2023-2024学年度九上第一章特殊平行四边形单元测试卷(含详细解析)

这是一份2023-2024学年度九上第一章特殊平行四边形单元测试卷(含详细解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
1．如图，是的角平分线，点为的中点，连接．若，，则的周长为（ ）
A．20B．12C．14D．13
2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，则CD＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．如图，把长方形ABCD沿EF按如图所示折叠后，点A、B分别落在、处．若，则∠AEF的度数是（ ）
A．114°B．115°C．116°D．120°
4．如图，以正方形的点为圆心，为半径作，取上一点使得，点是上一点（不与点，重合），则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．两个边长为2的等边三角形如图所示拼凑出一个平行四边形，则对角线的长为（ ）
A．2B．4C．D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将一张长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠，使得C点落在长方形ABCD内的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α满足（ ）
A．90°＜α＜180°B．α=90°
C．0°＜α＜90D．α随着折痕变化而变化
8．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，于点G，若已知下列三角形面积，则可求阴影部分面积和的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
9．已知矩形ABCD中，若AC=8，则BD＝ ．
10．直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角 ；直角三角形 等于斜边的一半．
11．如图，中，于D，E是AC的中点．若，，则CD的长等于 ．
12．如图，E是矩形ABCD中AD边上一点，将△AEB沿BE折叠得到△FEB．若∠BED=119°，则∠CBF是 度．
13．等腰梯形一个内角为，下底长为，梯形面积为，则梯形的周长为
三、解答题（共48分）
14．如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．求证：∠BDA =∠EDA．
15．如图，长方形ABCD中AD∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．
（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；
（2）求△BEF的面积．
16．如图，四边形中，，E是对角线的中点，连接、．若，， 求的周长．
17．如图，平行四边形中，点E，F分别在边，上，，．连接，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求长．
18．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接．求证：四边形是矩形．
B卷（共50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．如图，菱形的对角线，相交于点，已知，菱形的面积为24，则的长为 ．
20．如图，矩形中，、交于点O，M、N分别为、的中点．若，，则的长为 ．
21．如图，已知正方形的边长为，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接交折痕于点，则的长是 ．

22．如图所示，中，已知AD和BE分别是边BC，AC上的中线，且，垂足为G，若， ，则线段CG为 ．
23．如图，在中，∠B=60°，CD 为AB 边上的高，E 为AC 边的中点，点 F 在BC 边上，∠EDF=60°，若 BF=3，CF=5，则AC边的长为 ．
二、解答题（共3小题，满分30分）
24．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)四边形AFCD是什么特殊的四边形?请说明理由.
(2)填空:
①若AB=AC，则四边形AFCD是_______形.
②当△ABC满足条件______时，四边形AFCD是正方形.
25．如图，四边形与四边形均为矩形，，B，E，F均在x轴上，，点G的坐标为．
(1)若矩形是由矩形沿x轴向右平移所得，则平移的距离是 个单位长度，点A对应点的坐标为 ；
(2)若矩形与矩形关于某直线对称，则对称轴是 ，点A的对应点的坐标为 ；
(3)若将矩形与矩形理解为关于点P中心对称，则点P的坐标为 ，点B的对应点的坐标为 ．
26．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO，已知BD=．
(1)求正方形ABCD的边长；
(2)求OE的长；
(3)①求证：CN＝AF；
②直接写出四边形AFBO的面积．
参考答案给与解析
A卷（共100分）
1．C
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．^
2．B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8，CD为AB边上的中线，∴CD＝AB＝×8＝4．
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
3．B
【分析】根据折叠的性质，∠BFE=∠B′FE，即可求∠BFE的度数，出结合长方形的性质，即可求出∠AEF的度数．
【详解】由折叠变换的性质得：∠BFE=∠B′FE，
∵四边形ABCD为长方形，∴AE∥BF，∠AEF+∠BFE=180°；
∵∠BFE=（180°﹣50°）÷2=65°，∴∠AEF=180°﹣65°=115°．故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质以及平行线的性质，熟练地掌握折叠和矩形的性质是解题的关键．
4．D
【分析】连接，．证明是等边三角形，推出，再利用四边形内角和为，求解即可．
【详解】解：如图，连接，．
四边形是正方形，，，，
，是等边三角形，，
，，，
，，故选：D．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是证明是等边三角形，属于中考常考题型．
5．D
【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形和等边三角形的性质，易证四边形是菱形，可求得AB=2，AO=1，由勾股定理可求得，继而可求得对角线的长．
【详解】解：如图，连接BD交AC于点O，
由题意可得和是等边三角形，且边长都为2，
∴AB=BC=CD=DA=AC=2，∴四边形是菱形，
∴，BD=2BO，AC⊥BD，在中，由勾股定理得：，∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、勾股定理，灵活运用菱形的性质和勾股定理求解是解题的关键．
6．D
【分析】首先根据已知条件求出AE，然后由折叠性质得出BH、BF，再利用勾股定理，即可得出CF.
【详解】连接BF，如图所示：
∵BC=12，点E为BC的中点，∴BE=6，又∵AB=8，∴AE===10，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH==，
则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF===，故选：D.
【点睛】此题主要考查矩形中的折叠问题、直角三角形斜边中线定理以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
7．B
【分析】利用角平分线的性质计算．
【详解】由题意可得，∠CFG=∠EFG又有∠EFH=∠BFH∴∠GFE+∠EFH=90°
即∠GFH的α度数是90°．故选B．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和展开与折叠的知识，得出∠CFG=∠EFG是关键．
8．D
【分析】解法一、根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC，∠A=∠EBC=90°，再证，得出，进而得出即可；解法二、连接AC，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=AD，∠A=∠EBC=90°，再证，得出AE＝DF，利用等底等高三角形面积相似得出即可．
【详解】解法一、∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠A=∠EBC=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°∵BF⊥CE，∴∠ABF+∠BEC=90°，∴∠AFB=∠BEC，
在△ABF和△BCE中，，∴，
∴，∵ ，
∴，∴；
解法二、连接AC，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=AD，∠A=∠EBC=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵BF⊥CE，∴∠ABF+∠BEC=90°，∴∠AFB=∠BEC，在△ABF和△BCE中，
，∴，∴AF=BE，∴AE＝DF，
∴，即．故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，等底等高三角形面积相等，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，等底等高三角形面积相等是解题关键．
9．8
【分析】根据矩形的对角线相等的性质得出AC=BD，即可求出BD．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AC=8，∴BD= AC=8，故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
10． 互余 斜边上的中线
【分析】根据直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行作答即可．
【详解】解：直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
故答案为：互余，斜边上的中线．
【点睛】本题考查直角三角形的性质定理．熟练掌握直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
11．12
【分析】先确定△ADC为直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质AC=2，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵∴△ADC为直角三角形，∵E是AC的中点．
∴DE为△ADC的斜边中线，∴AC=2，∵AD=6，∴D=．
故答案为12．
【点睛】本题考查直角三角形的斜边中线性质，勾股定理，掌握直角三角形的斜边中线性质，勾股定理是解题关键．
12．32
【分析】根据折叠的性质，得△ABE≌△FBE，则∠ABE=∠FBE．根据三角形外角的性质得到∠ABE的度数，即可得到结论．
【详解】根据折叠的性质，得△ABE≌△GBE，∴∠ABE=∠FBE．
∵∠BED=119°，∴∠ABE=∠BED－∠A=119°－90°=29°，∴∠CBF=90°－∠ABE－∠EBF=90°－29°－29°=32°．故答案为32．
【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定及性质、三角形外角的性质．掌握折叠的性质是解题的关键．
13．12
【分析】作于E，作于F，设，表示出等腰梯形的腰、高、上底，用面积列出关于的方程，解出即可求出梯形的周长.
【详解】解：如图：等腰梯形，，，，，梯形面积为，作于E，作于F，设，
∴，，，
∴四边形是矩形∴,
∵等腰梯形，，∴，又∵,，
∴≌（AAS），∴，∴，∵，，
∴，,∴，，
∵梯形面积为，∴=，即，解得：，
又∵，∴，∴梯形的周长为=12. 故答案为：12.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质定理，三角形全等的判定定理，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，等腰梯形的性质，梯形的面积，解题的关键是用字母表示相关线段.
14．见解析
【分析】根据矩形的性质和平行线的性质即可得到结论．
【详解】∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD，OA=，OD=，
∴ OA=OD，∴ ∠CAD=∠BDA．∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDA， ∴∠BDA =∠EDA
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．（1）△BEF是等腰三角形，理由见解析；（2）10．
【分析】（1）根据翻折不变性和平行线的性质得到两个相等的角，根据等角对等边即可判断△BEF是等腰三角形；
（2）根据翻折的性质可得BE＝DE，BG＝CD，∠EBG＝∠ADC＝90°，设BE＝DE＝x，表示出AE＝8−x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x的值，即为BE的值，再根据同角的余角相等求出∠ABE＝∠GBF，然后利用“角边角”证明△ABE和△GBF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝BE，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）△BEF是等腰三角形．∵ED∥FC，∴∠DEF＝∠BFE，
根据翻折不变性得到∠DEF＝∠BEF，故∠BEF＝∠BFE．∴BE＝BF．△BEF是等腰三角形；
（2）∵矩形ABCD沿EF折叠点B与点D重合，
∴BE＝DE，BG＝CD，∠EBG＝∠ADC＝90°，∠G＝∠C＝90°，
∵AB＝CD，∴AB＝BG，设BE＝DE＝x，则AE＝AB﹣DE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴BE＝5，
∵∠ABE+∠EBF＝∠ABC＝90°，∠GBF+∠EBF＝∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠GBF，
在△ABE和△MBF中，，∴△ABE≌△GBF（ASA），∴BF＝BE＝5，
∴△EBF的面积＝×5×4＝10．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质．将翻折变换与勾股定理及等腰三角形的性质和判定相结合，体现了数学知识之间的密切联系，是一道好题．
16．18
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而求解的周长即可．
【详解】∵∴和是直角三角形
∵E是对角线的中点∴∵
∴的周长．
【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
17．(1)见解析 (2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）利用直角三角形的性质和勾股定理得到，，根据矩形的性质得到，．再利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，，，
又，，即，，又，
四边形为平行四边形，又，四边形是矩形；
（2）∵，，，，，
四边形是矩形，，．∵，∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
18．证明见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到，再由得到，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，最后结合得到四边形是矩形．
【详解】证明：四边形是平行四边形，，
，，，
四边形是平行四边形， ，，四边形是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定，涉及平行四边形的性质与判定、垂直的定义等知识，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定是解决问题的关键．
B卷（共50分）
19．6
【分析】根据菱形的性质得到AC=8，根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形；∴AC=2OA=8，,
∴,∴BD=6， 故答案为：6
【点睛】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟记菱形面积的两种表示法：（1）底乘高，（2）对角线乘积的一半，本题运用的是第二种．
20．8
【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质得到AC=BD=2BO，最后利用直角三角形的性质求出CD．
【详解】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO=2MN=8，∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=16，AB=CD，∠BAD=90°，∵∠ABD=60°，∴CD=AB=BD=8，故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系．
21．/
【分析】由翻折得，，垂直平分，可根据直角三角形全等的判定定理证明，得，则，而，即可根据勾股定理求得，，根据等面积求得，即可求解．
【详解】解：四边形是边长为的正方形，
，，，
由翻折得，，垂直平分，在和中，
，，，，
，，
，且，，解得，
解得，故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出EG和EF的长度是解题的关键．
22．
【分析】由三角形重心的性质得到AG=2GD=4，BG=2GE=6，根据勾股定理求出AB，延长CG交AB于H，根据直角三角形的斜边中线性质求出GH，根据三角形的重心的性质计算即可．
【详解】解：延长CG交AB于H，

∵BD和CE分别是边AC，AB上的中线，∴点O是△ABC的重心，∴AG=2GD=4，BG=2GE=6，
∵AD⊥BE，∴，又∵H是AB 的中点，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的重心、直角三角形的性质、勾股定理的应用，掌握三角形重心性质是关键，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
23．
【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理得出，再根据等边三角形的判定与性质得出，然后根据三角形的中位线定理、平行线的性质得出，从而可得，，最后根据三角形全等的判定定理与性质得出，据此根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【详解】如图，过点D作于点G
在中，，
在中，，
，
取BC的中点H，连接DH、EH是等边三角形
点E是AC边的中点EH是的中位线
又，
在和中，
则在中，，即故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、三角形的中位线定理等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键．
24．(1)平行四边形，理由见解析； (2)①矩形，②AB=AC，∠BAC=90．
【分析】（1）由“AAS”可证△AEF≌△DEB，可得AF=BD=CD，由平行四边形的判定可得四边形AFCD是平行四边形；
（2）①由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可证平行四边形AFCD是矩形；
②由等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，AD⊥BC，可证平行四边形AFCD是正方形．
【详解】解：(1)平行四边形，理由如下:∵AF∥BC∴∠AFE=∠DBE，
在ΔAFE与△DBE中∴ΔAFE≌ΔDBE∴AF=BD，又BD=CD
∴AF=CD又AF∥CD∴四边形AFCD是平行四边形；
（2）①∵AB=AC，AD是BC边上的中线∴AD⊥BC，且四边形AFCD是平行四边形
∴四边形AFCD是矩形；
②当△ABC满足AB=AC，∠BAC=90°条件时，四边形AFCD是正方形．
理由为：∵AB=AC，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线
∴AD=CD=BD，AD⊥BC∵四边形AFCD是平行四边形，AD⊥BC
∴四边形AFCD是矩形，且AD=CD∴四边形AFCD是正方形．
故答案为(1)平行四边形，理由见解析； (2)①矩形，②AB=AC，∠BAC=90．
【点睛】本题考查正方形的判定，平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
25．(1)3，(2)，(3)，
【分析】（1）利用及，求出点B的坐标后，结合点F的坐标计算即可求出平移距离及点A对应点的坐标．
（2）根据轴对称的性质可得点F是点A的对称点，计算点F和点A的中间位置即可得到对称轴．
（3）根据矩形的中心对称性质求解即可．
【详解】（1）解：若矩形是由矩形沿x轴向右平移所得，则平移的距离为线段或的长度，
∵，B，E，F均在x轴上，，点G的坐标为，
∴，，，
∴，及平移距离为3，点A的对应点为E点，坐标为；
故答案为：3，；
（2）解：若矩形与矩形关于某直线对称，则点A的对称点为点F，由（1）得，对称轴为：；故答案为：，；
（3）解：若将矩形与矩形理解为关于点P中心对称，则点B的对应点为点H，横坐标为：，坐标为：，对称中心为线段的中点，坐标为：即．故答案为：，
【点睛】本题主要考查图形的平移变换，轴对称及中心对称，能够熟练根据变换的特征及性质找出对应点是解题关键．
26．(1)2(2)(3)①证明见解析，②
【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理即可求得；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得点E是AF中点，依据三角形中位线OE＝CF＝；
（3）①通过证明△NCB≌△FAB可证得CN＝AF；
②依据四边形AFBO的面积=△AFC的面积-△BOC的面积．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC，∠BCD＝∠ABC＝90°，∴，
∵BD=，∴AB=BC=2，∴正方形ABCD的边长为2；
（2）∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，∴∠AEC=∠CEF=90°，E为AF的中点，
∵正方形ABCD，∴O为AC的中点，AC＝BD＝，∴OE＝CF＝BD＝；
（3）①证明：∵∠ABC＝∠ABF＝∠CEF=90°，AB＝BC，∴∠ECB＋∠F＝∠FAB＋∠F＝90°，
∴∠ECB＝∠FAB，∵，∴△NCB≌△FAB，∴CN＝AF；
②∵，，∴
∵∴．
【点睛】本题综合考查了正方形的有关性质，三角形的中位线的性质，其中还串联到等腰三角形和勾股定理等知识，充分体现出几何知识的整体性和推理的严密性．在解答有关特殊四边形的性质或判定问题时，既要依托数，也要依托形，这是解答几何问题的最基本的思想方法．