数学：山东省济南市历下区2024年九年级中考三模试题（解析版）

这是一份数学：山东省济南市历下区2024年九年级中考三模试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】D
【解析】的相反数是，
故选D．
2. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A. 圆柱B. 圆锥C. 长方体D. 三棱柱
【答案】D
【解析】根据主视图和左视图为矩形，判断出几何体是柱体，再根据俯视图是三角形判断出几何体是三棱柱．
故选：D
3. 石墨烯是目前世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅米，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】数据用科学记数法表示为．故选：B．
4. 如图，平行线，被直线所截，平分，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵∠EFD＝，且FG平分∠EFD
∴∠GFD＝∠EFD＝
∵AB∥CD
∴∠EGF＝∠GFD＝
故选A．
5. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算正确，故符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选：B．
7. 为帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，某校开展了“一人一球”的体育选修课活动．小明和小丽从“篮球”“足球”“排球”三种选修课中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画树状图为：（用分别表示“篮球”“足球”“排球”三种选修课）
∵共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为3，
∴两人恰好选择同一课程的概率．
故选：C．
8. 一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、，
二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，
故选：A．
9. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．若，，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点作于点，如图，
，
，
在中，，
，
，
四边形为平行四边形，
∴，，
，
由作法得，平分，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
．
故选：C．
10. 已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 10
【答案】A
【解析】令，整理得，
解得，，
直线与抛物线的交点的横坐标为5，0，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
把代入，
解得，
若，，则，，
，
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】＝．
故答案为：．
12. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为_______________．
【答案】
【解析】设总面积为16，则其中阴影部分面积为，
小球停留在阴影部分的概率是．
故答案为：．
13. 计算：_______________．
【答案】
【解析】
故答案为：．
14. 如图，将四边形绕点按顺时针方向旋转，得到四边形，则点C的对应点的坐标是_______________．
【答案】
【解析】如图，四边形即为所作，
点的坐标是，
故答案为：．
15. 如图，射线①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭转亏损，公交公司在不提高票价的情况下，决定通过优化管理来降低运营成本，改变后y与x的关系图为射线②．两射线与x轴的交点坐标分别是，，则当乘客为1万人时，改变后的收支差额较之前增加_______________万元．
【答案】
【解析】设①所在直线的解析式为，则：，
解得，
①所在所在直线的解析式为；
设②所在直线的解析式为，则：，
解得，
②所在直线的解析式为，
（万元），
即改变后的收支差额较之前增加万元．
故答案为：．
16. 如图，在矩形中，，，点F在边上运动，以线段为斜边作，其中点M与点A位于两侧，．连接，当最小时，_______________．

【答案】
【解析】连接，设，则，

∵，
∴，
∵矩形和，
∴，
∴四点共圆，
∵，
∴，
当时，最小，此时，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
解：
．
18. 解不等式组：，并写出它的最小整数解．
解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
最小整数解为．
19. 如图，菱形中，、分别为边、上的点，且，连接、．求证：．
证明：四边形是菱形，
，
，
，
即，
在和中，
，
．
20. 为了解七年级学生的课外自主阅读情况，某校随机抽取了部分学生，对他们每天的阅读时间（阅读时间取整数，不足一分钟按一分钟算）的情况进行了调研．
【确立样本】
（1）已知学校七年级共6个班，决定共抽取60名学生进行调查，下列选取样本的方法中最合理的一种是 ．（只需填上正确答案的序号）
①在每班抽取10个成绩较好的学生．
②在每班按照学号随机抽取10名学生．
③在前3个班每班随机抽取20人进行调查．
【收集数据】
利用EXCEL等软件将数据按由小到大的顺序排序，部分数据呈现如下：
，39，39，41，42，44，46，53，53，53，53，54，56，58，59，61，62，72，
【整理数据】
按照每天阅读的总时长分为A，B，C，D，E五组，相关信息如下：
（每天阅读的总时长）各组人数分布扇形统计图
【数据分析】
根据以上信息，解答下列问题：
（2） ； ；本次问卷调查中阅读总时长中位数为 分钟．
（3）C组数据的众数是 分钟；小明根据以上数据绘制了扇形统计图，其中C组对应扇形的圆心角为 度．
（4）已知七年级学生共有300人，请你估计七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数．
解：（1）由随机抽样的特点可知：②在每班按照学号随机抽取10名学生最合理．
故答案为：②；
（2）；
组中的数据为：41，42，44，46，53，53，53，53，54，56，58，59，
；
，，
个数据有小到大排列第30，第31个数据是组中的第3，第4个数据，即44，46，
本次问卷调查中阅读总时长的中位数为（分钟），
故答案为：6；51；45；
（3）组中53出现4次是出现次数最多的数据，
组数据的众数是：53分钟；
组对应扇形的圆心角度数为：，
故答案为：53，72；
（4）（人，
答：超过60分钟的学生人数为105人．
21. 图1是某品牌电动单人沙发的实物图，在电动沙发调节过程中沙发的座深与水平地面是平行的．图2是电动沙发在初始状态时的侧面示意图，靠背与座垫的夹角，座垫与脚托垂直，即，且点D恰好落在水平地面上．为满足不同使用功能的需要，通过控制开关可以电动调节和分别绕点B和点C旋转合适的角度，其侧面示意图如图3所示．已知电动沙发的产品尺寸为：，，．在电动调节过程中始终满足，且．

（1）在电动沙发的初始状态时，求靠背的最高点A到水平地面的距离；
（2）在电动调节的过程中，求出此电动沙发可伸展的最大水平距离．
（参考数据：，，，，，，结果精确到）
解：（1）延长至点H，过点A作，交于点Q，交于点P，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵平行线之间的距离处处相等，
∴，
∵，
答：靠背的最高点A到水平地面的距离为；

（2）l为所在直线，过点作，垂直为点S，过点作，垂足为点T，
当电动沙发伸展的最大水平距离时，即，
∴，，
由题意可知，，，
在中，，
又∵，
∵， ∴，∴，
在中，，
∴，
答：电动沙发伸展的最大水平距离为．

22. 如图，在中，为的直径，点，点为上两点，连接，并延长交于点．是的切线，且，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长．
（1）证明：连接，则，
，
是的切线，且于点，
，
∴，
，
，
，
；
（2）解：连接，
是的直径，，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
的长是．
23. 为丰富学校图书资源，鼓励学生多读书、读好书、好读书，学校决定购买若干甲、乙两种品牌的平板电脑组建新的电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的平板电脑单价分别为3000元和2500元，学校计划购买甲、乙两种品牌的平板电脑共60台．
（1）若恰好支出170000元，求甲、乙两种品牌的平板电脑各购买了多少台？
（2）若购买乙种品牌数量不超过甲种品牌数量的2倍，问甲、乙两种品牌的平板电脑各购买多少台时花费最少？最少花费是多少元？
解：（1）设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台．
则，解得，
答：甲种品牌的电脑购买了40台，乙种品牌的电脑购买了20台；
（2）设甲种品牌的电脑购买了台，乙种品牌的电脑购买了台，
由题，，
解得；
设费用为，则，
，
随的增大而增大，
当时，最少，此时，
甲种品牌电脑购买20台，乙种品牌的电脑购买40台最省钱，最少费用为160000元．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点O顺时针旋转得到，点B在反比例函数的图象上，连接．

（1）求k的值；
（2）作关于直线对称的，点O，A，B的对应点分别为点，，，当反比例函数的图象恰好经过一边的中点时，求m的值；
（3）若P为平面内一点，Q为双曲线上一点，是否存在点P和点Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵，
∴，
∵将绕点O顺时针旋转得到，

∴，，
过点B向x轴的垂线，交x轴于点C，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴点B在反比例函数的图象上，
∴；
（2）由（1）得反比例函数的解析式为，
∵与关于直线对称，
∴，，，
当反比例函数过边的中点时，
边的中点是，
∴，解得；
当反比例函数过边中点时，
边的中点是，
∴，解得；
由上可得，或；
（3）存在．理由如下：
如图，过点Q作轴于点J，过点B作轴于点K，

，，
∴，
设点Q的横坐标为a，
，，
∴，
，即，
∴，
，
点Q在上，
∴，
解得或，
点Q的坐标为或．
25. 如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
（1）求抛物线M的表达式和点A的坐标；
（2）点F是线段上一动点，求周长的最小值；
（3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
解：（1）∵顶点D的坐标为，
设二次函数表达式为
将点代入得
∴抛物线M的表达式为：
当时，或1，
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为
∴设直线表达式为：
故解得
∴
作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点
∴点G的横坐标为
将代入得，
∴点G的坐标为，
∴点的坐标为
∵，，
∴，
∴
即周长的最小值为；
（3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为
将点代入得：，
∴抛物线N的表达式为
∴顶点P的坐标为，
将代入，，
∴，
作于H，则，
∵
∴点H为点P和点Q的中点，
∴
∴
又∵
∴
在中，
∴，
∴
或
∴解第一个方程可得（舍），
解第二个方程可得（舍），
将代入P点坐标，
P的坐标为或．
26. 已知中，，，，点D是上一点，连接．
（1）如图1，过点D作，连接，且，延长线段，交于点M，则= ， ．
（2）如图2，过点C作，且，连接．
①已知点G是线段的中点，连接，若，求的度数；
②如图3，过点A作，垂足为点H，交于点N，若，直接写出的长．
解：（1）在中，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
如图，连接，
即，与共底边，与在同侧且相等，∴A，M，C，B四点共圆，∴，
∴．
（2）如图，连接，过点G作于点F，
∵，，
∴，
∴，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵点G是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
如图，过点D作于点O，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．组别
每天阅读的总时长（分钟）
频数
该组内学生每天阅读总时长的平均值（分钟）
A组
12
10
B组
15
32
C组
12
b
D组
15
70
E组
a
90