2024年安徽省合肥市第四十二中学数学中考三模试题

这是一份2024年安徽省合肥市第四十二中学数学中考三模试题，共28页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出ABCD四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 实数的倒数是（ ）
A. B. 24C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，
根据乘积为1的两个数互为倒数，即可解答
【详解】解：的倒数是，
故选：A
2. 纳米氧化锌应用于红外线检测，能有效吸收雷达波，应用于新型的隐身材料，其直径仅有20纳米，已知1纳米米，那么20纳米转化为米做单位，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的定义，理解定义“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当时，n是正整数，当时，n是负整数．”是解题的关键.
【详解】解：由题意得
20纳米
；
故选：A．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. 试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4. 用8个相同的小正方体搭成一个几何体，其俯视图如图所示，那么左视图一定不是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：A、从左边看，第一层层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层中间一个正方形，即第二层最多是3个正方体，共8个正方体，故A不符合题意；
B、从左边看，第一层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层中间一个正方形，实际可以是一个正方体，也可以是两个正方体或三个正方体，第三层中间一个正方体，实际可以是一个正方体，也可以是两个正方体或三个正方体，可以满足有8个正方体，故B不符合题意；
C、从左边看，第一层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层左一个正方形，第三层左边一个正方形，即第二、三层共2个正方体，共7个正方体，即该左视图不可能原图形的左视图，故C符合题意；
D、从左边看，第一层是3个正方形，其实是5个正方体，第二层左一个正方形，第三层左边一个正方形，右边一个正方形，即第二、三层共3个正方体，共8个正方体，故D不符合题意；
故选：C．
5. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解．利用提公因式法或公式法对每个选项中的式子进行因式分解，进而可作出判断．
【详解】解：A、，原分解错误，本选项不符合题意；
B、，原分解错误，本选项不符合题意；
C、，，原分解错误，本选项不符合题意；
D、，原分解正确，本选项符合题意；
故选：D．
6. 若、是方程的两根，则反比例函数与一次函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：、是方程的两根，
，
，
反比例函数的图象分布在第二、四象限，
选项A、C不符合题意；
B.由图象得：，，符合题意；
D .由图象得：，，，结论错误，不符合题意；
故选：B．
7. 已知中，，，将沿翻折，点的对应点为，交于，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质等；由平行四边形的性质得，，从而可得，由由翻折得：，，即可求解；掌握相关的性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
由翻折得：
，
，
，
，
，
；
故选：A．
8. 在一个不透明的袋子里装有个分别标有数字，，的小球（除所标数字外其余均相同），从中随机摸两次（第一次摸出球后记下数字，再放回摇匀），两次数字之和为奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表法求概率，即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有种可能，其中和为奇数的有4种，
∴两次数字之和为奇数概率是，
故选：B．
9. 已知三个实数，，满足，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键．
【详解】解：将代入得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A.，结论错误，不符合题意；
B.，结论错误，不符合题意；
C.，结论错误，不符合题意；
D.，结论正确，符合题意；
故选：D．
10. 如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】①由矩形的性质及角平分线定义得，由勾股定理得，，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，设，由即可求解，可判断①；②由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，即可判断②；③延长交于，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，，二者结合运算即可判断③；
④由相似三角形的性质得，故有，可求 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，， 即可判断④．
【详解】解：①四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则有
，
；
故①正确；
②四边形是矩形，
，
，
，
，
即：，
，
，
，
，
，
故②正确；
③如图，延长交于，
由①②得：
，
，
，
即：，
，
，
，
，，
，
由①得：，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
四边形是矩形，
，
故③错误；
④由上过程得：，
，
，
，
由③得：，
，
，
解得：，
，
，
，
解得：，
，
同理可证：，
，
，
故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能熟练利用以上判定方法及性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 不等式的解集是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，注意不等式两边同除以或乘以一个负数，不等号方向发生改变．
【详解】解：，
移项，合并同类项得：，
不等式两边同除以得：．
故答案为：．
12. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是_________．
【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形
【解析】
【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此求解即可．
【详解】解；命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，
故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形。
13. 如图，等边的一边为的一条弦，交于，平分，则的度数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等边三角形，圆周角定理，三角形的外角，在等边中，连接，由圆周角定理可知，，得，再根据角平分线及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：在等边中，
连接，由圆周角定理可知，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，直线与双曲线，相交于点，，．
（1）如果，则值为___________；
（2）作交双曲线于点，若，则___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）过作轴交于，过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由反比例函数中“”的几何意义得，，即可求解；
（2）将直线绕点顺时针旋转，点的对应点，可求，由相似三角形的性质得，由此可求，由旋转得，可求直线解析式为，直线的解析式为，联立可求解，由勾股定理可求和的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过作轴交于，过作轴交于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案：；
（2）如图，将直线绕点顺时针旋转，点的对应点，
，
，
，
联立：，
解得：或（舍去），
，
，，
由（1）得：
，
，
，，
，
，
，
解得：，
，
设直线解析式为，则有
，
解得：，
直线解析式为，
可设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立得：，
解得：或，
，
，
，
，
故答案：；
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，待定系数法求反比例及一次函数解析式，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；理解的几何意义，掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，先按多项式乘以多项式法则及完全平方公式进行运算，再去括号，合并同类项，即可求解；掌握运算步骤及法则，去括号注意变符号是解题的关键．
【详解】解：原式
．
16. 如图，中三个顶点坐标分别为、、．
（1）将先水平向右平移6个单位，再向下平移2个单位，请在图中画出平移后的；
（2）作出关于原点的中心对称图形，并写出、的坐标；
（3）连接、、，写出、、之间的数量关系．
【答案】（1）见详解 （2）图形见详解；、
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，中心对称作图，勾股定理等；
（1）按平移要求作出图形，即可求解；
（2）按要求作出中心对称图形，再由图写出坐标，即可求解；
（3）用勾股定理分别求出、、的长，可得，即可求解；
掌握定理及在平面直角坐标系中图形平移及中心对称图形的作法是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，
为所求作图形；
【小问2详解】
解：如图，
为所求作图形；
由图得：、；
【小问3详解】
解：如图，
，
，
，
，
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 甲乙施工队共同完成一项工作，20天后，甲施工队因故离开，乙施工队又单独工作了20天才完成这项任务．已知甲施工队单独完成这项工作需要40天．
（1）求乙施工队单独完成这项工作需要多少天？
（2）如果乙施工队的工作时间不能超过30天，要完成这项工作，甲施工队至少要工作多少天？
【答案】（1）乙施工队单独完成这项工作需要80天
（2）甲施工队至少要工作25天
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设乙施工队单独完成这项工作需要天，根据甲乙施工队共同完成一项工作，20天后，甲施工队因故离开，乙施工队又单独工作了20天才完成这项任务．列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲施工队要工作天，根据乙施工队的工作时间不能超过30天，要完成这项工作，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设乙施工队单独完成这项工作需要天，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程得解，且符合题意，
答：乙施工队单独完成这项工作需要80天；
【小问2详解】
设甲施工队要工作天，
由题意得：，
解得：，
答：甲施工队至少要工作25天．
18 观察下列算式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
（1）请写出第5个等式：__________；
（2）写出第个（为正整数）等式；
（3）计算：的值．
【答案】（1）
（2）（为正整数）
（3）286
【解析】
【分析】本题考查数字变化的规律及有理数的混合运算，能用表示出第个等式是解题的关键．
（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【小问1详解】
解：（1）由题知，因为第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…，
所以第个等式为：；
当时，；
故答案为：．
【小问2详解】
由（1）知，
第个等式为：（为正整数）．
【小问3详解】
原式
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，已知的半径为，是的直径，是外一点，，．、分别交于点、．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质；
（1）连接，由直径所对的圆周角为直角得，由等腰三角形的性质即可求证；
（2）连接，由圆的基本性质及等腰三角形的判定及性质得，由相似三角形的判定得，由相似三角形的性质得，即可求解；
掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出常用的辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
，
的半径为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故的长为．
20. 为了测量某古塔的高度，小明将一根长的竹竿（），立在处，当塔顶点，竹竿顶点以及地面点同一条直线时，测得，然后小明将竹竿向前移动（），当点、、共线时，测得，求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角函数值，结合直角三角形表示出、、、，再根据即可求解．解题的关键在于正确利用正切值进行计算．
【详解】解：由题意可知，，，，，，
则
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
而，
即：，
∴．
六、（本题满分12分）
21. 九年级数学王老师带领学生经过一段时间复习后，进行一次模拟测试，他所带的（1）班和（2）班各有40位同学，王老师将他们的测试成绩进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．（说明：满分100分，成绩80分及以上为优秀，分为良好，分为合格，60分以下为不合格）
①九（1）班学生成绩的频数分布条形图如图（数据分为五组：，，，，）
②九（1）班学生成绩在这一组的是：70，71，73，73，73，74，76，77，78，79．
③九（2）班学生中没有3人成绩相同，其平均数、中位数、众数、优秀率如下：

根据以上信息，回答下列问题：
（1）求九（1）班学生成绩的中位数；
（2）成绩是76分的学生，在哪个班的名次更好些？请说明理由；
（3）根据上述信息，推断____________班学生测试成绩更好，理由为_________________________________；
（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【答案】（1）77.5分
（2）九（2）班，理由见解析
（3）九（1）班，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图，中位数、众数、平均数的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据中位数的定义即可求解；
（2）从中位数的角度解答即可；
（3）从优秀率、中位数上分析即可得出九（1）班学生成绩较好；
【小问1详解】
解：由题意得：九（1）班学生成绩位于第20位，第21位的是77，78，
∴九（1）班学生成绩的中位数为分；
【小问2详解】
在九（2）班的名次更好些，理由如下：
∵九（1）班学生成绩的中位数为77.5分大于九（2）班学生成绩的中位数为76分，
∴成绩是76分的学生，在九（2）班的名次更好些，
【小问3详解】
根据上述信息，推断九（1）班学生成绩更好，理由：
①九（1）班学生成绩优秀率为，九（2）班学生成绩优秀率为，说明九（1）班学生成绩优秀人数更多；
②九（1）班学生成绩的中位数为77.5分大于九（2）班学生成绩的中位数为76分，说明九（1）班一半学生成绩高于77.5分，而九（2）班一半学生成绩仅高于76分．
七、（本题满分12分）
22. 如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法，二次函数最值，二次函数在线段长的应用；
（1）由抛物线解析式可求，将其代入直线的解析式得，由直线解析式可求，将、的坐标分别代入抛物线的解析式，即可求解；
（2）由可求得，由在抛物线上得，即可求解；②将化成顶点式即可求解．
掌握待定系数法，会求二次函数的最值是解题的关键．
【小问1详解】
解：由得，
当时，，
，
，
，
当时，
，
，
，
解得：，
；
小问2详解】
解：①由题意得
，
点是抛物线上的一个动点，
，
；
②
，
．
八、（本题满分14分）
23. 已知：中，是高，为上一点，且，交于，．
（1）求证：；
（2）若，．
①求的值；
②求的长．
【答案】（1）见解析 （2）① ② ８
【解析】
【分析】（1）设，由表示，再利用外角和定理表示，所以；
（2）①过点A分别作，又因为利用等腰三角形三线合一的性质得出，根据条件易得从而，化简求出即可；
（3）由可设，则，易判断为等腰直角三角形，从而表示出，利用勾股定理得，从而，根据，所以再利用所以从而表示出，最后在中，从而求出m 的值，再求出长度即可
【小问1详解】
设，
是高
又
【小问2详解】
①如下图，过点A分别作，垂足分别为K，
又
即
②如下图，过点B，F分别作，，垂足分别为I，H
由①知
设，则
为等腰直角三角形
，
即
在中，
即
解得：（舍去）或
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形外角和定理等知识点，根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．平均数
中位数
众数
优秀率
79
76
84