高考数学第一轮复习复习第5节　离散型随机变量的数字特征（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第5节　离散型随机变量的数字特征（讲义），共26页。
1.了解离散型随机变量的概念.
2.理解离散型随机变量的分布列及其均值、方差的概念.
3.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
1.离散型随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
2.离散型随机变量的分布列
(1)分布列的概念及表示
①一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
②与函数的表示法类似,离散型随机变量的分布列也可以用表格表示,如表,
还可以用图形表示.
(2)分布列的性质
根据概率的性质,离散型随机变量分布列具有两个性质:
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
3.离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示,
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=∑i=1nxipi为随机变量X的均值或数学期望.
(2)统计意义:均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则E(aX+b)=aE(X)+b.
4.离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义:设离散型随机变量X的分布列如表所示,
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=∑i=1n(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称D(X)为随机变量X的标准差,记为σ(X).
(2)统计意义:随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度,方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.
(3)性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则D(aX+b)=a2D(X).
1.若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量.
2.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.
3.方差与均值的关系:D(X)=E(X2)-(E(X))2.
1.(选择性必修第三册P60T2改编)抛掷两枚骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的试验结果为( D )
A.一枚1点、一枚3点
B.两枚都是4点
C.两枚都是2点
D.一枚1点、一枚3点,或者两枚都是2点
解析:抛掷两枚骰子,所得点数之和记为X,则X=4表示的随机试验结果是一枚是1点,一枚是3点或者两枚都是2点.
2.(2023·广西桂林模拟)随机变量X的分布列如表所示,
则P(|X|=1)等于( C )
A.12B.13C.23D.16
解析:P(|X|=1)=a+c=1-13=23.
3.(选择性必修第三册P66T1改编)已知随机变量X的分布列为
设Y=2X+1,则E(Y)= .
解析:E(X)=-12+16=-13,
E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=-23+1=13.
答案:13
4.篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是:命中得1分,不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9,设其罚球一次的得分为X,则X的方差D(X)= .
解析:由题意知,随机变量X的可能取值为0,1.
因为P(X=1)=0.9,P(X=0)=1-0.9=0.1,
所以E(X)=1×0.9+0×0.1=0.9,
D(X)=(1-0.9)2×0.9+(0-0.9)2×0.1=0.09.
答案:0.09
5.已知离散型随机变量X的取值为有限个,E(X)=72,D(X)=3512,则E(X2)= .
解析:因为E(X)=72,D(X)=3512,
由D(X)=E(X2)-(E(X))2,
得E(X2)=D(X)+(E(X))2=3512+722=916.
答案:916
离散型随机变量的分布列性质及简单应用
1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为
则常数a的值为( A )
A.13B.23
C.13或23D.-13或-23
解析:由分布列的性质可知0≤9a2-a≤1,0≤3-8a≤1,9a2-a+3-8a=1,
解得a=13.
2.已知m,n∈(0,1),离散型随机变量X的分布列如表所示,
若P(X≤12) =13,则E(X)等于( C )
A.34B.512C.1112D.95
解析:由所给表格及离散型随机变量的分布列的意义知3m>12,否则P(X≤12)=m+512,
与已知P(X≤12)=13矛盾,
从而P(X=0)=P(X≤12)=13,解得m=13,
又m+512+n=1,解得n=14,
所以E(X)=0·m+3m·512+2·n=3×13×512+2×14=1112.
3.已知随机变量X的分布列如下表,D(X)表示X的方差,则D(2X+1)= .
解析:由分布列知a+(1-2a)+14=1,解得a=14,于是E(X)=0·a+1·(1-2a)+2×14=1,D(X)=a·(0-1)2+(1-2a)(1-1)2+14×(2-1)2=12,所以D(2X+1)=4D(X)=4×12=2.
答案:2
4.(2022·重庆高三月考)已知随机变量X的概率分布为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,…,10),则实数a= ,P(2