高考数学第一轮复习复习第4节　三角函数的图象与性质（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第4节　三角函数的图象与性质（讲义），共20页。

1.能画出y=sin x,y=cs x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-π2,π2)内的单调性.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,-1),(2π,0).
余弦函数y=cs x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
1.对称性与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.要注意求函数y=Asin(ωx+)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0,避免出现增减区间混淆的情况.
3.对于y=tan x不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(kπ-π2,kπ+π2)(k∈Z)内为增函数.
1.若函数y=2sin 2x-1的最小正周期为T,最大值为A,则( A )
A.T=π,A=1B.T=2π,A=1
C.T=π,A=2D.T=2π,A=2
2.函数f(x)=2csx-1定义域为( C )
A.[π3+2kπ,2π3+2kπ](k∈Z)
B.[π6+2kπ,5π6+2kπ](k∈Z)
C.[-π3+2kπ,π3+2kπ](k∈Z)
D.[-π6+2kπ,π6+2kπ](k∈Z)
解析:由题意,函数f(x)=2csx-1有意义,则满足2cs x-1≥0,即cs x≥12,解得-π3+2kπ≤x≤π3+2kπ,k∈Z,所以函数f(x)的定义域为[-π3+2kπ,π3+2kπ](k∈Z).
3.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x+2cs2x,则( BC )
A.f(x)的最大值为3
B.f(x)的图象关于直线x=π8对称
C.f(x)的图象关于点(-π8,1)对称
D.f(x)在[-π4,π4]上单调递增
解析:f(x)=sin 2x+2cs2x=sin 2x+cs 2x+1=2sin(2x+π4)+1,则f(x)的最大值为2+1,故A错误;
f(π8)=2sin(2×π8+π4)+1=2+1,
则f(x)的图象关于直线x=π8对称,故B正确;
f(-π8)=2sin[2×(-π8)+π4]+1=1,
则f(x)的图象关于点(-π8,1)对称,故C正确;
当x∈[-π4,π4]时,2x+π4∈[-π4,3π4],
故当2x+π4∈[-π4,π2],即x∈[-π4,π8]时,
函数单调递增;
当2x+π4∈[π2,3π4],
即x∈[π8,π4]时,
函数单调递减,故D错误.
4.cs 23°,sin 68°,cs 97°的大小关系是 .
解析:sin 68°=cs 22°,
又y=cs x在[0,π]上是减函数,
所以cs 22°>cs 23°>cs 97 °,
即sin 68°>cs 23°>cs 97°.
答案:sin 68°>cs 23°>cs 97°
5.(必修第一册P207练习T5改编)函数y=cs(π4-2x)的单调递减区间为 .
解析:由y=cs(π4-2x)=cs(2x-π4),
得2kπ≤2x-π4≤2kπ+π(k∈Z),
解得kπ+π8≤x≤kπ+5π8(k∈Z),
所以函数的单调递减区间为[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z).
答案:[kπ+π8,kπ+5π8](k∈Z)
三角函数的定义域、值域
1.函数y=2sin(πx6-π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( A )
A.2-3B.0
C.-1D.-1-3
解析:因为0≤x≤9,所以-π3≤πx6-π3≤7π6,
所以sin(πx6-π3)∈[-32,1],
所以y∈[-3,2],所以ymax+ymin=2-3.
2.函数y=1tanx-1的定义域为 .
解析:要使函数有意义,
则tanx-1≠0,x≠π2+kπ,k∈Z,
即x≠π4+kπ,k∈Z,x≠π2+kπ,k∈Z.
故函数的定义域为{x|x≠π4+kπ,且x≠π2+kπ,k∈Z}.
答案:{x|x≠π4+kπ,且x≠π2+kπ,k∈Z}
3.函数y=sinx-csx的定义域为 .
解析:法一 要使函数有意义,必须使sin x-cs x≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cs x的图象,如图所示.
在[0,2π]内,满足sin x=cs x的x的值为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以函数y=sinx-csx的定义域为{x|2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z}.
法二 sin x-cs x=2sin(x-π4)≥0,将x-π4视为一个整体,由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kπ≤x-π4≤π+2kπ,k∈Z,解得2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z,所以函数y=sinx-csx的定义域为{x|2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z}.
答案:{x|2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k∈Z}
4.当x∈[π6,7π6]时,函数y=3-sin x-2cs2x的值域为 .
解析:因为x∈[π6,7π6],所以sin x∈[-12,1].
又y=3-sin x-2cs2x
=3-sin x-2(1-sin2x)
=2(sin x-14)2+78,
所以当sin x=14时,ymin=78,
当sin x=-12或sin x=1时,ymax=2,
即函数的值域为[78,2].
答案:[78,2]
(1)求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式,常借助三角函数图象来求解.
(2)求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略:
①形如y=asin x+bcs x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+)+k的形式,再求最值(值域);
②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
三角函数的单调性
求三角函数的单调区间、比较大小
[例1] (1)已知函数f(x)=2cs(x+π6),设a=f(π7),b=f(π6),c=f(π4),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.c>a>bD.b>a>c
(2)函数y=sin(π3-2x)的单调递减区间为 .
解析:(1)a=f(π7)=2cs 13π42,b=f(π6)=2cs π3,c=f(π4)=2cs 5π12,因为y=cs x在[0,π]上单调递减,
又13π42<π3<5π12,所以a>b>c.故选A.
(2)函数y=sin(π3-2x)=-sin(2x-π3)的单调递减区间是函数y=sin(2x-π3)的单调递增区间.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z.故所给函数的单调递减区间为[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z.
答案:(1)A (2)[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z
(1)利用三角函数单调性比较大小,需将待比较的角转化为同一个单调区间.
(2)求y=Asin(ωx+)(或y=Acs(ωx+))(ω≠0)的单调区间,需将ωx+看作一个整体,结合相应函数单调性求解,当ω<0时,要利用诱导公式将x系数化为正数.
根据三角函数的单调性求参数
[例2] 已知ω>0,函数f(x)=12cs ωx-32sin(π-ωx)在(π3,π2)上单调递增,则ω的取值范围是( )
A.[2,6]B.(2,6)
C.[2,103]D.(2,103)
解析:f(x)=12cs ωx-32sin(π-ωx)=12·cs ωx-32sin ωx=sin ωxcs5π6+cs ωxsin5π6=sin(ωx+5π6),又f(x)在(π3,π2)上单调递增,
所以2kπ-π2≤π3ω+5π6,π2ω+5π6≤2kπ+π2,k∈Z,
解得6k-4≤ω≤4k-23,
由6k-4≤4k-23得k≤53,
又ω>0,k∈Z,因此k=1,
所以2≤ω≤103.故选C.
对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系求解,另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
[针对训练]
1.函数f(x)=tan(2x-π3)的单调递增区间是( )
A.[kπ2-π12,kπ2+5π12](k∈Z)
B.(kπ2-π12,kπ2+5π12)(k∈Z)
C.(kπ+π6,kπ+2π3)(k∈Z)
D.[kπ-π12,kπ+5π12](k∈Z)
解析:由kπ-π2<2x-π3得kπ2-π12所以函数f(x)=tan(2x-π3)的单调递增区间为
(kπ2-π12,kπ2+5π12)(k∈Z).故选B.
2.若f(x)=sin(2x-π4),则( )
A.f(1)>f(2)>f(3)B.f(3)>f(2)>f(1)
C.f(2)>f(1)>f(3)D.f(1)>f(3)>f(2)
解析:由π2≤2x-π4≤3π2,可得3π8≤x≤7π8,所以函数f(x)在区间[3π8,7π8]上单调递减,由于1<3π8<2,且3π8-1<2-3π8,故f(1)>f(2),由于3π8<2<7π8<3,且7π8-2>3-7π8,故f(2)>f(3),所以f(1)>f(2)>f(3).故选A.
3.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω= .
解析:因为f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,
所以当0≤ωx≤π2,
即0≤x≤π2ω时,y=sin ωx单调递增;
当π2≤ωx≤3π2,
即π2ω≤x≤3π2ω时,y=sin ωx单调递减.
由f(x)=sin ωx(ω>0)在[0,π3]上单调递增,
在[π3,π2]上单调递减,知π2ω=π3,
所以ω=32.
答案:32
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
[例3] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3A.1B.32C.52D.3
(2)(多选题)已知函数f(x)=sin xcs x+32(1-2sin2x),则下列有关函数f(x)的说法正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称
B.函数f(x)的最小正周期为π
C.函数f(x)的图象关于直线x=π6对称
D.函数f(x)的最大值为3
(3)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是 .(填序号)
①y=cs(2x+π2);
②y=sin(2x+π2);
③y=sin 2x+cs 2x;
④y=sin x+cs x.
解析:(1)因为2π3解得2<ω<3.因为y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称,所以b=2,且sin(3π2ω+π4)+b=2,即sin(3π2ω+π4)=0,所以3π2ω+π4=kπ(k∈Z),又2<ω<3,所以13π4<3π2ω+π4<19π4,
所以3π2ω+π4=4π,
解得ω=52,
所以f(x)=sin(52x+π4)+2,
所以f(π2)=sin(52×π2+π4)+2=sin3π2+2=1.故选A.
(2)由题可知f(x)=12sin 2x+32cs 2x=sin(2x+π3).当x=π3时,2x+π3=π,故函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称,故A正确;函数f(x)的最小正周期T=2π2=π,故B正确;当x=π6时,2x+π3=2π3,所以函数f(x)的图象不关于直线x=π6对称,故C错误;函数f(x)的最大值为1,故D错误.故选AB.
(3)y=cs(2x+π2)=-sin 2x,最小正周期T=2π2=π,且为奇函数,其图象关于原点对称,故①正确;
y=sin(2x+π2)=cs 2x,最小正周期为π,且为偶函数,其图象关于y轴对称,故②不正确;
③④均为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故③④不正确.
答案:(1)A (2)AB (3)①
(1)若f(x)=Asin(ωx+)(A,ω≠0),则
①f(x)为偶函数的充要条件是=π2+kπ(k∈Z);
②f(x)为奇函数的充要条件是=kπ(k∈Z).
(2)函数y=Asin(ωx+)与y=Acs(ωx+)的最小正周期T=2π|ω|,y=Atan(ωx+)的最小正周期T=π|ω|.
(3)对于可化为f(x)=Asin(ωx+)(或f(x)=A·cs(ωx+))形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+=π2+kπ(k∈Z)(或令ωx+=kπ(k∈Z)),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+=kπ(k∈Z)(或令ωx+=π2+kπ(k∈Z)),求x即可.
(4)对于可化为f(x)=Atan(ωx+)形式的函数,如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+=kπ2(k∈Z),求x即可.
[针对训练]
1.在函数①y=cs|2x|,②y=|cs x|,③y=cs(2x+π6),④y=tan(2x-π4)中,最小正周期为π的函数为( )
A.①②③B.①③④
C.②④D.①③
解析:①y=cs|2x|=cs 2x,最小正周期为π;
②由函数图象知y=|cs x|的最小正周期为π;
③y=cs(2x+π6)的最小正周期T=2π2=π;
④y=tan(2x-π4)的最小正周期T=π2.故选A.
2.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为4π,则该函数的图象( )
A.关于点(π3,0)对称
B.关于点(5π3,0)对称
C.关于直线x=π3对称
D.关于直线x=5π3对称
解析:因为函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为4π,即T=2πω=4π,所以ω=12,即f(x)=2sin(x2+π6).令x2+π6=π2+kπ(k∈Z),解得x=2π3+2kπ(k∈Z),故f(x)图象的对称轴为直线x=2π3+2kπ(k∈Z).令x2+π6=kπ(k∈Z),解得x=-π3+2kπ(k∈Z),故f(x)图象的对称中心为9-π3+2kπ,0)(k∈Z),对比选项可知B正确.故选B.
3.函数f(x)=3sin(2x-π3+),∈(0,π),若f(x)为奇函数,则等于 .
解析:若f(x)=3sin(2x-π3+)为奇函数,
则-π3+=kπ,k∈Z,
即=π3+kπ,k∈Z,
又因为∈(0,π),所以=π3.
答案:π3
[知识链接]
三角函数中ω的求解一般要利用其性质,解决此类问题的关键是:(1)若已知三角函数的单调性,则转化为集合的包含关系,进而建立ω所满足的不等式(组)求解;(2)若已知函数的对称性,则根据三角函数的对称性研究其周期性,进而可以研究ω的取值;(3)若已知三角函数的最值,则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系,可以列出关于ω的不等式(组),进而求出ω的值或取值范围.
一、三角函数的周期与ω
[典例1] 为了使函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值为( )
A.98πB.197π2
C.199π2D.100π
解析:由题意,至少出现50次最大值即至少需用4914个周期,所以1974T=1974·2πω≤1,所以ω≥197π2.故选B.
解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T=2πω与所给区间的关系,从而建立不等关系.
二、三角函数的最值、图象的对称性与ω
[典例2] 已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||≤π2),-π4为f(x)的零点,直线x=π4为f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)上单调,则ω的最大值为( )
A.11B.9C.7D.5
解析:因为-π4为f(x)的零点,直线x=π4为f(x)的图象的对称轴,所以π4-(-π4)=T4+kT,k∈Z,
即π2=4k+14T=4k+14·2πω,
所以ω=4k+1(k∈N),又因为f(x)在(π18,5π36)上单调,所以5π36-π18=π12≤T2=2π2ω,即ω≤12,由此得ω的最大值为9.故选B.
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系,列出关于ω的不等式,进而求出ω的值或取值范围.
三、函数零点问题与ω
[典例3] 函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在(π2,3π2)上没有零点,则ω的取值范围是( )
A.(0,19]B.(0,1]
C.(0,19]∪[13,79]D.(0,19]∪[79,1]
解析:因为函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在
x∈(π2,3π2)上没有零点,ωx∈(ωπ2,3ωπ2),
ωx-π6∈(ωπ2-π6,3ωπ2-π6),
所以ωπ2-π6≥kπ,3ωπ2-π6≤(k+1)π(k∈Z),
所以13+2k≤ω≤19+23(k+1)(k∈Z),
即13+2k≤ω≤79+23k(k∈Z),
因为79+23k≥13+2k,所以k≤13,
又因为ω>0,所以79+23k>0,
所以k>-76,所以-76因为k∈Z,所以k=-1或k=0,
当k=-1时,-53≤ω≤19;
当k=0时,13≤ω≤79,
又因为ω>0,所以ω的取值范围是(0,19]∪[13,79].故选C.
三角函数的零点问题,需要利用整体思想,数形结合等进行解决,通常要考虑最小正周期,确定ω的范围.
四、三角函数的极值与ω
[典例4] (2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是( )
A.[53,136)B.[53,196)
C.(136,83]D.(136,196]
解析:由x∈(0,π),得ωx+π3∈(π3,πω+π3).根据函数f(x)在区间(0,π)恰有三个极值点,得5π2<πω+π3≤7π2,解得136<ω≤196.根据函数f(x)在区间(0,π)恰有两个零点,知2π<πω+π3≤3π,得53<ω≤83.综上,ω的取值范围为136<ω≤83.故选C.
(1)先根据函数在所给区间的单调性判断ω;
(2)计算对称轴;
(3)依据函数在所给区间存在极值点列不等式即可求解.
[拓展演练]
1.已知函数f(x)=cs(ωx+π3)(ω>0)的一条对称轴为直线x=π3,一个对称中心为点(π12,0),则ω有( )
A.最小值2B.最大值2
C.最小值1D.最大值1
解析:因为函数的中心到对称轴的最短距离是T4,两条对称轴间的最短距离是T2,所以对称中心(π12,0)到对称轴x=π3间的距离用周期可表示为π3-π12≥T4,又因为T=2πω,所以2πω4≤π4,所以ω≥2,所以ω有最小值2.故选A.
2.函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)在区间[0,π]上恰有两个最小值点,则ω的取值范围为( )
A.[134,214)B.[2,6)
C.[94,174)D.[114,194)
解析:令t=ωx+π4,因为x∈[0,π],
所以t∈[π4,ωπ+π4],
问题转化为函数f(t)=sin t在t∈[π4,ωπ+π4]时恰有两个最小值点,
所以有7π2≤ωπ+π4<11π2,
因为ω>0,所以134≤ω<214.故选A.
3.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)-ω(ω>0)在区间(0,7π3ω)上有且仅有4个零点,则ω的取值范围是( )
A.(0,1)B.(32,1)
C.(12,1)D.[1,2]
解析:根据题意,函数f(x)=sin(ωx+π3)-ω(ω>0),若f(x)=0,
即sin(ωx+π3)=ω,必有0<ω≤1,
令t=ωx+π3,x∈(0,7π3ω),
则π3设g(t)=sin t,t∈(π3,8π3),
则函数y=g(t)和y=ω的图象在区间(π3,8π3)内有4个交点,
又由于sinπ3=sin8π3=32,必有32<ω<1,
即ω的取值范围是(32,1).故选B.
4.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间(π2,π)不存在极值点,则ω的取值范围是( )
A.(0,12]B.(0,12]∪[32,74]
C.[1,32]D.(0,12]∪[1,32]
解析:f(x)=sin ωx(ω>0),因为函数f(x)在区间(π2,π)上不存在极值点,所以kπ+π2≤π2ω,且πω≤(k+1)π+π2对任意的k∈Z都成立,所以k+12≤12ω,且ω≤k+32,所以2k+1≤ω,且ω≤k+32,所以0<ω≤12或1≤ω≤32.故选D.
[例1] 已知函数y=sin(x+π4+)是奇函数,则的值可以是( )
A.0B.-π4C.π2D.π
解析:由y=sin(x+π4+)是奇函数,
得π4+=kπ,k∈Z,所以=kπ-π4,k∈Z.
令k=0,得=-π4.故选B.
[例2] 函数f(x)=3sin(2x-π6)在区间[0,π2]上的值域为 .
解析:当x∈[0,π2]时,2x-π6∈[-π6,5π6],
所以sin(2x-π6)∈[-12,1],
故3sin(2x-π6)∈[-32,3],
所以函数f(x)在区间[0,π2]上的值域为[-32,3].
答案:[-32,3]
[例3] 已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0),若f(x)在[0,2π3]上恰有两个零点,且在[-π4,π24]上单调递增,则ω的取值范围是 .
解析:由题意,令ωx+π3=kπ,k∈Z,
得x=3kπ-π3ω,k∈Z,
所以f(x)的第2个、第3个正零点分别为5π3ω,8π3ω,
所以5π3ω≤2π3,8π3ω>2π3,解得52≤ω<4,
令-π2+2kπ≤ωx+π3≤π2+2kπ,k∈Z,
得-5π6ω+2kπω≤x≤π6ω+2kπω,k∈Z,
令k=0,f(x)在[-5π6ω,π6ω]上单调递增,
所以[-π4,π24]⊆[-5π6ω,π6ω],
所以-5π6ω≤-π4,π6ω≥π24,ω>0,解得0<ω≤103.
综上,ω的取值范围是52≤ω≤103.
答案:[52,103]
[例4] 已知函数f(x)=cs(2x+),满足函数y=f(x-π12)是奇函数,且当||取最小值时,函数f(x)在区间[-π3,a2]和[3a,7π6]上均单调递增,则实数a的取值范围为 .
解析:因为函数f(x)=cs(2x+),满足函数y=f(x-π12)=cs(2x-π6+)是奇函数,
且当||取最小值时,-π6+=-π2,
所以=-π3.
因为函数f(x)=cs(2x-π3)在区间[-π3,a2]和[3a,7π6]上均单调递增,
所以2×(-π3)-π3<2·a2-π3≤0,π≤2·3a-π3<2×7π6-π3,
解得2π9≤a≤π3,
则实数a的取值范围为[2π9,π3].
答案:[2π9,π3]
函数
y=sin x
y=cs x
y=tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠kπ+π2,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
递增区间:
[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z),
递减区间:
[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)
递增区间:
[2kπ-π,2kπ](k∈Z),
递减区间:
[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
递增区间:
(kπ-π2,kπ+π2)(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心
(kπ,0)(k∈Z)
对称中心
(kπ+π2,0)(k∈Z)
对称中心
(kπ2,0)(k∈Z)
对称轴
x=kπ+π2(k∈Z)
对称轴
x=kπ(k∈Z)
—
周期性
2π
2π
π