辽宁省大连市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省大连市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了 下列有理数中最小的是， 下列计算正确的是， 关于x的一元二次方程， 如图，已知．按如下步骤作图等内容，欢迎下载使用。

1. 下列有理数中最小的是（ ）
A. B. C. 3D. 0
答案：B
解析：
详解：解：∵，
∴最小的数是；
故选B．
2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
详解：解：A、俯视图圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：B．
3. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
详解：解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
C选项是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
故选C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
详解：解：A．与不能合并，故A不符合题意；
B．，故B不符合题意；
C．，故C符合题意；
D．，故D不符合题意；
故选：C．
5. 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜－1B. m＞0C. m＜1且m≠0D. m＞0且m≠1
答案：D
解析：
详解：解：关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根,
（m-1）≠0,且△＞0，
即2-4(m-1)(-1)>0,解得m>0,
m的取值范围为m>0且m≠1,
m>0且m≠1时, 关于x的一元二次方程（m-1）x²+2x－1=0有两个不相等的实数根.
故选D.
6. 解分式方程分以下四步，其中错误的一步是（ ）
A. 最简公分母是B. 去分母，得
C. 解整式方程，得D. 原方程的解为
答案：D
解析：
详解：解：
方程两边同时乘以去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴原方程无解，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
7. 下列四个选项中，不符合直线的性质与特征的是（ ）
A. 经过第一、三、四象限B. 随的增大而增大
C. 与轴交于点D. 与轴交于点
答案：C
解析：
详解：解：∵＞0，﹣3＜0，
∴该直线经过第一、三、四象限，y随x的增大而增大，
故A、B选项正确，
∵当y=0时，由0=x﹣3得：x=6，
∴该直线与x轴交于点（6，0），
故C选项错误；
∵当x=0时，y=﹣3，
∴该直线与y轴交于点（0，﹣3），
故D选项正确，
故选：C．
8. 我国古代数学著作之一《孙子算经》中记载着这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘1辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：依题意得：，
故选：B．
9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：∵光线平行于主光轴，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，已知．按如下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交和于点；②分别以点为圆心、长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线；④连接．由作图可知的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：根据作图可知是的角平分线，，
又，
∴，
∵，
∴
故选：D．
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 计算：________．
答案：
解析：
详解：解：，
故答案为：．
12. 如图，将某动物园中的猴山，狮虎山，熊猫馆分别记为M，N，P，若建立平面直角坐标系，将猴山M，狮虎山N用坐标分别表示为(2，1)和(8，2)，则熊猫馆P用坐标表示为________．

答案：(6，6)
解析：
详解：建立平面直角坐标系，如图所示，
∴熊猫馆P用坐标表示为(6，6)，
故答案为：(6，6)．
13. 有四张完全一样正面分别写有“决”“胜”“中”“考”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字不相同的概率是 __________________．
答案：##
解析：
详解：解：根据题意列表如下：
共有16种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的汉字不相同的有12种情况，
所以P（抽取的两张卡片上的汉字不相同）．
故答案为：．
14. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以为边在第二象限作正方形，已知双曲线过点D，则_______．
答案：
解析：
详解：解：当时，，即，
当时，，
解得，，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
如图，作轴于，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
将代入得，，
解得，，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点，将沿折叠，当点A的对应点F落在矩形一边的垂直平分线上时，的长为 ______．

答案：或
解析：
详解：解：分两种情况：
①如图1，过F作交于M，交于N，

则直线是边的垂直平分线，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②如图2，过F作交于P，交于Q，连接，

则直线是边的垂直平分线，
∴，，
又∵，
∴，
∴等边三角形，
，
∴，
∴设，则，
在，
即，
解得：或（舍去）
综上所述：的长为或；
故答案为：或．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
答案：（1）；（2），
解析：
详解：解：（1）
；
（2）
当时，原式．
17. 某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书.其中科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书本数相等.
（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了，科普书的单价与去年相同，为了普及科普知识，书店举办了每买三本科普书就赠一本文学书的优惠活动，这所中学今年计划在优惠活动期间，再购进文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过1880元，这所中学今年最多能购进多少本文学书？
答案：(1)去年购买的文学书单价为8元，科普书单价为12元;(2)110
解析：
详解：解：（1）设去年购买文学书的单价为x元/本，则购买科普书的单价为（x+4）元/本，
根据题意得：
解得：x=8，
经检验：x=8是原分式方程的解，
∴x+4=12．
答：去年购买的文学书单价为8元/本，科普书单价为12元/本．
（2）今年文学书的单价为8×（1+25%）=10（元/本）．
设今年购进y本文学书，则购进科普书（200-y）本，
根据题意得：，
解得：y≤110，
∴y的最大值为110．
答：今年最多能购进110本文学书．
18. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
a．设计方案
学校设计了以下三种抽样调查方案：
方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生作为样本进行调查分析；
方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生及在初三年级中随机抽取部分女生进行调查分析；
方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生进行调查分析．
b．收集数据：
抽取的20名学生每周用于课外阅读时间的数据如下：（单位：min）
30 60 81 50 40 110 130 146 80 100
60 80 120 140 75 81 10 30 81 92
c．整理数据
按如下分段整理样本数据：
d．分析数据
绘制如下条形统计图和扇形统计图：
请根据以上统计调查结果，回答下列问题：
（1）抽取的样本具有代表性的方案是 ；（填“方案一”“方案二”或“方案三”）．
（2）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）请补全条形统计图，并求出B等级所在扇形的圆心角的度数；
（4）如果每周阅读时间不低于80分钟为优秀，请估计该校800名学生优秀人数为多少？
答案：（1）方案三；（2）5，4，25；（3）图见解析，；（4）480人
解析：
详解：解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，抽取的样本具有代表性的方案是方案三，
故答案为：方案三；
（2）由已知数据知a=5，b=4；
c%=×100%=25%，
∴c=25，
故答案为：5，4，25；
（3）补全条形统计图如图：
B等级所在扇形的圆心角的度数是：360°×40%=144°；
（4）估计该校800名学生优秀人数为：800×（40%+20%）=480（人）．
19. 鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元旦前夕，某批发商购进两种类型的玫瑰花共100束，其中种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买种类型的玫瑰花所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示．
（1）求与的函数关系式；
（2）若购买种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于种类型玫瑰花的数量，试问如何购买能使购买费用最少，并求出最少费用．
答案：（1）
（2）购买种类型的玫瑰花40束，购买种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为元
解析：
小问1详解：
解：由图知：当时，设函数关系式为，把点代入得到，
，
解得，
∴．
当时，设与的函数关系式为．
它的图象经过点与点．
，
解这个方程组，得，
∴，
与的函数关系式为．
小问2详解：
设购买种类型玫瑰花的数量为束，则A种类型的玫瑰花的数量为束，总费用为元．
由题知：且，解得．
．
，
随增大而减小．
，
当时，有最小值为元．
此时，A种类型的玫瑰花：（束）．
答：购买种类型的玫瑰花40束，购买种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为元．
20. 太阳能路灯具有安全性能高、节能环保、经济实用等特点，已被广泛应用于主、次干道，工厂，旅游景点等场所．如图是太阳能板及支架部分的示意图，是太阳能板，点A与点B是支架部分与太阳能板的连接点，点C是支架部分与灯杆的连接点，点D是灯杆上一点，支架的长为，与灯杆的夹角，支架的长为，与灯杆的夹角，点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，求点A和点B距地面的高度差．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
答案：点A和点B距地面的高度差约为；
解析：
详解：解：如答图，过点A作交的延长线于点G，过点B作交的延长线于点H，
在中，，，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：点A和点B距地面的高度差约为．
21. 如图，AB为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接CD，过点C作，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．
（1）若，求证：CE是的切线．
（2）若的半径为，，求AC的长．
答案：（1）见解析 （2）4
解析：
小问1详解：
解：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠COB=2∠OAC，
∵∠BDC=∠OAC，∠ABD=2∠BDC，
∴∠COB=∠ABD，
∴OC//DE，
∵CE⊥DB，∠CED=90°，
∴∠OCE=90°，OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线．
小问2详解：
连接BC，
∵∠BDC=∠BAC，
∴=，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴，
设BC=x，AC=2x，
∴AB=，
∵⊙O的半径为，
∴，
∴x=2，
∴AC=2x=4．
22. 一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米．
（1）按如图所示建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式：
（2）小明的这次投篮未能命中篮圈中心，请说明理由：
（3）假设出手的角度和力度都不变，请直接回答：小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
答案：（1）
（2）小明的这次投篮未能命中篮圈中心，理由见解析
（3）小明应该向前走1米才能命中篮圈中心
解析：
小问1详解：
解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
；
小问2详解：
解：，
当时，，
小明的这次投篮未能命中篮圈中心；
小问3详解：
解：出手的角度和力度都不变，
设抛物线的解析式为，
将代入得：，
，
解得：，，
向前走7米，因为原来是八米，向前七米，还剩一米呢！应该是球处于上升趋势，故舍去．
小明应该向前走1米才能命中篮圈中心．
23. 探究性学习
（1）问题初探：
在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，且．过A作于点E．求证：．

①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．

②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．

（2）类比分析：
张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答．
如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中是边上的中线，连接交与点F．求证：．

（3）学以致用：
如图，在中，，点D在边上，过B作交延线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若， ，求的面积．

答案：（1）选择小辉同学的思路，证明见解析；选择小龙同学的思路，证明见解析
（2）见解析 （3）
解析：
小问1详解：
解：选择小辉同学的思路，证明如下：
如图：在上截取，连接．

，
，
又，
，
．
，
,
．
选择小龙同学的思路，证明如下：
证明:如图,过A作交延长线于G，

∵，，
∴.
又∵于E,于G,
∴，
又∵,
∴,
∴，
又∵,
∴,
∴，
∴.
小问2详解：
证明：如图:在上截取，连接，

为等边三角形，
，即为等腰直角三角形，
∴，
，，．
又，
，
．
是边上的中线，
平分，
，
∴是等边三角形，
．
小问3详解：
解：如图：过A作于H

，
，
，
于E,
，
,
．
于，
，
，
，
又，
，
．
，
又，
，
．
，
，
．
．
决
胜
中
考
决
决
决胜
决中
决考
胜
胜决
胜胜
胜中
胜考
中
中决
中胜
中中
中考
考
考决
考胜
考中
考考
课外阅读时间x（min）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
等级
D
C
B
A
人数（人）
3
a
8
b