,x≤0,x+1x,x>0,的最小值为2,则当x≤0时,4x-2x+2+m≥2恒成立,
即m≥-4x+4·2x+2在(-∞,0]上恒成立,
令t=2x,则m≥-t2+4t+2在t∈(0,1]上恒成立,
而g(t)=-t2+4t+2在t∈(0,1]上为增函数,
所以-t2+4t+2≤-1+4+2=5,则m≥5.
所以m的取值范围为[5,+∞).故选D.
[例2] 已知函数f(x)=(13)x-lg2(x+2),若f(a-2)>3,则a的取值范围是 .
解析:由f(x)=(13)x-lg2(x+2)知,
f(x)在定义域(-2,+∞)上是减函数,
且f(-1)=3,
由f(a-2)>3,得f(a-2)>f(-1),
所以a-2<-1,a-2>-2,
解得0答案:(0,1)
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数
当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈D,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈D,使得f(x0)=M
(3)对于任意x∈D,都有f(x)≥M;
(4)存在x0∈D,使得f(x0)=M
结论
M是函数y=f(x)的最大值
M是函数y=f(x)的最小值