2024年甘肃省武威市凉州区康宁教研片中考三模数学试题

这是一份2024年甘肃省武威市凉州区康宁教研片中考三模数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．依此解答即可．
【详解】解：，
∴的倒数是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查倒数的定义．理解倒数的定义是解答关键．
2. 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．
根据分式有意义的条件列不等式计算即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，解得：．
故选：C．
3. 在中，一条直角边长为1，斜边长为2，则另一直角边长为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。【解析】
【分析】直接根据勾股定理即可求解.
【详解】解：由题意得，另一直角边长为.
故选C.
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．
4. 抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是，
故选：B．
5. 已知a、b为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，若，则x的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查实数定义下的新运算问题，解一元一次方程．根据题意将变形为一元一次方程计算即可．
【详解】解：∵，
∴可整理成：，即：，解得：，
故选：C．
6. 若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则值可为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案．
【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限，
∴，
∴的值可为2，
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键．
7. 如图，是的中线，若的面积为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形中线与面积，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：∵点D是的中点，
∴
设边上的高为h，
∴
∴
∴
故选：C．
8. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可找出该方程没有实数根．
【详解】解：∵，
∴该方程没有实数根．
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键．
9. 如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
【详解】过P作PF∥BC交AC于F. 如图所示：
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD=60，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ.
∵在△PFD和△QCD中,
∴△PFD≌△QCD(AAS)，
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=1，
∴DE=.
故选：B.
10. 如图，长为、宽为的大长方形被分割为7个小长方形，除阴影，外，其余5个是形状、大小完全相同的小长方形，其宽为4．下列说法：①小长方形的长为；②阴影的宽和阴影的宽和为；③若为定值，则阴影和阴影的周长为定值．其中正确的是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①②D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据题图，先用含x、y的代数式表示出小长方形的长、阴影长方形A、B的长和宽，再根据题意逐个判断得结论．
【详解】∵小长方形的长与阴影长方形A的长相等，都等于个小长方形的宽，
∴小长方形的长为，故①说法正确；
∵阴影A的宽个小长方形的宽．阴影B的宽个小长方形的长，
∴阴影A的宽和阴影B的宽和为： 故②说法错误；
∵阴影A的长，阴影A的宽，阴影B的宽，阴影B的长个小长方形的宽，
∴阴影A和阴影B的周长为：
∵为定值，
∴阴影A和阴影B的周长为定值．故③说法正确．
故选A
【点睛】本题考查了列代数式的应用，整式加减的应用，解题的关键是看懂图，用含x、y的代数式表示出各个长方形的长和宽．
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 在实数中，无理数的个数是________个．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了无理数，解决本题的关键是掌握求解一个数立方根以及无理数的定义．根据无理数的定义（无限不循环小数）分类即可．
【详解】解：实数中，无理数有，，，共3个，
故答案为：3．
12. 将一副三角板如图所示放置，使点D在上，，则的度数为______．
【答案】##75度
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
13. 若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为_____．
【答案】2020
【解析】
【分析】把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把代入方程得，
，
．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14. 已知关于x的分式方程有增根，则方程的增根为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
根据分式方程的增根的定义进行求解即可．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
15. 如图，在数轴上，，过O作直线于点O，在直线l上截取，且A在上方．连接，以点B为圆心，为半径作弧交直线于点C，则C点对应的数为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，，，
在中，，
∴，
∴，
为原点，为正方向，则点对应的数为；
故答案为：．
16. 据统计，沙坪坝区磁器口2023年国庆接待游客约91万人次，2021年国庆接待游客约50万人次，若设2021年国庆至2023年国庆，磁器口接待游客的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用2023国庆待游客人次数年国庆接待游客人次数年均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
17. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为3，则的值为________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数值的几何意义，由题意得，再根据反比例函数的图象在第二象限，即可得出，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，
，
反比例函数的图象在第二象限，
，
，
故答案为：．
18. 如图，P是的直径延长线上一点，切于C，，则的长为_____．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据切线的性质，和圆周角定理得到，可证明，即可解决问题．
【详解】解：连接，
∵切于点，半径，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：9．
三、解答题（共66分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数运算，直接利用特殊角的三角函数值、二次方根、零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简即可得出答案．
【详解】解：
20. 先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝2cs45°﹣tan60°．
【答案】化简得；求值得．
【解析】
【分析】先化简分式，再求出x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式＝÷
＝
＝，
∵x＝2cs45°﹣tan60°，
∴x＝2×﹣，
当时，原式＝＝．
【点睛】本题是对分式化简求值的考查，熟练掌握分式的化简求值和特殊的三角函数值是解决本题的关键.
21. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点在格点上．
（1）画出过三点的圆的圆心；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，，分别作、的垂直平分线，两直线交于点P，就是过A，B，C三点的圆的圆心；
（2）先求，由勾股定理即可求得圆的半径，再根据弧长公式计算即可．
【小问1详解】
解：如图所示，点P即为所求；
连结、和，
∵点P在，垂直平分线上，
∴
∴点P是过三点的圆的圆心．
【小问2详解】
解：如图，
∵，，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴的长．
【点睛】本题考查画三角形外心，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧长公式．熟练掌握三角形外心概念和弧长公式是解题的关键．
22. 为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为x米．

（1）矩形的面积为，求出的长
（2）矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）的长为米
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，求出的长，利用矩形的面积为长乘宽，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）同（1）列出方程，判断判别式的符号，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设矩形的一边长为x，则：，
由题意，得：，
解得：，
当时，，不合题意，舍去；
∴，
∴的长为米；
【小问2详解】
不能，理由如下：
由题意，得：，
整理，得：，
∴，
∴一元二次方程没有实数根，
∴矩形的面积不能为．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．正确的识图，掌握矩形的面积公式，准确的列出方程，是解题的关键．
23. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【小问1详解】
由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个，
所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
树状图如下：

由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
24. 为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分为100分．为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽到的八年级的竞赛成绩（单位：分）如下：80，95，60，80，75，60，95，65，75，70，80，75，85，65，90，70，75，80，85，80．
注：分数在80分以上（不含80分）为优秀．
为了便于分析数据，统计员对八年级的数据进行了整理，得到下表：
八、九年级所抽竞赛成绩的平均数、中位数、优秀率如表：
（1）根据题目信息填空：_________，_________，_________；
（2）八年级小明和九年级小亮的分数都为80分，则两位同学在各自年级的排名_________更靠前（按照分数由高到低的顺序排序）；
（3）若九年级共有700人参加竞赛，请估计九年级80分以上（不含80分）的人数．
【答案】（1）6，3，77.5
（2）小明 （3）350人
【解析】
【分析】（1）根据频数统计的方法，分别对20个数据进行统计可得a、b的值，根据中位数的定义求出八年级成绩的中位数，即确定c的值．
（2）根据小明、小亮的成绩和所在年级抽查成绩的中位数进行比较即可得出结论．
（3）用总人数乘以样本中九年级成绩80分以上的人数所占比例可得答案．
小问1详解】
根据频数统计的方法可得，
成绩在的有6人，即，
成绩在的有3人，即，，
八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分），因此中位数是77.5，即，
故答案为：，，．
【小问2详解】
八年级成绩中位数为：77.5，小明的成绩为80分大于77.5，则小明排名在前10名，
九年级成绩中位数为：82.5，小亮的成绩为80分小于82.5，则小亮排名在后10名，
则小明在八年级的排名更靠前．
【小问3详解】
80分以上（不含80分）为优秀，求九年级优秀率为，
（人），
答：估计九年级80分以上（不含80分）的人数约为350人．
【点睛】本题考查了中位数、频数分布表以及样本估计总体，理解中位数、频数统计的方法是解决问题的前提．
25. 如图1，某款台灯由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高照明效果．
（1）求悬臂端点到桌面的距离约为多少？
（2）已知光源到桌面的距离为时照明效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，，）
【答案】（1）悬臂端点到桌面的距离约为
（2）夹角的度数约为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形．
（1）过点C作l的垂线，垂足为点E，过点B作于点F，则，，得出，根据，求出，最后根据，即可求解；
（2）过点D作于点G，于点G，推出，则，求出，得出，最后，即可求解．
【小问1详解】
解：过点C作l的垂线，垂足为点E，过点B作于点F，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即悬臂端点到桌面的距离约为；
【小问2详解】
解：过点D作于点G，于点G，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
26. 如图，在中，，以为直径作交于点D，交的延长线于点E，连接，过点D作，垂足为点F．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求半径．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连结，，根据圆的基本性质知，，结合题意知，是的中位线，所以，再根据题意及切线性质，进行作答；
（2）证明，得到，根据中位线的性质得到，根据勾股定理计算出的值，最后得到的半径．
【小问1详解】
证明：连结，，
∵以为直径的交于点D，
∴，
∵，
∴，
又∵O是中点，
∴是的中位线
∴，
∵，
∴,
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵为直径
∴.
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴,
∵，
∴
∴的半径为.
【点睛】本题考查了圆的基本性质、与直线与圆的位置关系和中位线的性质，熟练掌握圆的基本性质、与直线与圆的位置关系、中位线性质运用是本题解题关键.
27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）点为直线上方抛物线上一动点，连接，，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为：
（2）的最大值为
【解析】
【分析】（1）首先根据题意，求出，两点的坐标，再根据抛物线经过A，C两点，把，两点的坐标代入抛物线，即可联立方程组，然后解出和的值并代入抛物线，即可得出抛物线的解析式；
（2）首先令y＝0，根据（1）中抛物线解析式，即可求出点的坐标，然后过点D作DM⊥x轴交AC于点M，过点B作BN⊥x轴交AC于点N，可得，进而得出，再根据相似三角形的对应边成比例，可得，然后再根据两个三角形等高，面积比等于底之比，得出，然后设点D的横坐标为a，即可得出点、的坐标，进而得出的长，根据点的坐标和点、的横坐标相同，得出点的坐标，进而得出的长，然后即可得出，最后根据二次函数关系式，即可得出当时，的值最大，算出即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A(﹣4，0)，C(0，2)，
∵抛物线经过A，C两点，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：令y＝0，
∴，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴B(1，0)，
如图，过点D作DM⊥x轴交AC于点M，过点B作BN⊥x轴交AC于点N，
∴，
∴，
∴，
∴．
设点D的横坐标为a，
∴，
∴，
∴，
∵B(1，0)，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数与图形面积最值问题、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定等知识点，正确作出辅助线是解本题的关键．成绩等级
分数（单位：分）
学生数
D级
C级
9
B级
A级
2
年级
平均数
中位数
优秀率
八年级
77
九年级
78.5
82.5