高考数学第一轮复习复习第9节　函数模型及其应用（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第9节　函数模型及其应用（讲义），共16页。

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义.
1.常见的函数模型
2.三种函数模型性质的比较
1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
2.函数f(x)=x+ax(a>0)的性质及最值:
(1)该函数在(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增,在[-a,0)和(0,a]上单调递减.
(2)当x>0时,x=a 时取最小值2a,
当x<0时,x=-a 时取最大值-2a.
1.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( C )
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
解析:由题意知4.9=5+lg V,得lg V=-0.1,得V=10-110≈0.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
2.(必修第一册P156习题T14改编)在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:
在以下四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是( D )
A.y=a+bxB.y=a+bx
C.y=a+lgbxD.y=a+bx
解析:在平面直角坐标系中画出(x,y)表示的点,根据点的特征可知,当自变量每增加1时,y的增加是不相同的,所以不是线性增加,排除A;由图象不具有反比例函数特征,排除B;因为自变量有负值,排除C;当自变量增加到3时,y增加很多,所以符合指数函数的增加特征,D正确.
3.(2022·北京一模)大气压强p=压力受力面积,大气压强p(单位:Pa)随海拔高度h(单位:m)的变化规律是p=p0e-kh(k=0.000 126 m-1),p0是海平面大气压强.已知在某高山A1,A2两处测得的大气压强分别为p1,p2,p1p2=12.那么A1,A2两处的海拔高度的差约为(参考数据:ln 2≈0.693)( C )
A.550 m B.1 818 m
C.5 500 mD.8 732 m
解析:p1p2=p0·e-k·ℎ1p0·e-k·ℎ2=e-k·ℎ1e-k·ℎ2=ek·ℎ2-k·ℎ1=12,故h1-h2=ln2k≈ 126=5 500 m.
4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为 m3.
解析:设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,由题意得y=mx(010),
则10m+(x-10)·2m=16m,解得x=13.
答案:13
5.某桶装水经营部每天的固定成本为420元,每桶水的进价为5元,日均销售量y(单位:桶)与销售单价x(单位:元)的关系式为y=-30x+450,则该桶装水经营部要使利润最大,销售单价应定为 元.
解析:由题意得该桶装水经营部每日利润为W(x)=(-30x+450)(x-5)-420,整理得W(x)=-30x2+600x-2 670=-30(x2-20x)-2 670=-30(x-10)2+330,则当x=10时,利润最大.
答案:10
利用函数图象刻画实际问题
1.某部门为尽快稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( B )
解析:由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大,故函数的图象应一直是下凸的.
2.水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水的速度如图甲、乙所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示,给出以下3个论断:
①0时到3时只进水不出水;
②3时到4时不进水只出水;
③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是 (填序号).
解析:由甲、乙图可得进水速度为1,出水速度为2,结合丙图中直线的斜率可知,只进水不出水时,蓄水量增加的速度是2,故①正确;
不进水只出水时,蓄水量减少的速度为2,故②不正确;
两个进水,一个出水时,蓄水量减少的速度也是0,故③不正确.
答案:①
3.(2022·湖北武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律,统计显示,生长4年的树高为73 m,如图所示的散点图,记录了样本树的生长时间t(单位:年)与树高y(单位:m)之间的关系.请你据此判断,在下列函数模型:①y=2t-a;②y=a+lg2t;③y=12t+a;④y=t+a中(其中a为正的常数),生长年数与树高的关系拟合最好的是 (填写序号),估计该树生长8年后的树高为 m.
解析:由散点图的走势,知模型①不合适.
曲线过点(4,73),则后三个模型的解析式分别为②y=13+lg2t;③y=12t+13;④y=t+13,当t=1时,代入④中,得y=43,与图不符,易知拟合最好的是②.
将t=8代入②式,得y=13+lg28=103(m).
答案:② 103
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
已知函数模型求解实际问题
[例1] 某地区引入一种特色农产品种植,该农产品上市时间仅能维持5个月,预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.经研究其价格模拟函数为f(t)=t(t-3)2+n(0≤t≤5,其中t=0表示5月1日,t=1表示6月1日,以此类推),若f(2)=6,为保护农户的经济效益,当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销,请你预测该农产品价格下跌的月份为( )
A.5月和6月B.6月和7月
C.7月和8月D.8月和9月
解析:因为f(t)=t(t-3)2+n,f(2)=6,
所以f(2)=2+n=6,所以n=4,
所以f(t)=t(t-3)2+4.
法一 f(0)=4,f(1)=(1-3)2+4=8,
f(2)=2×(2-3)2+4=6,f(3)=3×(3-3)2+4=4,f(4)=4×(4-3)2+4=8,f(5)=5×(5-3)2+4=24,因此t=1,2时价格下跌,即该农产品价格下跌的月份为6月和7月.故选B.
法二 由f(t)=t(t-3)2+4可知
f′(t)=(t-3)2+2t(t-3)=3(t-1)(t-3).
令f′(t)<0得1因为t=1表示6月1日,t=2表示7月1日,t=3表示8月1日,所以该农产品价格下跌的月份为6月和7月.故选B.
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
[针对训练] 教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国家标准,教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定,刚下课时,空气中含有0.2%的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t(单位:分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λe-t12(λ∈R)描述,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据:ln 3≈1.1)( )
A.10分钟B.14分钟
C.15分钟D.20分钟
解析:由题意知,当t=0时,y=0.2,
所以0.05+λe0=0.2,即λ=0.15,
所以y=0.05+0.15e-t12≤0.1,解得e-t12≤13,
所以-t12≤-ln 3,t≥12ln 3≈13.2,故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.故选B.
构建函数模型解决实际问题
构建二次函数、分段函数模型
[例2] 某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利0.2万元;如果进行精加工后销售,每吨可获利0.6万元,但需另外支付一定的加工费,总的加工费P(单位:万元)与精加工的蔬菜量x(单位:吨)有如下关系:
P=120x2,0≤x≤8,3x+810,8(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大,并求出最大利润.
解:(1)由题意知,当0≤x≤8时,
y=0.6x+0.2(14-x)-120x2=-120x2+25x+145,
当8y=0.6x+0.2(14-x)-3x+810=110x+2,
即y=-120x2+25x+145,0≤x≤8,110x+2,8(2)当0≤x≤8时,y=-120x2+25x+145=-120(x-4)2+185,
所以当x=4时,ymax=185.
当8所以当x=14时,ymax=175.
因为185>175,所以当x=4时,ymax=185.
所以当精加工蔬菜4吨时,总利润最大,最大利润为185万元.
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,因此需要构建分段函数模型.
(2)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).
(3)二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得.
构造指数、对数函数模型
[例3] 某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2019年全年投入科研经费 1 300 万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( )
A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年
解析:根据题意,设n年后该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元,
则有1 300×(1+12%)n≥2 000,
即1.12n≥2013,
不等号两边同时取对数可得lg 1.12·n≥lg 2-lg 1.3,
即n≥3.8,
则4年后,即2023年该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元.
故选D.
涉及与指数、对数函数有关的函数模型问题,应结合函数解析式以及指数、对数函数的运算性质求解.求解时注意指数式与对数式的互化,以及实际问题中的条件限制.
构建y=x+ax(a>0)函数模型
[例4] 如图所示,某街道拟设立一占地面积为a m2的常态化核酸采样点,场地形状为矩形,根据防疫要求,采样点周围通道设计规格要求为:长边外通道宽5 m,短边外通道宽8 m,采样点长边不小于20 m,至多长28 m.
(1)设采样点长边为x m,采样点及周围通道的总占地面积为S m2,试建立S关于x的函数解析式,并指明定义域;
(2)当300≤a≤700时,试求S的最小值,并指出取到最小值时x的取值.
解:(1)由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是(x+16) m,宽是(ax+10) m,
故S=(x+16)(ax+10)=16ax+10x+a+160,x∈[20,28].
(2)由(1)知,
S=16ax+10x+a+160,x∈[20,28],
当300≤a≤490时,S=16ax+10x+a+160≥216ax·10x+a+160=810a+a+160,
当且仅当16ax=10x即x=8a5时,取等号,此时x=8a5∈[20,28],且满足8a5>a8a5,
故S的最小值为810a+a+160,此时,
x=8a5;
当490则f′(x)=-16ax2+10=10x2-16ax2,x∈[20,28],令f′(x)=0得,x=8a5>28,故f′(x)=10x2-16ax2<0,x∈[20,28],
即f(x)=16ax+10x+a+160在x∈[20,28]上单调递减,故f(x)min=f(28)=11a7+440,此时x=28,满足x>ax,故S的最小值为11a7+440,此时x=28.
综上,当a∈[300,490]时,S的最小值为810a+a+160,此时x=8a5;
当a∈(490,700]时,S的最小值为117a+440,此时x=28.
(1)形如y=x+ax(a>0)的函数模型
求函数解析式时要先确定函数的定义域.对于此类型的函数最值问题,要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件,如果在定义域内满足“一正、二定、三相等”,优先考虑用基本不等式求最值,否则要考虑函数的单调性,也可借用导数来研究函数的单调性.(2)分式函数模型的应用技巧
①利用“配凑法”,创造应用基本不等式的条件,注意“一正、二定、三相等”.
②利用“对号函数”的单调性.
[针对训练]
1.“绿水青山就是金山银山”,党的十九大以来,城乡深化河道生态环境治理,科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米,每天的进出水量为k立方米.已知污染源以每天r个单位污染河水,某一时段t(单位:天)河水污染质量指数为m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)=rk+(m0-rk)e-kvt(m0为初始质量指数),经测算,河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若从现在开始关闭污染源,要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是(参考数据:ln 10≈2.30)( )
A.1个月B.3个月C.半年D.1年
解析:因为m(t)=m0e-180t=0.1m0,
所以e-180t=0.1.
所以-180t=ln 0.1≈-2.30.所以t≈184(天).
所以要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是半年.故选C.
2.运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km,按交通法规限制50≤x≤100(单位:km/h),假设汽油价格是每升6元,汽车每小时耗油(4+x2420)L,司机的工资是每小时46元.则这次行车的总费用的最低值是 元.
解析:行车所用时间t=300x h,根据汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油(4+x2420)L,司机的工资是每小时46元,
可得行车总费用为y=300x×6×(4+x2420)+46×300x=21 000x+30x7(50≤x≤100).
y=21 000x+30x7≥2·21 000x·30x7=600,当且仅当21 000x=30x7,即x=70时,等号成立.所以当x=70时,这次行车的总费用y最低,最低费用为600元.
答案:600
3.(2023·重庆模拟)某企业自主开发出一款新产品A,计划在2022年正式投入生产,已知A产品的前期研发总花费为50 000元,该企业每年最多可生产4万件A产品.通过市场分析知,在2022年该企业每生产x(单位:千件)A产品,需另投入生产成本R(x)(单位:千元),
且R(x)=12x2+60x,0(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(单位:元)关于x的函数解析式,并求平均成本p的最小值(总成本=研发成本+生产成本);
(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p≤66元,求其年生产值x(单位:千件)的取值区间.
解:(1)由题知生产x千件A产品的总成本为(R(x)+50)千元,
故生产一件A产品的平均成本为R(x)+50x元,
所以p(x)=12x+60+50x,0当x∈(0,10]时,p(x)=12x+60+50x单调递减,
故最小值为p(10)=70;
当x∈(10,40]时,p(x)=1 800(1x-120)2+65.5,
故最小值为p(20)=65.5,所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元.
(2)由(1)知,要使p(x)≤66,
只需考虑x∈(10,40],
即70+1 800x2-180x≤66,
整理得x2-45x+450≤0,
解得15≤x≤30,
所以当x∈[15,30]时,生产一件A产品的平均成本不超过66元.
函数模型
函数解析式
一次函数型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
对数函数型
f(x)=blgax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
幂函数型
f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
性质
函数
y=ax
(a>1)
y=lgax
(a>1)
y=xn
(n>1)
在(0,+∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大
逐渐表现为
与y轴平行
随x的增大
逐渐表现为
与x轴平行
随n值变
化而各
有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,
有lgaxx
-2
-1
1
2
3
y
0.24
0.51
2.02
3.98
8.02