高考数学第一轮复习复习第5节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用（讲义）

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[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+)的图象,了解参数A,ω,对函数图象变化的影响.
2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.y=Asin(ωx+)的有关概念
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个关键点
如表所示:
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
1.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是||个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.
2.函数y=Asin(ωx+)的对称轴由ωx+=kπ+π2,k∈Z确定;对称中心由ωx+=kπ,k∈Z确定其横坐标.
1.函数y=2sin(12x-π3)的振幅、频率和初相分别为( C )
A.2,4π,π3B.2,14π,π3
C.2,14π,-π3D.2,4π,-π3
解析:由题意知A=2,f=1T=ω2π=14π,初相为-π3.
2.已知函数f(x)=sin 2x,要得到函数g(x)=sin(2x-π4)的图象,只需将y=f(x)的图象( B )
A.向左平移π8个单位长度
B.向右平移π8个单位长度
C.向左平移π4个单位长度
D.向右平移π4个单位长度
3.(2020·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=cs(ωx+π6)在[-π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( C )
A.10π9B.7π6
C.4π3D.3π2
解析:由题图知函数f(x)的最小正周期T满足
0-(-π)即π即1813<|ω|<2.
因为函数f(x)的图象过点(-4π9,0),
所以cs(-4π9ω+π6)=0,
所以-4π9ω+π6=π2+kπ(k∈Z),
解得ω=-94k-34(k∈Z),
所以k=-1,ω=32,
所以T=2πω=4π3.
4.将函数f(x)的图象向左平移π3个单位长度,再把所得的图象保持纵坐标不变,横坐标伸长到原来的4倍,得到y=sin(x2+π4)的图象,则f(x)的解析式是 ,函数f(x)在区间[-π8,π12]上的值域是 .
解析:由题意,把y=sin(x2+π4)的图象的横坐标变为原来的14,纵坐标不变,可得y=sin(2x+π4)的图象;
再把所得图象向右平移π3个单位长度,
可得f(x)=sin[2(x-π3)+π4]=sin(2x-5π12)的图象.
当x∈[-π8,π12]时,2x-5π12∈[-2π3,-π4],
则sin(2x-5π12)∈[-1,-22].
答案:f(x)=sin(2x-5π12) [-1,-22]
5.如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+)+b,A>0,ω>0,0<<π,则这段曲线的函数解析式为 .
解析:从题图中可以看出,6～14时的图象是函数
y=Asin(ωx+)+b的半个周期,
所以A=12×(30-10)=10,
b=12×(30+10)=20.
又12·2πω=14-6,所以ω=π8.
又π8×10+=2kπ,k∈Z,0<<π,
所以=3π4,
所以y=10sin(π8x+3π4)+20,x∈[6,14].
答案:y=10sin(π8x+3π4)+20,x∈[6,14]
函数y=Asin(ωx+)的图象及变换
[例1] 已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,-π2<<π2)的最小正周期是π,且当x=π6时,f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)作出f(x)在[0,π]上的图象(要列表);
(3)函数y=f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到?
解:(1)因为函数f(x)的最小正周期是π,
所以ω=2.
又因为当x=π6时,f(x)取得最大值2,
所以A=2.
同时2×π6+=2kπ+π2,k∈Z,
得=2kπ+π6,k∈Z.
因为-π2<<π2,
所以=π6,
所以f(x)=2sin(2x+π6).
(2)因为x∈[0,π],
所以2x+π6∈[π6,13π6].
列表如下
描点、连线得图象.
(3)将y=sin x的图象上的所有点向左平移π6个单位长度,得到函数y=sin(x+π6)的图象,再将y=sin(x+π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+π6)的图象,再将y=sin(2x+π6)的图象上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变),得到f(x)=2sin(2x+π6)的图象.
(1)函数y=Asin(ωx+)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z=ωx+计算五点坐标.
(2)由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
[针对训练]
1.(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是( )
A.16B.14C.13D.12
解析:记曲线C的函数解析式为g(x),则g(x)=sin[ω(x+π2)+π3]=sin[ωx+(π2ω+π3)].
因为函数g(x)的图象关于y轴对称,
所以π2ω+π3=kπ+π2(k∈Z),
得ω=2k+13(k∈Z).
因为ω>0,所以ωmin=13.故选C.
2.(2021·全国乙卷)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sin(x-π4)的图象,则f(x)等于( )
A.sin(x2-7π12)B.sin(x2+π12)
C.sin(2x-7π12)D.sin(2x+π12)
解析:依题意,将y=sin(x-π4)的图象向左平移π3个单位长度,再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数f(x)的图象,所以y=sin(x-π4)y=sin(x+π12)的图象f(x)=sin(x2+π12)的图象.故选B.
由图象确定y=Asin(ωx+)的解析式
[例2] (1)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象,已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<π2)的部分图象如图所示,则( )
A.g(x)=sin(2x+π3)
B.g(x)=sin(2x+2π3)
C.g(x)=sin 2x
D.g(x)=sin(2x+π6)
(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)=2cs(ωx+)的部分图象如图所示,则f(π2)= .
解析:(1)根据题图有A=1,34T=5π6-π12=3π4,
所以T=π=2πω,
得ω=2(T为f(x)的最小正周期),
所以f(x)=sin(2x+),
由f(π12)=sin(2×π12+)=1,
得sin(π6+)=1,
所以π6+=π2+2kπ,k∈Z,
所以=π3+2kπ,k∈Z.
因为||<π2,
所以=π3,所以f(x)=sin(2x+π3),
将f(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象,
则g(x)=f(x-π6)=sin[2(x-π6)+π3]=sin 2x.故选C.
(2)法一(五点法) 由题图可知A=2,34T=13π12-π3=3π4(T为f(x)的最小正周期),
则T=π,
所以2πω=π,得ω=2,
故f(x)=2cs(2x+).点(π3,0)可看作“五点法”中的第二个点,故2×π3+=π2,
得=-π6,
即f(x)=2cs(2x-π6),
所以f(π2)=2cs(2×π2-π6)=-3.
法二(代点法) 由题意知,34T=13π12-π3=3π4(T为f(x)的最小正周期),所以T=π,2πω=π,则ω=2.又点(π3,0)在函数f(x)的图象上,所以2cs(2×π3+)=0,所以2×π3+=π2+kπ(k∈Z),令k=0,则=-π6,所以f(x)=2cs(2x-π6),所以f(π2)=2cs(2×π2-π6)=-2cs π6=-3.
答案:(1)C (2)-3
(1)已知f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,利用周期性求ω,难点是“”的确定.
(2)y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)中的确定方法
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
[针对训练]
1.把函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π4个单位长度,得到函数g(x)的图象,已知函数g(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<π2)的部分图象如图所示,则f(x)等于( )
A.sin(4x+π3)B.sin(4x+π6)
C.sin(x+π6)D.sin(x+π3)
解析:先根据函数图象求函数g(x)=Asin(ωx+)的解析式,由振幅可得A=1,
显然T4=π3-π12=π4,
所以T=π,所以2πω=π,所以ω=2,
所以g(x)=sin(2x+),
再由g(π12)=sin(π6+)=0,||<π2,
可得=-π6,
所以g(x)=sin(2x-π6).
将函数g(x)=sin(2x-π6)的图象上的所有点先向左平移π4个单位长度可得
y=sin[2(x+π4)-π6]=sin(2x+π3)的图象,
再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变可得
f(x)=sin(x+π3)的图象.故选D.
2.函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,||<π2,ω>0)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 .
解析:法一 由题图知A=2,T4=7π12-π3=π4,所以T=π,则ω=2,所以f(x)=2sin(2x+).
又(π3,0)对应“五点法”中的第三个点,所以2×π3+=π,即=π3,所以f(x)=2sin(2x+π3).
法二 由题图知A=2,以π3为第二个零点,(7π12,-2)为最小值点,列方程组ω·π3+φ=π,ω·7π12+φ=3π2,
解得ω=2,φ=π3,所以f(x)=2sin(2x+π3).
答案:f(x)=2sin(2x+π3)
函数y=Asin(ωx+)的图象与性质的综合应用
[例3] (多选题)(2022·辽宁锦州高一期末)将函数f(x)=3cs(2x+π3)-1的图象向左平移π3个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A.最小正周期为π
B.图象关于点(π4,0)对称
C.图象关于y轴对称
D.在区间(π2,π)上为增函数
解析:将函数f(x)=3cs(2x+π3)-1的图象向左平移π3个单位长度,可得y=3cs(2x+π)-1=-3cs 2x-1的图象,再向上平移1个单位长度,
得到函数g(x)=-3cs 2x的图象.
关于函数g(x),它的最小正周期为2π2=π,故A正确;
令x=π4,解得g(π4)=0,可得它的图象关于点(π4,0)对称,故B正确;
由于g(x)是偶函数,故它的图象关于y轴对称,故C正确;
在区间(π2,π)上,2x∈(π,2π),y=cs 2x单调递增,故g(x)=-3cs 2x在(π2,π)上为减函数,故D错误.故选ABC.
研究y=Asin(ωx+)的性质时,可将ωx+视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.
[针对训练] 已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<π2)的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
①函数y=f(x)的图象关于点(-π6,0)对称;
②函数y=f(x)的图象关于直线x=-5π12对称;
③函数y=f(x)在[-2π3,-π6]上为减函数;
④该图象向右平移π3个单位长度可得y=2sin 2x的图象.
A.①②B.①③
C.①②③D.①②④
解析:由函数的图象可得A=2,
周期T=4×(π3-π12)=π,
所以ω=2πT=2ππ=2,
因为当x=π12时,函数取得最大值,
即f(π12)=2sin(2×π12+)=2,
所以2×π12+=2kπ+π2(k∈Z),
则=2kπ+π3,k∈Z.
又||<π2,得=π3,
故函数f(x)=2sin(2x+π3).
当x=-π6时,
f(-π6)=2sin[2×(-π6)+π3]=0,故①正确;
当x=-5π12时,
f(-5π12)=2sin[2×(-5π12)+π3]=-2,
故②正确;
令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z),
得kπ+π12≤x≤kπ+7π12(k∈Z),
所以函数的单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12](k∈Z),[-2π3,-π6]⊈[kπ+π12,kπ+7π12](k∈Z),
故③不正确;
f(x)图象向右平移π3个单位长度,得到f(x-π3)=2sin[2(x-π3)+π3]=2sin(2x-π3)的图象,
故④不正确.故选A.
三角函数模型的应用
[例4] 如图,点A,B分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0(csπ3,sinπ3)开始,按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻,点A,B的纵坐标分别为y1,y2.
(1)求t=π4时,A,B两点间的距离;
(2)若y=y1+y2,求y关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈(0,π2]时,y的取值范围.
解:(1)连接AB,OA,OB(图略),
当t=π4时,∠xOA=π2+π3=5π6,∠xOB=π2,
所以∠AOB=2π3.
又OA=1,OB=2,
所以在△AOB中,由余弦定理得
AB2=12+22-2×1×2cs2π3=7,
即A,B两点间的距离为 7.
(2)依题意,y1=sin(2t+π3),y2=-2sin 2t,
所以y=sin(2t+π3)-2sin 2t=32cs 2t-32sin 2t=3cs(2t+π3),
即函数关系式为y=3cs(2t+π3)(t>0),
当t∈(0,π2]时,2t+π3∈(π3,4π3],
所以cs(2t+π3)∈[-1,12),
故当t∈(0,π2]时,y∈[-3,32).
三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.
[针对训练] 据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<π2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元,则7月份的出厂价格为 元.
解析:作出函数简图如图所示,
三角函数模型为y=Asin(ωx+)+B,
由题意知A=2 000,B=7 000,
T=2×(9-3)=12,
所以ω=2πT=π6.
将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点,
则有π6×3+=π2,所以=0,
故f(x)=2 000sinπ6x+7 000(1≤x≤12,x∈N*).
所以f(7)=2 000×sin7π6+7 000=6 000.
故7月份的出厂价格为6 000元.
答案:6 000
[例1] 把函数f(x)=2cs(2x-π4)的图象向左平移m(m>0)个单位长度,得到函数g(x)=2sin(2x-π3)的图象,则m的最小值是( )
A.7π24B.17π24
C.5π24D.19π24
解析:把函数f(x)=2cs(2x-π4)的图象向左平移m(m>0)个单位长度,得到g(x)=2cs[2(x+m)-π4]=2cs(2x+2m-π4)的图象,g(x)=2sin(2x-π3)=2cs[π2-(2x-π3)]=2cs(5π6-2x)=2cs(2x-5π6),由2m-π4=-5π6+2kπ,k∈Z,得m=-7π24+kπ,k∈Z,因为m>0,所以当k=1时,m最小,此时m=π-7π24=17π24.故选B.
[例2] (多选题)(2022·福建莆田检测)已知函数f(x)=sin ωx+3cs ωx(ω>0),其图象相邻的两条对称轴之间的距离是2π,则下列说法正确的是( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在[π3,7π3]上单调递减
C.f(x)的图象关于点(π,0)对称
D.f(x)的图象关于直线x=-5π3对称
解析:f(x)=sin ωx+3cs ωx=2sin(ωx+π3)(ω>0),因其图象相邻两条对称轴间的距离为2π,所以T2=2π,即T=4π(T为f(x)最小正周期),从而ω=12,所以f(x)=2sin(12x+π3),是非奇非偶函数,故A错误;由π2+2kπ≤12x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z),得π3+4kπ≤x≤7π3+4kπ(k∈Z),令k=0,得函数的一个单调递减区间为[π3,7π3],故B正确;因为f(π)=2sin(12×π+π3)=1≠0,故C错误;因为f(-5π3)=2sin(-5π6+π3)=-2,故D正确.
[例3] (多选题)已知函数f(x)=Asin(ωx+4)(A>0,ω>0,0<<π8)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的14,再向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列命题正确的是( )
A.函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(12x+π6)
B.函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(2x-π6)
C.函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=-π3
D.函数g(x)在区间[π,4π3]上单调递增
解析:由题图可知,A=2,T4=π,
所以T=4π=2πω,
解得ω=12,故f(x)=2sin(12x+4).
因为图象过点C(0,1),
所以1=2sin 4,即sin 4=12.
因为0<<π8,所以0<4<π2,
所以4=π6,
故f(x)=2sin(12x+π6),故A正确;
若其纵坐标不变,横坐标缩短到原来的14,
所得到的函数解析式为y=2sin(2x+π6),
再向右平移π6个单位长度,所得到的函数解析式为g(x)=2sin[2(x-π6)+π6]=2sin(2x-π6),故B正确;
当x=-π3时,f(-π3)=2sin 0=0,
即当x=-π3时,f(x)不是最值,故直线x=-π3不是函数f(x)的一条对称轴,故C错误;
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z),
得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z),
故函数g(x)的单调递增区间是[kπ-π6,kπ+π3](k∈Z),
当k=1时,g(x)在区间[5π6,4π3]上单调递增.
故D正确.故选ABD.
[例4] 若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)满足f(0)=f(π3),且函数在[0,π2]上有且只有一个零点,则f(x)的最小正周期为 .
解析:因为f(0)=f(π3),所以x=π6是f(x)图象的一条对称轴,所以f(π6)=±1,
所以π6ω+π6=π2+kπ,k∈Z,
所以ω=6k+2,k∈Z,所以T=π3k+1(k∈Z).
又f(x)在[0,π2]上有且只有一个零点,
所以π6所以2π3所以2π3<π3k+1≤4π3(k∈Z),
所以-112≤k<16,
又因为k∈Z,所以k=0,所以T=π.
答案:π
y=Asin(ωx+)
(A>0,ω>0),
x∈R
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=2πω
f=1T=ω2π
ωx+
ωx+
0
π2
π
3π2
2π
x
0-φω
π2-φω
π-φω
3π2-φω
2π-φω
y=Asin(ωx+)
0
A
0
-A
0
2x+π6
π6
π2
π
3π2
2π
13π6
x
0
π6
5π12
2π3
11π12
π
f(x)
1
2
0
-2
0
1