高考数学第一轮复习复习第3节　导数与函数的极值、最值（讲义）

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1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.
对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件:
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值的步骤:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
1.(多选题)(选择性必修第二册P92T1改编)已知函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是( AC )
A.f(x)在x=-4时取极小值
B.f(x)在x=-2时取极大值
C.1.5是f(x)的极小值点
D.3是f(x)的极小值点
解析:由导函数f′(x)的图象可得,当x=-4时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以f(x)在x=-4时取极小值,所以A正确;当x=1.5时,其左边的导数小于零,右边的导数大于零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两边的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.
2.函数f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数a的取值范围是( B )
A.(-∞,-6]∪[6,+∞)
B.(-∞,-6)∪(6,+∞)
C.(-6,6)
D.[-6,6]
解析:f′(x)=3x2-2ax+2,
由题意知f′(x)有变号零点,
所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,
解得a>6或a<-6.
3.(多选题)(2022·山东青岛月考)已知f(x)=3xex,则f(x)( BC )
A.在(-∞,+∞)上单调递减
B.在(-∞,1)上单调递增
C.有极大值3e,无极小值
D.有极小值3e,无极大值
解析:由题意知f′(x)=3(1-x)ex,当x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(1)是函数的极大值,也是最大值,f(1)=3e,函数无极小值.
4.(2023·湖南长沙模拟)函数f(x)=ln(x+1)-x的最大值为 .
解析:因为f(x)=ln(x+1)-x,
所以f′(x)=1x+1-12x=-(x-1)22x(x+1),x≥0,
所以f′(x)=-(x-1)22x(x+1)≤0,
所以f(x)单调递减,f(x)的最大值为f(0)=0.
答案:0
5.已知函数f(x)=13x3+12x2-2x+1,若函数f(x)在(2a-2,2a+3)上存在最小值,则实数a的取值范围是 .
解析:f(x)=13x3+12x2-2x+1,
f′(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),
当-2当x<-2或x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,在x=-2处取得极大值.
令f(x)=f(1),
解得x=1或x=-72,
又因为函数f(x)在(2a-2,2a+3)上存在最小值,且(2a-2,2a+3)为开区间,
所以-72≤2a-2<1<2a+3,
解得-34≤a<32,
即a的取值范围是[-34,32).
答案:[-34,32)
利用导数研究函数的极值
根据函数图象判断函数极值
[例1] (多选题)(2022·山东潍坊二模)定义在区间[-12,4]上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增
B.函数f(x)在区间(-12,0)上单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值
解析:根据导函数图象可知,在区间(-∞,0)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,在区间(0,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值,没有极大值.
所以A,B,D选项正确,C选项错误.故选ABD.
由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
求函数的极值
[例2] (2022·北京模拟)已知函数f(x)=ex-ax-1.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
解:(1)f′(x)=ex-a,所以k=f′(0)=1-a,
f(0)=0,所以切点为(0,0),
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(1-a)x.
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=ex-a,
当a≤0时,f′(x)=ex-a≥0对x∈R恒成立,
f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,无极值;
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号;
(5)求出极值.
由函数极值(极值个数)求参数
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b等于( )
A.-7B.0
C.-7或0D.-15或6
(2)(2022·吉林长春二模)函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值,又有极小值,则a的取值范围是 .
解析:(1)由函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,
得f′(x)=3x2+2ax+b.
又函数f(x)在x=1处有极小值10,
所以f'(1)=0,f(1)=10,即3+2a+b=0,1+a+b+a2=10,
解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.
当a=4,b=-11时,
f′(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11).
令f′(x)>0得x>1或x<-113,
令f′(x)<0得-113所以函数f(x)在(-∞,-113)上单调递增,在(-113,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.显然满足函数f(x)在x=1处有极小值10.
当a=-3,b=3时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,不满足函数f(x)在x=1处有极小值10.
所以a+b=4-11=-7.故选A.
(2)f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3,
f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),
因为函数f(x)既有极大值,又有极小值,
所以Δ=(6a)2-4×3×3×(a+2)>0,
即a2-a-2>0,(a-2)(a+1)>0,
解得a>2或a<-1,
故a的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).
答案:(1)A (2)(-∞,-1)∪(2,+∞)
(1)已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件,所以用待定系数法求解后必须检验.
[针对训练]
1.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则f(x)的极值点的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
解析:因为在x=0左、右两边的导数值均为负数,所以0不是极值点,故由题图可知f(x)只有2个极值点.故选C.
2.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取极小值,且f(x)的极大值为4,则b等于( )
A.-1B.2C.-3D.4
解析:f(x)=(x-a)(x-b)ex=(x2-ax-bx+ab)ex,所以f′(x)=(2x-a-b)ex+(x2-ax-bx+ab)ex=ex[x2+(2-a-b)x+ab-a-b].
因为函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取极小值,所以f′(a)=ea[a2+(2-a-b)a+ab-a-b]=ea(a-b)=0,所以a=b,所以f(x)=(x-a)2ex,f′(x)=ex[x2+(2-2a)x+a2-2a]=ex(x-a)[x-(a-2)],
令f′(x)=0,得x=a或x=a-2,当x∈(-∞,a-2)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,a-2)上单调递增,当x∈(a-2,a)时,f′(x)<0,所以f(x)在(a-2,a)上单调递减,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=a-2处有极大值为f(a-2)=4ea-2=4,解得a=2,所以b=2.故选B.
3.已知函数f(x)=13x3+a2x2-2x+56,其中a∈R.若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解:(1)由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
(2)由(1)得f(x)=13x3-12x2-2x+56,
f′(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2).
令f′(x)=0,得x=-1或x=2.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如表所示,
所以当x=-1时,f(x)取得极大值,且f(-1)=2;
当x=2时,f(x)取得极小值,且f(2)=-52.
利用导数研究函数的最值
[例4] (2021·北京卷)已知函数f(x)=3-2xx2+a.
(1)若a=0,求y=f(x)在(1,f(1))处切线方程;
(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,以及最大值和最小值.
解:(1)当a=0时,f(x)=3-2xx2,
则f′(x)=2(x-3)x3,所以f(1)=1,f′(1)=-4,
此时,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0.
(2)因为f(x)=3-2xx2+a,
则f′(x)=-2(x2+a)-2x(3-2x)(x2+a)2=2(x2-3x-a)(x2+a)2,
由题意可得f′(-1)=2(4-a)(a+1)2=0,解得a=4,
故f(x)=3-2xx2+4,f′(x)=2(x+1)(x-4)(x2+4)2,
令f′(x)=0,得x=-1或x=4.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如表所示,
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(4,+∞),单调递减区间为(-1,4).
当x<32时,f(x)>0;当x>32时,f(x)<0.
所以f(x)max=f(-1)=1,
f(x)min=f(4)=-14.
(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
(2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
[针对训练] 已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数),在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为 .
解析:由已知可得,f′(x)=6x2-12x,由6x2-12x=0得x=2或x=0,因此在(-∞,0]和[2,+∞)上,f(x)单调递增,在[0,2]上,f(x)单调递减,又因为x∈[-2,2],所以当x∈[-2,0]时,f(x)单调递增,当x∈[0,2]时,f(x)单调递减,f(x)max=f(0)=m=3,故有f(x)=2x3-6x2+3,所以f(-2)=-37,f(2)=-5.因为f(-2)=-37答案:-37
导数在实际问题中的应用
[例5] 南半球某地区冰川的体积每年随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年的数据,冰川的体积(亿立方米)关于t的近似函数的关系为V(t)=-t3+11t2-24t+100,0(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期.以i-1(2)求一年内该地区冰川的最大体积.
解:(1)由题意可得V(t)<100.
①当00,
解得0②当10综上所述,衰退期为1月,2月,3月,9月,10月,11月,12月.
(2)①当0当t变化时,V(t)与V′(t)在区间(0,10]上的变化情况如表所示,
所以函数在(0,43),(6,10]上单调递减,在(43,6)上单调递增,
所以V(t)极大值=V(6)=136,
因为V(0)=100,此时V(t)max=V(6)=136.
②当10综上所述,一年内该地区冰川的最大体积为136亿立方米.
利用导数解决生活中优化问题的基本方法
(1)将实际问题利用函数进行抽象表达,并注意函数定义域.
(2)利用导数解决函数的最值问题.
(3)根据函数的最值得到优化问题的答案.
提醒:用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.
[针对训练]已知某服装厂每天的固定成本是30 000元,每生产一件服装,成本增加100元,每天最多可以生产m件.生产x件服装的收入函数是R(x)=-13x2+400x(x>0),记L(x),P(x)分别为每天生产x件服装的利润和平均利润(平均利润=总利润总产量).
(1)当m=600时,每天生产量x为多少时,利润L(x)有最大值,并求出L(x)的最大值;
(2)每天生产量x为多少时,平均利润P(x)有最大值,并求P(x)的最大值.
解:(1)根据题意,可得利润L(x)=R(x)-100x-30 000=-13x2+400x-100x-30 000=-13x2+300x-30 000,x∈(0,600],
整理得L(x)=-13(x-450)2+37 500,x∈(0,600],所以当x=450时,L(x)有最大值37 500元.
(2)依题意得P(x)=-13x2+300x-30 000x=-13(x+90 000x)+300,x∈(0,m],
则P′(x)=-x2-90 0003x2,x∈(0,m].
令P′(x)=0,即x2-90 0003x2=0,解得x=300或x=-300(舍去),
当x∈(0,300)时,P′(x)>0,P(x)在(0,300)上单调递增,当x∈(300,+∞)时,P′(x)<0,P(x)在(300,+∞)上单调递减,
所以若0若m≥300,当x=300时,P(x)取得最大值为100元.
[例1] 已知函数f(x)=x3-3ax+a(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在区间[0,3]上的最大值与最小值之差为g(a),求g(a)的最小值.
解:(1)因为f(x)=x3-3ax+a(a∈R),
所以f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
①当a≤0时,f′(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增;
②当a>0时,x∈(-∞,-a)∪(a,+∞)时,
f′(x)>0;x∈(-a,a)时,f′(x)<0,
故f(x)在(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增,在(-a,a)上单调递减.
(2)由(1)可知,
①当a≤0时,f(x)在[0,3]上单调递增,
g(a)=f(3)-f(0)=27-9a;
②当a≥3,即a≥9时,f(x)在[0,3]上单调递减,g(a)=f(0)-f(a)=9a-27;
③当0于是f(x)min=f(a)=-2aa+a,
又f(0)=a,f(3)=27-8a.
故当0当3≤a<9时,g(a)=2aa.
综上可得,g(a)=27-9a,a≤0,27-9a+2aa,0当0令x=a,则0设h(x)=27-9x2+2x3,
h′(x)=6x2-18x=6x(x-3)<0,
所以h(x)在(0,3)上单调递减,
又x=a单调递增,
所以g(a)在(0,3)上单调递减,
所以g(a)在(-∞,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,
所以g(a)的最小值为g(3)=63.
[例2] 设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R,试讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.
解:函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),
其中a∈R,x∈(-1,+∞).
导函数为f′(x)=1x+1+2ax-a=2ax2+ax-a+1x+1.
令g(x)=2ax2+ax-a+1.
(1)当a=0时,g(x)=1,此时f′(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增,无极值点;
(2)当a>0时,Δ=a2-8a(1-a)=a(9a-8).
①当0②当a>89时,Δ>0,设方程2ax2+ax-a+1=0的两个实数根分别为x1,x2,x1因为x1+x2=-12,所以x1<-14,x2>-14.
由g(-1)>0,可得-1所以当x∈(-1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
因此函数f(x)有两个极值点.
(3)当a<0时,Δ>0,由g(-1)=1>0,可得x1<-1所以当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,
函数f(x)单调递减.
因此函数f(x)有一个极值点.
综上所述,当a<0时,函数f(x)有一个极值点;当0≤a≤89时,函数f(x)无极值点;
当a>89时,函数f(x)有两个极值点.
[例3] 函数f(x)=xln x-(a+1)x+1.
(1)若函数f(x)有2个零点,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)在[1,e]上的值域为[1-2e,-2],求实数a的值.
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=ln x+x·1x-(a+1)=ln x-a,
当0当x>ea时,f′(x)>0,
所以f(x)在(0,ea)上为减函数,在(ea,+∞)上为增函数,
所以当x=ea时,f(x)取得最小值,为f(ea)=ealn ea-(a+1)ea+1=1-ea,
因为当x趋近于0时,f(x)趋近于1,当x趋近于正无穷时,f(x)也趋近于正无穷,
所以若函数f(x)有2个零点,则1-ea<0,
解得a>0.
(2)由(1)可知,函数f(x)在(0,ea)上为减函数,在(ea,+∞)上为增函数,且f(x)的最小值为1-ea,若f(x)在[1,e]上的值域为[1-2e,-2],
则1-ea≤1-2e,即ea≥2e>e,所以a>1,
所以函数f(x)在[1,e]上为减函数,
所以f(1)=-a=-2,f(e)=1-ae=1-2e,解得a=2,符合题意.
综上所述,a=2.x
(-∞,ln a)
ln a
(ln a,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
x
(-∞,-1)
-1
(-1,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
x
(-∞,-1)
-1
(-1,4)
4
(4,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
t
(0,43)
43
(43,6)
6
(6,10]
V′(t)
-
0
+
0
-
V(t)
单调
递减
极小值
单调
递增
极大值
单调
递减