高考数学第一轮复习复习第3节　三角恒等变换（讲义）

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1.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β;
(2)cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β;
(3)sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β;
(4)sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β;
(5)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ;
(6)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.
2.二倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcs α;
(2)cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α;
(3)tan 2α=2tanα1-tan2α.
1.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°;π4+α=π2-(π4-α)等.
2.辅助角公式
asin α+bcs α=a2+b2sin(α+),其中cs =aa2+b2,sin =ba2+b2.
3.万能公式
sin α=2tan α21+tan2α2,cs α=1-tan2α21+tan2α2,tan α=2tan α21-tan2α2.
1.(必修第一册P220练习T3改编)sin 20°cs 10°-cs 160°sin 10°等于( D )
A.-32B.32
C.-12D.12
解析:sin 20°cs 10°-cs 160°sin 10°=
sin 20°cs 10°+cs 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=12.
2.(多选题)下列各式中,值为 32 的是( BCD )
A.2sin 15°cs 15°B.cs215°-sin215°
C.1-2sin215°D.3tan15°1-tan215°
解析:A项,2sin 15°cs 15°=sin 30°=12;
B项,cs215°-sin215°=cs 30°=32;
C项,1-2sin215°=cs 30°=32;
D项,3tan15°1-tan215°=32×2tan15°1-tan215°=32×tan 30°=
32×33=32.
3.2sin47°-3sin17°cs17°等于( D )
A.-3B.-1C.3D.1
解析:原式=2×sin47°-sin17°cs30°cs17°
=2×sin(17°+30°)-sin17°cs30°cs17°
=2sin 30°
=1.
4.若tan(α+π6)=2,则tan(2α-2π3)等于( B )
A.-2-3B.-43
C.2+3D.43
解析:tan(2α-2π3)=tan(2α+π3-π)=
tan(2α+π3)=2tan(α+π6)1-tan2(α+π6)=41-22=-43.
5.tan 10°+tan 50°+3tan 10°tan 50°= .
解析:因为tan 60°=tan(10°+50°)=tan10°+tan50°1-tan10°tan50°,
所以tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)=3-3tan 10°tan 50°,
故原式=3-3tan 10°tan 50°+3tan 10°tan 50°=3.
答案:3
三角函数式的化简
1.化简:315sin x+35cs x= .
解析:315sin x+35cs x
=65(32sin x+12cs x)
=65(sin xcsπ6+cs xsinπ6)
=65sin(x+π6).
答案:65sin(x+π6)
2.若3π2