高考数学第一轮复习复习第7节　函数的图象（讲义）

这是一份高考数学第一轮复习复习第7节　函数的图象（讲义），共19页。

1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
2.借助函数图象,理解和研究函数的性质.
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.首先:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次,列表(尤其注意特殊点:零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
2.图象变换
(1)平移变换
(1)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.
(2)上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.
(2)对称变换
①y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;
②y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称;
③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称;
④y=ax(a>0,且a≠1)与y=lgax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
(3)翻折变换
①y=f(x)y=|f(x)|;
②y=f(x)
y=f(|x|).
(4)伸缩变换
①y=f(x)
y=f(ax).
②y=f(x)
y=af(x).
1.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.特别地,若f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.
2.对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(a+b2,0)中心对称.特别地,若f(a+x)=-f(a-x),则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称.
3.两个函数图象的对称性(相互对称)
(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线(a+x)-(b-x)=0,即x=b-a2对称;
(2)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图象关于直线x=0对称.
1.(必修第一册P73习题T7改编)下列图象是函数y=x2,x<0,x-1,x≥0的图象的是( C )
解析:其图象是由y=x2图象中x<0的部分和 y=x-1图象中x≥0的部分组成,故C符合题意.
2.函数y=x-2x-1的图象是( B )
解析:当x=0时,函数值为2,排除A,D;当x=3时,函数值为12,排除C.
3.将函数y=lg2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)等于( D )
A.lg2(2x+1)-1B.lg2(2x+1)+1
C.lg2x-1 D.lg2x
解析:将函数y=lg2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度,可得函数y=lg2(2x+2)-1的图象,再向右平移1个单位长度,可得函数y=lg2[2(x-1)+2]-1=lg2(2x)-1的图象,所以g(x)=lg2(2x)-1=lg2x.
4.已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数为( B )
A.y=f(|x|)B.y=f(-|x|)
C.y=|f(x)|D.y=-|f(x)|
解析:观察函数图象可得,②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象,然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得,结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y=f(-|x|).
5.已知函数f(x)=2x,x>0,x+2,x≤0,则方程f(x)-2|x|=0的解的个数是 .
解析:令f(x)-2|x|=0,得f(x)=2|x|,
则函数f(x)=2|x|零点的个数即函数f(x)与函数y=2|x|的图象的交点的个数.
作出函数f(x)与函数y=2|x|的图象,可知两个函数图象的交点的个数为2,
故方程f(x)-2|x|=0的解的个数为2.
答案:2
作函数的图象
作出下列函数的图象.
(1)y=|lg2(x+1)|;
(2)y=x2-2|x|-1;
(3)y=2x-1x-1;
(4)y=|x+1|(x-3).
解:(1)将函数y=lg2x的图象向左平移1个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|lg2(x+1)|的图象,如图所示.
(2)因为y=x2-2x-1,x≥0,x2+2x-1,x<0,且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图所示.
(3)因为y=2x-1x-1=2+1x-1,故函数图象可由 y=1x的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度而得,如图所示.
(4)令f(x)=|x+1|(x-3),则f(x)=(x+1)(3-x),x≤-1,(x+1)(x-3),x>-1,图象如图所示.
作函数图象的一般方法
(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本初等函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
(3)作函数图象时,若函数解析式不是最简形式,需先化简函数解析式,再作函数的图象.
函数图象的识别
[例1] (1)(2022·全国甲卷)函数y=(3x-3-x)cs x 在区间[-π2,π2]的图象大致为( )
(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是( )
A.y=-x3+3xx2+1B.y=x3-xx2+1
C.y=2xcsxx2+1D.y=2sinxx2+1
(3)(2022·北京卷)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是( )
A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
解析:(1)法一(特值法) 取x=1,则y=(3-13)cs 1=83cs 1>0;取x=-1,则y=(13-3)cs(-1)=-83cs 1<0.结合选项知A正确,故选A.
法二 令y=f(x),则f(-x)=(3-x-3x)·cs(-x)=-(3x-3-x)cs x=-f(x),所以函数y=(3x-3-x)cs x是奇函数,排除B,D;取x=1,则y=(3-13)cs 1=83cs 1>0,排除C.故选A.
(2)对于选项B,当x=1时,y=0,与图象不符,故排除B;对于选项D,当x=3时,y=15sin 3>0,与图象不符,故排除D;对于选项C,当x>0时,y=2xcsxx2+1≤2xcsx2x=cs x≤1,与图象在y轴右侧最高点大于1不符,所以排除C.故选A.
(3)对于A选项,当T=220,P=1 026,即lg P=lg 1 026>lg 103=3时,根据图象可知,二氧化碳处于固态;对于B选项,当T=270,P=128,即 lg P=lg 128∈(lg 102,lg 103),即lg P∈(2,3)时,根据图象可知,二氧化碳处于液态;对于C选项,当T=300,P=9 987,即lg P=lg 9 987函数图象的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特殊点,排除不合要求的图象.
[针对训练]
1.(2022·山东青岛二模)函数f(x)=2xx2-1的图象大致为( )
解析:由题可得函数f(x)的定义域为{x|x≠±1},
且f(-x)=-2xx2-1=-f(x),故函数为奇函数,排除B,D,又f(2)=43>0,f(12)=1-34=-43,故C错误.故选A.
2.(2022·浙江绍兴模拟)图中的函数图象所对应的解析式可能是( )
A.y=-12|x-1|B.y=-|12x-1|
C.y=-2|x-1|D.y=-|2x-1|
解析:根据题意,由函数的图象,当x=0时,有 -1对于B,y=-|12x-1|,x=0时,y=0,不符合题意,
对于C,y=-2|x-1|,x=0时,y=-2,不符合题意,
对于D,y=-|2x-1|,x=0时,y=0,不符合题意.故选A.
3.如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是( )
解析:函数h=f(t)是关于t的减函数,故排除C,D;
刚一开始,h随着时间t的变化,下降得越来越慢,超过一半时,h随着时间t的变化,下降得越来越快,故对应的图象为B.故选B.
函数图象的应用
利用函数的图象研究函数的性质
[例2] (多选题)(2022·福建厦门月考)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}=a,a≤b,b,a>b,若f(x)=2-x2,g(x)=x2,下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的说法正确的是( )
A.函数F(x)是偶函数
B.方程F(x)=0有三个解
C.函数F(x)在区间[-1,1]上单调递增
D.函数F(x)有4个单调区间
解析:
根据函数f(x)=2-x2与g(x)=x2,画出函数F(x)=min{f(x),g(x)}的图象,如图.由图象可知,函数F(x)=min{f(x),g(x)}关于y轴对称,所以A项正确;函数F(x)的图象与x轴有三个交点,所以方程F(x)=0有三个解,所以B项正确;函数F(x)在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,所以C项错误,D项正确.故选ABD.
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:
(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;
(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性;
(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
确定零点个数、解不等式
[例3] (1)(2020·北京卷)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是( )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
(2)已知f(x)=|lgx|,x>0,2|x|,x≤0,则函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点个数是 .
解析:(1)函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集,即2x>x+1的解集,在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=x+1的图象(如图所示),结合图象易得2x>x+1的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D.
(2)方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=12或1.
作出y=f(x)的图象,由图象知零点的个数为5.
答案:(1)D (2)5
(1)利用函数的图象研究方程根的个数:当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与 g(x)图象交点的横坐标.
(2)利用函数的图象研究不等式:当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
求参数的取值范围
[例4] 函数f(x)=lnx(x>0),--x(x≤0)与g(x)=|x+a|+1的图象上存在关于y轴对称的点,则实数a的取值范围是( )
A.R B.(-∞,-e]
C.[e,+∞)D.
解析:设y=h(x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,
则h(x)=f(-x)=ln(-x),x<0,-x,x≥0,
作出y=h(x)与y=g(x)的函数图象如图所示.
因为f(x)与g(x)图象上存在关于y轴对称的点,
所以y=h(x)与y=g(x)的图象有交点,
所以-a≤-e,即a≥e.故选C.
利用函数图象求参数问题,一般先准确地作出函数图象,利用函数图象的直观性,结合其性质,求解参数问题.
[针对训练]
1.(多选题)某同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时,给出下面几个结论,其中,正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(-1,1)对称
B.f(x)是单调函数
C.f(x)的值域为(-1,1)
D.函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点
解析:作出y=f(x)的图象,如图所示.
对于A,f(x)的图象关于(0,0)对称,不关于点(-1,1)对称,故A错误;对于B,f(x)是R上的增函数,故B正确;对于C,由图象知,f(x)的值域为(-1,1),故C正确;对于D,令g(x)=f(x)-x=0,得x(11+|x|-1)=0,即x(-|x|1+|x|)=0,解得 x=0,从而函数g(x)=f(x)-x有且只有一个零点,故D正确.故选BCD.
2.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥lg2(x+1)的解集是( )
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1D.{x|-1解析:在同一平面直角坐标系内作出函数g(x)=lg2(x+1)的函数图象如图所示,由图可知交点 D(1,1),因此不等式f(x)≥g(x)的解集为(-1,1].故选C.
3.已知f(x)=2x+1,x≤0,2-4x,x>0,函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)∪(2,3)
C.(0,2)
D.(0,3-1)∪(3-1,2)
解析:作出f(x)的函数图象如图所示.
因为y=f(x)-c有两个零点,所以f(x)=c有两解,所以0[例1] 已知函数y=f(x)的图象如图1所示,则图2对应的函数有可能是( )
A.y=xf(x)B.y=f(x2)
C.y=x2f(x)D.y=xf(x2)
解析:对A选项,当x<0时,f(x)<0,
所以 xf(x)>0,且x→-∞时,f(x)→0,
所以xf(x)→0;
当x>0时,f(x)>0,所以xf(x)>0,且x→+∞时,f(x)→+∞,所以xf(x)→+∞;
当x=0时,f(0)=0,
故选项A正确;
对B选项,因为y=f(x2)为偶函数,这与图象不符,所以选项B错误;
对C选项,当x<0时,x2>0,f(x)<0,
所以x2f(x)<0,这与图象不符,故选项C错误;
对D选项,当x<0时,x2>0,f(x2)>0,所以 xf(x2)<0,这与图象不符,故选项D错误.故选A.
[例2] 函数f(x)=2x-t,x≥0,-x2-4x-t,x<0有三个零点x1,x2,x3,且x1解析:设g(x)=2x,x≥0,-x2-4x,x<0,
因为函数f(x)=2x-t,x≥0,-x2-4x-t,x<0有三个零点x1,x2,x3,且x1所以g(x)的图象与直线y=t交点的横坐标分别为x1,x2,x3,且x1作出g(x)的图象如图所示,
由图可知1≤t<4,且x1,x2是方程-x2-4x-t=0的两个实根,
所以x1+x2=--4-1=-4,
因为x3满足2x3-t=0,即x3=lg2t,
因为1≤t<4,所以lg21≤lg2t所以0≤x3<2,
所以-4≤x1+x2+x3<-2,
即x1+x2+x3的取值范围是[-4,-2).
答案:[-4,-2)