高考数学第一轮复习复习第6节　二项分布、超几何分布与正态分布（讲义）

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1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.
2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系,并能解决简单的实际问题.
3.了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质,会用正态分布解决实际问题.
1.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,A表示“失败”,定义X=1,A发生,0,A 发生.
如果P(A)=p,则P(A)=1-p,那么X的分布列如表所示.
我们称X服从两点分布或0—1分布.
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).
2.二项分布
(1)n重伯努利试验
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:
同一个伯努利试验重复做n次;各次试验的结果相互独立.
(2)二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p).
(3)二项分布的均值与方差
如果X～B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).
(1)两点分布是二项分布的特殊情况.
(2)二项分布是放回抽样问题(独立重复).
3.超几何分布
(1)超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
(2)超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=MN,则p是N件产品的次品率,而Xn是抽取的n件产品的次品率,则E(Xn)=p,即E(X)=nMN=np.
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.
(2)“二项分布”与“超几何分布”的区别:有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.
(3)在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼,这表明试验可视为n重伯努利试验,进而判定是否服从二项分布.
4.正态分布
(1)连续型随机变量
随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.
(2)正态密度函数
①f(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数.
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
②若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X～N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
③若X～N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域 A的面积,而P(a≤X≤b)为区域 B的面积.
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
②曲线在x=μ处达到峰值1σ2π;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;
④当σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图所示.
当μ取定值时,因为正态曲线的峰值1σ2π与σ成反比,而且对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图所示.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
(5)正态分布在三个特殊区间内的概率
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
对于X～N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知
(1)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)P(X(3)P(a1.已知随机变量X～B(n,p),若E(X)=1,D(X)=45,则P(X=3)等于( D )
A.643 125B.128625
C.125D.32625
解析:由E(X)=1,D(X)=45,
得np=1,np(1-p)=45,
解得n=5,p=15,
所以P(X=3)=C53(15) 3(1-15) 2=32625.
2.已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品数为X,则E(X)等于( A )
A.2B.1C.43D.23
解析:X可能取1,2,3,其对应的概率为
P(X=1)=C22C41C63=15,
P(X=2)=C21C42C63=35,P(X=3)=C43C63=15,
所以E(X)=1×15+2×35+3×15=2.
3.(多选题)两点分布也叫0—1分布,已知随机变量X服从参数为0.5的两点分布,则下列选项正确的是( ABD )
A.P(X=0)=0.5B.P(X=1)=0.5
C.D(X)=0.5D.E(X)=0.5
解析:由参数为0.5的两点分布知P(X=0)=P(X=1)=0.5,故A,B正确;D(X)=0.5×(1-0.5)=0.25,C错误;E(X)=0.5×0+0.5×1=0.5,D正确.
4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(22.5)= .
解析:因为X～N(2,σ2),
所以P(X>2)=0.5,
所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2=0.5-0.36
=0.14.
答案:0.14
n重伯努利试验与二项分布
1.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=59,则P(η≥2)的值为( A )
A.1127B.3281C.6581D.1681
解析:由于ξ～B(2,p),
则P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=59,
所以p=13.
所以η～B(4,13),因此P(η≥2)=1-P(η=0)-P(η=1)=1-(23) 4-C41·13·(23) 3=1127.
2.甲、乙两位选手进行乒乓球比赛,5局3胜制,每局甲赢的概率是23,乙赢的概率是13,则甲以3∶1获胜的概率是( A )
A.827B.427C.49D.29
解析:由题意知,甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负,第4局比赛甲胜,则甲以3∶1获胜的概率是P=C32×(23) 2×13×23=827.
3.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次,每次取球1个,记X为取得红球的次数,则D(X)等于( D )
A.157B.207C.2521D.6049
解析:由题意从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出1个球,是红球的概率为33+4=37,因为是有放回地取球,所以X～B(5,37),所以D(X)=5×37×(1-37)=6049.
4.(2022·海南海口模拟)某班50名学生通过直播软件上网课,为了方便师生互动,直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口,大窗口始终显示老师讲课的画面,5个小窗口显示5名不同学生的画面.小窗口每5 min切换一次,即再次从全班随机选择5名学生的画面显示,且每次切换相互独立.若一节课40 min,则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的期望是( C )
A.10 minB.5 min
C.4 minD.2 min
解析:每5 min算作一轮,每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为550=110,设他在直播屏幕上出现的轮次为X,根据题意X～B(8,110),E(X)=8×110=0.8,设甲同学在直播屏幕上出现的时间为Y min,则E(Y)=E(5X)=5×8×110=4.
(1)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ～B(n,p),则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
(2)判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
①在每一次试验中,事件发生的概率相同.
②各次试验中的事件是相互独立的.
③在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.
超几何分布
[例1] 在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列.
解:(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”为事件M,则P(M)=C84C105=518.
(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,
P(X=2)=C63C42C105=1021,P(X=3)=C62C43C105=521,
P(X=4)=C61C44C105=142.
因此,X的分布列为
[典例迁移1] (变结论)在本例第(2)问,若用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数,求X的分布列.
解:由题意可知X的所有可能取值为1,2,3,4,5,则
P(X=1)=C61C44C105=142,P(X=2)=C62C43C105=521,
P(X=3)=C63C42C105=1021,P(X=4)=C64C41C105=521,
P(X=5)=C65C105=142.
因此,X的分布列为
[典例迁移2] (变结论)在本例第(2)问,若用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差,求X的分布列.
解:由题意知X的所有可能取值为3,1,-1,-3,-5,
则P(X=3)=C44C61C105=142,P(X=1)=C43C62C105=521,
P(X=-1)=C42C63C105=1021,P(X=-3)=C41C64C105=521,
P(X=-5)=C65C105=142.
因此X的分布列为
求超几何分布的分布列的步骤
第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
第三步,用表格的形式列出分布列.
正态分布
正态分布的理解与有关概率计算
[例2] (1)在某校的一次化学考试中,全体考生的成绩近似地服从正态分布N(80,100),已知成绩在90分以上的学生有32名,则参加考试的学生总数约为( )
(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.202B.205C.206D.208
(2)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)等于( )
A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6
解析:(1)因为化学考试的成绩X服从正态分布N(80,100),显然期望μ=80,标准差σ=100=10,于是得P(X>90)=12[1-P(70≤X≤90)]=12-12P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.158 7,所以参加考试的学生总数约为32÷0.158 7≈202.故选A.
(2)由P(ξ<4)=0.9,得P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,则P(-2<ξ<1)=12P(-2<ξ<4)=12×0.8=0.4.故选C.
(1)根据正态曲线在已知区间上的概率求解问题,可利用正态曲线关于直线x=μ对称的特征,结合正态曲线的图象及正态曲线的性质如P(Xμ+a)等求解.
(2)利用正态分布结合样本总体估计样本落在某一区间的频数时,首先应计算出样本落在该区间的频(概)率,再根据频(概)率的意义求解,此类问题要注意“3σ”原则的应用.
正态分布的应用
[例3] 为普及传染病防治知识,增强市民的疾病防范意识,提高自身保护能力,某市举办传染病防治知识有奖竞赛.现从该市所有参赛者中随机抽取了100名参赛者的竞赛成绩,并以此为样本绘制了如表所示的频数分布表.
(1)求这100名参赛者的竞赛成绩的样本均值x和样本方差s2;(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(2)若该市所有参赛者的成绩X近似地服从正态分布N(μ,σ2),用样本估计总体,μ近似为样本均值,σ2近似为样本方差,利用所得正态分布模型解决以下问题:(参考数据:226≈15)
①如果按照15.87%,34.13%,34.13%,15.87%的比例将参赛者的竞赛成绩划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级,试确定各等级的分数线;(精确到整数)
②若该市共有10 000名市民参加了竞赛,试估计参赛者中获得特等奖的人数.(结果四舍五入到整数)
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解:(1)由频数分布表可得
x=1100×(35×6+45×10+55×18+65×33+75×16+85×11+95×6)=65,
s2=1100×(302×12+202×21+102×34)=226.
(2)该市所有参赛者的成绩X近似地服从正态分布N(65,226),
①设竞赛成绩达到a及以上为特等奖;成绩达到b但小于a为一等奖,成绩达到c但小于b为二等奖,成绩未达到c为参与奖,则
P(X≥a)=15.87%,P(b≤X由于P(X≥b)=P(X≥a)+P(b≤X由于P(c≤X因此c≈μ-σ≈50,a≈μ+σ≈80,所以分数低于50的为参与奖,分数大于等于50小于65的为二等奖,分数大于等于65小于80的为一等奖,分数大于等于80的为特等奖.
②因为μ+σ≈80,
所以P(X≥80)≈1-0.682 72=0.158 65.
所以估计参赛者中获得特等奖的人数为
0.158 65×10 000≈1 587.
利用正态分布求解实际问题,首先应根据题目特征计算随机变量的均值与方差,进而计算标准差,将问题转化为正态分布问题,结合正态分布的有关性质求解.计算时要注意计算结果的准确性(若已知题目中告诉相应的数据,则在计算中应出现并利用相应的数据).
[针对训练] 近几年,中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户承包了一个新型温室鲜花大棚,种植和销售红玫瑰和白玫瑰.该农户从去年的销售数据中随机抽取了红玫瑰10天的销量数据如下(单位:枝):
615,575,625,590,600,600,570,615,580,630.
(1)求这10天红玫瑰销量的平均数x和方差s2;
(2)若这个大棚红玫瑰的日销量X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2可分别用(1)中的x和s2代替,白玫瑰的日销量Y服从正态分布N(280,402),又已知红玫瑰的售价为2元/枝,白玫瑰的售价为4元/枝,预计今年哪种玫瑰的日销售额超过1 280元的天数更多.
解:(1)x=110×(615+575+625+590+600+600+570+615+580+630)=600,
s2=110×[152+(-25)2+252+(-10)2+(-30)2+152+(-20)2+302]=400.
(2)由(1)可知X～N(600,202).
若红玫瑰的日销售额超过1 280元,
则需X>640=600+2×20.
若白玫瑰的日销售额超过1 280元,
则需Y>320=280+1×40.
根据正态分布的特征可知
P(X>640)320),
即白玫瑰的日销售额超过1 280元的概率更大,
因此预计今年白玫瑰的日销售额超过1 280元的天数更多.
[例1] 设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望为67,则口袋中白球的个数为 .
解析:法一 设口袋中有白球x个,由已知可得取得白球个数ξ的可能取值为0,1,2,则ξ服从超几何分布,P(ξ=k)=CxkC7-x2-kC72(k=0,1,2),
所以P(ξ=0)=C7-x2C72,P(ξ=1)=Cx1C7-x1C72,
P(ξ=2)=Cx2C72.
所以E(ξ)=Cx1C7-x1C72+2Cx2C72=67.
所以x(7-x)+x(x-1)=67×21=18,
所以6x=18,所以x=3.
法二 依题意,取得白球个数ξ服从超几何分布,因此E(ξ)=2x7=67,所以x=3.
答案:3
[例2] (2022·山东枣庄一模)已知随机变量X～B(6,0.8),若P(X=k)最大,则D(kX+1)= .
解析:由题意知P(X=k)=C6k·(0.2)6-k·(0.8)k,要使P(X=k)最大,有
C6k·(0.2)6-k·(0.8)k≥C6k-1·(0.2)7-k·(0.8)k-1,C6k·(0.2)6-k·(0.8)k≥C6k+1·(0.2)5-k·(0.8)k+1,
化简得0.8×7-kk≥0.2,0.2≥0.8×6-kk+1,解得235≤k≤285,故k=5,又D(X)=6×0.8×0.2=0.96,
故D(kX+1)=D(5X+1)=52D(X)=24.
答案:24
[例3] 对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均数作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn～N(0,2n),为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,至少要测量 次(若X～N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)≈0.954 5).
解析:根据正态曲线的对称性知,要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,则(μ-2σ,μ+2σ)⊆(-0.5,0.5)且μ=0,σ=2n,所以0.5≥22n⇒n≥32,所以至少要测量32次.
答案:32
[选题明细表]
1.已知随机变量ξ～N(2,σ2),若P(2<ξ<3)=0.3,则P(ξ≤1)等于( D )
A.0.6 B.0.5 C.0.3 D.0.2
解析:由随机变量ξ～N(2,σ2)及正态分布的对称性,P(1<ξ<2)=
P(2<ξ<3)=0.3,所以P(ξ≤1)=0.5-P(1<ξ<2)=0.5-0.3=0.2.
2.(2022·浙江稽阳高三联考)设X为随机变量,X～B(6,p),若随机变量X的期望为4,则P(X≥1)等于( D )
A.1729 B.4243 C.716729 D.728729
解析:由X～B(6,p)及其期望为4可知6p=4,解得p=23,所以P(X≥1)=
1-C60(1-23) 6=728729.
3.某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件,零件的尺寸分别记为X,Y,已知X,Y均服从正态分布,X～N(μ1,σ12),Y～N(μ2,σ22),其正态分布密度曲线如图所示,则下列结论正确的是( C )
A.甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
解析:由X～N(μ1,σ12),Y～N(μ2,σ22),
结合图象,可得μ1=μ2,σ1<σ2,
即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值,甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性.
4.(2022·吉林长春模拟)已知随机变量X～B(4,13),下列表达式正确的是( C )
A.P(X=2)=481 B.E(3X+1)=4
C.D(3X+1)=8 D.D(X)=49
解析:因为X～B(4,13),所以E(X)=4×13=43,D(X)=4×13×(1-13)=89,
因此E(3X+1)=3E(X)+1=3×43+1=5,D(3X+1)=32D(X)=9×89=8.
因此选项B,D不正确,选项C正确,又因为P(X=2)=C42(13) 2(1-13) 2=827,所以选项A不正确.
5.(2022·山东济南高三检测)已知某校有1 200名同学参加某次模拟考试,其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(100,225),从中任取3名同学,至少有2人的数学成绩超过100分的概率为( A )
A.12 B.23 C.34 D.78
解析:因为数学考试成绩X近似服从正态分布N(100,225),所以P(X>100)=12,所以从中任取3名同学,至少有2人的数学成绩超过100分的概率为P=C32(12) 2×12+C33(12) 3=12.
6.(多选题)一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球,其中有6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,记随机变量X为取出白球的个数,随机变量Y为取出黑球的个数,若取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,随机变量Z为取出4个球的总得分,则下列结论正确的是( BD )
A.P(X=1)=12B.X+Y=4
C.E(X)>E(Y)D.E(Z)=285
解析:由题意可知,X,Y均服从超几何分布,且X+Y=4,Z=2X+Y,故B正确,P(X=k)=C4kC64-kC104(k=0,1,2,3,4),P(X=1)=C41C63C104=821,故A错误;E(X)=4×
410=85,E(Y)=4-E(X)=125,E(X)7.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则下列结论正确的是( ACD )
A.X～B(4,23)
B.P(X=2)=881
C.X的数学期望E(X)=83
D.X的方差D(X)=89
解析:从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球记1分,取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,所以随机变量X服从二项分布X～B(4,23),故A正确;
X=2,记其概率为P(X=2)=C42×(23) 2×(13) 2=827,故B错误;
因为X～B(4,23),所以X的数学期望为E(X)=4×23=83,故C正确;
因为X～B(4,23),所以X的方差为D(X)=4×23×13=89,故D正确.
8.(2022·天津高三阶段练习)袋中装有4个红球和4个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得3分,取到1个黑球得1分,设得分为随机变量ξ,则ξ≥8的概率为 .
解析:ξ≥8的事件是ξ=8,ξ=10,ξ=12的三个互斥事件的和,
ξ=8的事件是取出2个红球、2个黑球的事件,P(ξ=8)=C42C42C84=1835,
ξ=10的事件是取出3个红球、1个黑球的事件,P(ξ=10)=C43C41C84=835,
ξ=12的事件是取出4个红球的事件,P(ξ=12)=C44C84=170.
因此,P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=10)+P(ξ=12)=1835+835+170=5370.
答案:5370
9.高中联招对初三毕业学生进行体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施.某地区2022年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、
1分钟跳绳三项测试,三项考试满分为50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到如图频率分布直方图,且规定计分规则如下表:
(1)现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于33分的概率;
(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ,σ2),用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,已知样本方差
s2≈169(各组数据用中点值代替).根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步,假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个,现利用所得正态分布模型:
(ⅰ)预估全年级恰好有2 000名学生时,正式测试每分钟跳182个以上的人数;(结果四舍五入到整数)
(ⅱ)若在全年级所有学生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解:(1)两人得分之和不大于33分,即两人得分均为16分,或两人中
1人16分、1人17分,由题意知样本的100名学生中,得分在[155,165)的有100×0.006×10=6(人),在[165,175)的有100×0.012×10=
12(人).
则其概率为P=C62+C61C121C1002=291 650.
(2)x=160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.10+
210×0.08=185,
又σ2=s2≈169,σ=13,所以正式测试时,μ=195,
σ=13,所以μ-σ=182.
(ⅰ)所以P(X>182)≈1-1-0.682 72≈0.841 4,
所以0.841 4×2 000≈1 683(人).
(ⅱ)由正态分布模型,在全年级所有学生中任取1人,每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5,
即ξ～B(3,0.5),
所以P(ξ=0)=C30(1-0.5)3=0.125,
P(ξ=1)=C310.5×(1-0.5)2=0.375,
P(ξ=2)=C320.52×(1-0.5)=0.375,
P(ξ=3)=C330.53=0.125.
所以ξ的分布列为
E(ξ)=3×0.5=1.5.
10.已知X～B(n,p),若4P(X=2)=3P(X=3),则p的最大值为( B )
A.56 B.45 C.34 D.23
解析:由题意可知n≥3,
因为4P(X=2)=3P(X=3),
所以4Cn2p2(1-p)n-2=3Cn3p3(1-p)n-3,
整理得4(1-p)=(n-2)p,
即p=4n+2,又n∈N*,且n≥3,所以p≤45.
11.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,
σ2),下列结论中不正确的是( D )
A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B.σ越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.σ越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.σ越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
解析:对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;
对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;
对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;
对于D,因为该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以在一次测量中结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.
12.(2022·山东潍坊模拟)Pissn分布是统计学里常见的离散型概率分布,其概率分布列为P(X=k)=λkk!e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是Pissn分布的均值.当二项分布的n很大(n≥20)而p很小(p≤0.05)时,Pissn分布可作为二项分布的近似.假设每个大肠杆菌基因组含有10 000个核苷酸对,采用0.05 J/m2紫外线照射大肠杆菌时,每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.000 3,已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死,则致死率是( A )
A.1-e-3 B.e-3 C.1-3e-3 D.1-4e-3
解析:n=10 000≥20,p=0.000 3≤0.05,此时Pissn分布满足二项分布的近似的条件,此时λ=10 000×0.000 3=3,故不致死的概率为P(X=0)=300!e-3=e-3,致死的概率为1-P(X=0)=1-e-3.
13.甲、乙两人进行乒乓球比赛,采用“5局3胜制”,即先胜3局为胜方,比赛结束.已知甲每局获胜的概率均为0.6,则甲开局获胜并且最终以3∶1取胜的概率为 .
解析:据题意可知甲开局获胜并且最终以3∶1取胜的情况为开局和第四局甲赢,中间两局赢一局输一局,故所求概率为0.6×C21×0.6×
(1-0.6)×0.6=2×0.63×(1-0.6)=0.172 8.
答案:0.172 8
14.已知一个袋子中装有1个红球,3个绿球,1个黄球.从袋中随机取球,每次取3个,则取出的3个球颜色各不相同的概率为 ,记取出的球颜色种数为ξ,则E(ξ)= .
解析:由题意,共有5个球,从中取出3个球,则有C53=10种不同的取法.
取出的3个球颜色各不相同,则红球、绿球、黄球各取1个,有C31=3种不同的取法,
所以取出的3个球颜色各不相同的概率为310.
取出的球颜色种数ξ的可能取值为1,2,3,
P(ξ=3)=310,P(ξ=1)=110,
P(ξ=2)=C11C32+C11C3210=610=35,
所以ξ的分布列为
所以E(ξ)=1×110+2×35+3×310=115.
答案:310 115
15.(2022·重庆一模)2020年8月,教育部发布《关于深化体教融合,促进青少年健康发展的意见》.某校积极响应国家号召,组织全校学生加强实心球项目训练.规定该校男生投掷实心球6.9 m达标,女生投掷实心球6.2 m达标,并拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次,一旦达标无需再投.从该校任选5名学生进行测试,如果有2人不达标的概率超过0.1,则该校学生还需加强实心球项目训练,已知该校男生投掷实心球的距离ξ1服从正态分布N(6.9,0.25),女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.2,0.16)(ξ1,ξ2的单位:m).
(1)请你通过计算,判断该校学生是否还需加强实心球项目训练;
(2)为提高学生考试达标率,该校决定加强训练,经过一段时间训练后,该校女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.516,0.16),且
P(ξ2≤6.832)=0.785.此时,请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到99%?并说明理由.(310≈2.15)
解:(1)依题意,该校男生投掷实心球的距离ξ1服从正态分布N(6.9,0.25),女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N(6.2,0.16),
所以男生和女生的达标概率为12,不达标概率为12,
所以从该校任选5名学生进行测试,有2人不达标的概率为C52×
(12) 2×(12) 3=1032=516>0.1,
所以该校学生还需加强实心球项目训练.
(2)ξ2～N(6.516,0.16),
即ξ2～N(6.2+0.316,0.42),
且P(ξ2≤6.832)=0.785,
即P(ξ2≤6.516+0.316)=0.785,
所以P(ξ2≥6.2)=P(ξ2≤6.832)=0.785,
310≈2.15,31010≈0.215,101 000≈0.2153,0.2153≈0.01,
则女生达标率为1-(1-0.785)3=1-0.2153=0.99.
所以该校女生投掷实心球的考试达标率能达到99%.X
0
1
P
1-p
p
X
0
1
2
3
4
P
142
521
1021
521
142
X
1
2
3
4
5
P
142
521
1021
521
142
X
3
1
-1
-3
-5
P
142
521
1021
521
142
竞赛
成绩
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
人数
6
10
18
33
竞赛
成绩
[70,80)
[80,90)
[90,100]
—
人数
16
11
6
—
知识点、方法
题号
两点分布、二项分布
2,4,7,10,12
超几何分布
6,8
正态分布
1,3,5,9,11
概率分布模型的综合应用
13,14,15
每分钟跳绳个数
[155,165)
[165,175)
得分
16
17
每分钟跳绳个数
[175,185)
[185,+∞)
得分
19
20
ξ
0
1
2
3
P
0.125
0.375
0.375
0.125
ξ
1
2
3
P
110
35
310