高考数学第一轮复习复习第4节　幂函数与二次函数（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第4节　幂函数与二次函数（讲义），共16页。

1.通过具体实例,结合y=x,y=1x,y=x2,y=x12,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象与性质
续 表
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
(2)二次函数的图象与性质
续 表
1.(多选题)(必修第一册P91练习T3改编)下列关于幂函数图象和性质的描述中,正确的是( AB )
A.幂函数的图象都过点(1,1)
B.幂函数的图象都不经过第四象限
C.幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种
D.幂函数必定是增函数或减函数中的一种
解析:因为1α=1,所以幂函数的图象都经过点(1,1),故A正确;当x>0时,xα>0,幂函数的图象都不经过第四象限,故B正确;y=x12的定义域为[0,+∞),为非奇非偶函数,故C错误;y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数,但在定义域内不是减函数,故D错误.
2.如图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限内的图象,则a,b,c的大小关系为( D )
A.cC.b解析:令x=2,结合图象有2a<2c<2b,
所以a3.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、第三、第四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象可能是( C )
解析:因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、第三、第四象限,所以a<0,b<0,所以二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,对称轴x=-b2a<0,且过原点,所以A,B,D不正确.
4.若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上单调,则实数k的取值范围为 .
解析:由题意,得k8≥20或k8≤5,
解得k≥160或k≤40.
答案:(-∞,40]∪[160,+∞)
5.(2022·浙江杭州联考)已知函数f(x)=x2-2ax+b(a>1)的定义域和值域都为[1,a],则b= .
解析:因为f(x)=x2-2ax+b的图象关于直线x=a对称,
所以f(x)在[1,a]上为减函数,
又f(x)的值域为[1,a],
所以f(1)=1-2a+b=a,f(a)=a2-2a2+b=1,
解得a=2或a=1(舍去),所以b=5.
答案:5
幂函数的图象与性质
1.(2023·河南郑州调研)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的大致图象是( C )
解析:设幂函数的解析式为y=xα,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α=12,所以y=x,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当02.已知a=243,b=323,c=2512,则( A )
A.bC.b解析:由题意得b=323<423=243=a,
a=243=423<4<5=2512=c,所以b3.(2022·湖南长沙质检)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m= .
解析:由幂函数定义,知m2-3m+3=1,解得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x的图象不关于y轴对称,舍去,当m=2时,f(x)=x2的图象关于y轴对称,因此m=2.
答案:2
4.若(a+1)12<(3-2a)12,则实数a的取值范围是 .
解析:易知函数y=x12的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以a+1≥0,3-2a≥0,a+1<3-2a,
解得-1≤a<23.
答案:[-1,23)
(1)求解与幂函数图象有关的问题,应根据幂函数在第一象限内图象的特征,结合其奇偶性、单调性等性质研究.
(2)比较幂值的大小时,若同底数的幂函数用指数函数的性质比较,若同指数,可构造幂函数,利用幂函数的性质比较大小,若不同底数、指数时可利用中间变量或作差(作商)法比较.
注意:研究幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性、定义域、值域时,若α是分数,一般先将其化为根式,再求解.
二次函数的解析式
[例1] 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.
解:法一(利用“一般式”解题)
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由题意,得4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,4ac-b24a=8,解得a=-4,b=4,c=7,
所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
法二(利用“顶点式”解题)
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
因为f(2)=f(-1),
所以抛物线的对称轴为x=2+(-1)2=12,
所以m=12.
又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,
所以f(x)=a(x-12)2+8.
因为f(2)=-1,所以a(2-12)2+8=-1,
解得a=-4,
所以f(x)=-4(x-12)2+8=-4x2+4x+7.
法三(利用“零点式”解题)
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8,即4a(-2a-1)-(-a)24a=8,
解得a=-4,
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:
[针对训练]
1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)= .
解析:因为f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,所以y=f(x)的图象关于直线x=2对称.又y=f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为2-22=1和2+22=3,所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标分别为(1,0)和(3,0).因此设f(x)=a(x-1)(x-3).又点(4,3)在y=f(x)的图象上,所以3a=3,则a=1.故f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
答案:x2-4x+3
2.已知函数的图象关于y轴对称,且与直线y=x相切,则满足上述条件的二次函数可以为f(x)= .
解析:因为二次函数f(x)的图象关于y轴对称,所以可设f(x)=ax2+c,由y=ax2+c,y=x得ax2-x+c=0,所以Δ=1-4ac=0,得ac=14.取a=1,c=14,则f(x)=x2+14.
答案:x2+14(答案不唯一)
二次函数的图象、性质及应用
二次函数的图象
[例2] (多选题)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.2a+b=0
B.4a+2b+c<0
C.9a+3b+c<0
D.abc<0
解析:由二次函数图象开口向下知,a<0,对称轴为x=-b2a=1,即2a+b=0,故b>0.
又因为f(0)=c>0,f(2)=f(0)=4a+2b+c>0,f(3)=f(-1)=9a+3b+c<0,故abc<0.
故选ACD.
二次函数的图象应用学会“三看”
(1)一看符号:看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向.
(2)二看对称轴:看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置.
(3)三看特殊点:看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.
二次函数的单调性与最值
[例3] (2023·辽宁沈阳模拟)已知f(x)=ax2-2x+1.
(1)若f(x)在[0,1]上单调,求实数a的取值范围;
(2)若x∈[0,1],求f(x)的最小值g(a).
解:(1)当a=0时,f(x)=-2x+1单调递减;
当a>0时,f(x)的对称轴为x=1a,且1a>0,
所以1a≥1,即0当a<0时,f(x)的对称轴为x=1a,且1a<0,
所以a<0符合题意.
综上可知,a≤1.
(2)①当a=0时,f(x)=-2x+1在[0,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=-1.
②当a>0时,f(x)=ax2-2x+1的图象开口方向向上,且对称轴为x=1a.
a.当1a<1,即a>1时,f(x)=ax2-2x+1的图象的对称轴在[0,1]内,
所以f(x)在[0,1a]上单调递减,在[1a,1]上单调递增,
所以f(x)min=f(1a)=1a-2a+1=-1a+1.
b.当1a≥1,即0所以f(x)min=f(1)=a-1.
③当a<0时,f(x)=ax2-2x+1的图象的开口方向向下,且对称轴x=1a<0,在y轴的左侧,
所以f(x)=ax2-2x+1在[0,1]上单调递减,
所以f(x)min=f(1)=a-1.
综上所述,g(a)=a-1,a≤1,-1a+1,a>1.
解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,根据图象的对称轴方程x=h和所给区间并结合图象求解.
(1)对称轴和区间都固定时,根据单调性和图象直接求解.
(2)若区间固定,对称轴变动,这时要讨论顶点横坐标是否在区间中;若对称轴固定,区间变动,这时要讨论区间与对称轴的位置关系,讨论的目的是为了明确对称轴和区间的位置关系,再根据函数单调性求最值或值域.
二次函数的恒成立问题
[例4] 设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;
(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.
解:(1)要使mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,显然-1<0,满足题意;
若m≠0,得m<0,Δ=m2+4m<0,
解得-4所以所求m的取值范围是(-4,0].
(2)法一 要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
即m(x-12)2+34m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
令g(x)=m(x-12)2+34m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,
所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,
所以0当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以g(x)max=g(1)=m-6<0,得m<6,
所以m<0.
综上所述,m的取值范围是(-∞,67).
法二 当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,
即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.
因为x2-x+1=(x-12)2+34>0,
又m(x2-x+1)-6<0,所以m<6x2-x+1.
因为函数y=6x2-x+1=6(x-12) 2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可.
综上所述,m的取值范围是(-∞,67).
由不等式恒成立求参数取值范围的思路
(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
[针对训练]
1.(多选题)函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=xa在同一坐标系中的图象可能为( )
解析:当a<0时,g(x)=xa为奇函数,定义域为{x|x≠0},且在(0,+∞)上单调递减,而f(x)=ax2+2x+1的图象开口向下,对称轴为直线x=-1a>0,f(0)=1,故A符合;当a=2n(n∈N*)时,g(x)=xa为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,f(x)=ax2+2x+1的图象开口向上,且对称轴为直线x=-1a<0,Δ=4-4a<0,其图象和x轴没有交点,故D符合;当a=12n(n∈N*)时,函数g(x)=xa的定义域为[0,+∞),且在[0,+∞)上单调递增,f(x)=ax2+2x+1的图象开口向上,且对称轴为直线x=-1a<0,Δ=4-4a>0,图象和x轴有两个交点,故C符合.B明显不符合题意.故选ACD.
2.已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-1)B.(-1,2]
C.[-1,2]D.[2,5]
解析:二次函数f(x)=-x2+4x的图象是开口向下的抛物线,最大值为4,且在x=2处取得,而当x=5或x=-1时,f(x)=-5.结合函数f(x)图象可知m的取值范围是[-1,2].故选C.
3.已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是 .
解析:f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,
即x2-3x+1-m>0,
令g(x)=x2-3x+1-m,
要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,
只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
因为g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,
所以g(x)min=g(1)=-m-1.
由-m-1>0,得m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
[例1] (多选题)设函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则下列不等式正确的是( )
A.f(m+1)>0B.f(m+1)<0
C.f(-2-m)>0D.f(-2-m)<0
解析:
因为f(x)的对称轴为x=-12,f(0)=f(-1)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示.由f(m)<0,得-10>-12,所以f(m+1)>f(0)>0,f(-2-m)=f(m+1)>0.故选AC.
[例2] 若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.[-113,-3]B.[-6,-4]
C.[-3,-22]D.[-4,-3]
解析:由题意,得f(x)为偶函数,
所以f(x)在[1,2]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,
当x>0时,f(x)=x2+ax+2,
对称轴为直线x=-a2,
所以2≤-a2≤3,
解得-6≤a≤-4.故选B.
[例3] 函数y=1x2-ax-a在[-2,-12]上单调递增,则实数a的取值范围是 .
解析:因为y=1x2-ax-a在[-2,-12]上单调递增,所以f(x)=x2-ax-a在[-2,-12]上单调递减,则-12≤a2,即a≥-1.
同时需满足f(-2)f(-12)>0,
即14(a+4)(2a-1)<0,解得-4综上可知a∈[-1,12).
答案:[-1,12)
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x12
y=x-1
图象
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x12
y=x-1
性
质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0,+∞)上单调递增
在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减
公共点
(1,1)
一般式
f(x)=ax2+bx+c(a≠0),图象的对称轴是x=-b2a,顶点坐标是(-b2a,4ac-b24a)
顶点式
f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),图象的对称轴是x=m,顶点坐标是(m,n)
零点式
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,图象的对称轴是x=x1+x22
函数
y=ax2+bx+c
(a>0)
y=ax2+bx+c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
[4ac-b24a,+∞)
(-∞,4ac-b24a]
对称轴
x=-b2a
顶点
坐标
(-b2a,4ac-b24a)
函数
y=ax2+bx+c
(a>0)
y=ax2+bx+c
(a<0)
奇偶性
当b=0时,是偶函数,
当b≠0时,是非奇非偶函数
单调性
在(-∞,-b2a]上是减函数,在[-b2a,+∞)上是增函数
在(-∞,-b2a]上是增函数,在[-b2a,+∞)上是减函数